Analysis III

Analysis III ^∗

Martin Brokate ^†

Inhaltsverzeichnis

1 Maße 1

2 Das Lebesgue-Integral 26

3 Normierte und metrische R¨ aume 38

4 Konvergenzs¨ atze und L

-R¨ aume 48

5 Mehrfachintegrale, Satz von Fubini 63

6 Metrische R¨ aume: Weitere Grundbegriffe 74

7 Metrische R¨ aume: Stetigkeit, Kompaktheit 82

8 Substitutionsformel und Faltung (Teil 1) 95

∗

Vorlesungsskript, WS 2004/05

†

Zentrum Mathematik, TU M¨ unchen

1 Maße

Einige Bemerkungen zur Motivation. Der mathematische Begriff eines Maßes ist in ganz unterschiedlichen (mathematischen) Zusammenh¨ angen hilfreich.

• Man m¨ ochte einer m¨ oglichst großen Klasse von Teilmengen des R

einen “Inhalt”

(L¨ ange, Fl¨ ache, Volumen, . . .) zuordnen. F¨ ur nichtganzzahlige Dimensionen f¨ uhrt dies auf den Begriff der fraktalen Menge, bei deren Untersuchung das sogenannte Hausdorffmaß eine zentrale Rolle spielt.

• Hausdorff hat aber bereits 1914 gezeigt: Will man einen Inhaltsbegriff haben, der sich hinsichtlich Summation und Kongruenz “vern¨ unftig” verh¨ alt, so kann man ihn nicht f¨ ur jede Teilmenge des R

definieren.

• Betrachtet man die Menge M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} als die Menge aller “Elementa- rereignisse” beim W¨ urfeln, so kann man als Maß einer Teilmenge A von M die Wahrscheinlichkeit ansehen, mit der in einem Wurf eine Zahl in A gew¨ urfelt wird.

Der Begriff des Maßes ist f¨ ur die gesamte Stochastik grundlegend. Da Wahrschein- lichkeiten je nach Situation ganz unterschiedlich aussehen k¨ onnen, ist es wesentlich, einen allgemeinen Maßbegriff zu haben.

• Man m¨ ochte eine m¨ oglichst allgemeine und handhabbare Integrationstheorie haben.

• In der “h¨ oheren Analysis”, etwa der Funktionalanalysis, spielt der Maßbegriff an vielen Stellen eine Rolle unter anderem wegen des folgenden Sachverhalts. Ist K ein kompakter metrischer Raum, etwa K = [a, b], und ist T : C(K ) → R ein lineares Funktional, welches bez¨ uglich der Supremumsnorm auf C(K ) stetig ist, so gibt es ein Maß µ mit der Eigenschaft, daß T (f) gerade das Integral von f bez¨ uglich des Maßes µ ist. Das hat zur Folge, dass bei der Untersuchung solcher Funktionale die Integrationstheorie eingesetzt werden kann.

Definition 1.1 (σ-Algebra)

Sei Ω eine Menge. Ein System A von Teilmengen von Ω, A ⊂ P(Ω), heißt σ-Algebra in Ω, falls gilt

Ω ∈ A , (1.1)

A ∈ A ⇒ Ω \ A ∈ A , (1.2)

(A

)

Folge in A ⇒

∞

[

n=1

A

∈ A . (1.3)

Die Elemente A von A heißen A-messbar (oder messbar, falls klar ist, welches A gemeint

ist). 2

Triviale Beispiele von σ-Algebren in Ω sind

A = P (Ω) , A = {∅, Ω} .

Lemma 1.2 Seien Ω, Ω

Mengen, T : Ω → Ω

Abbildung, A

σ-Algebra in Ω

. Dann ist A = {T

(A

) : A

∈ A

} (1.4) eine σ-Algebra in Ω.

Beweis: Es ist Ω = T

(Ω

) ∈ A. Sei A ∈ A, w¨ ahle A

∈ A

mit A = T

(A

), dann ist Ω \ A = Ω \ T

(A

) = T

(Ω

\ A

) ∈ A ,

da Ω

\ A

∈ A

. Sei (A

)

Folge in A, w¨ ahle A

∈ A

mit A

= T

(A

), dann ist [

n∈N

A

= [

n∈N

T

(A

) = T

[

n∈N

A

!

∈ A .

2 Lemma 1.3 Sei Ω Menge, A σ-Algebra in Ω. Dann gilt

∅ ∈ A , (1.5)

(A

)

Folge in A ⇒

∞

\

n=1

A

∈ A . (1.6)

Beweis: Folgt unmittelbar aus der Definition einer σ-Algebra, da

∅ = Ω \ Ω , \

n∈N

A

= Ω \ Ω \ \

n∈N

A

!

= Ω \ [

n∈N

(Ω \ A

) .

2 Satz 1.4 Sei Ω Menge, sei E ⊂ P (Ω). Dann ist

σ(E ) = \

{A : A ⊂ P(Ω), A ist σ-Algebra, E ⊂ A} (1.7) eine σ-Algebra in Ω mit der Eigenschaft

E ⊂ σ(E ) ⊂ A (1.8)

f¨ ur jede σ-Algebra A mit E ⊂ A, das heißt, σ(E ) ist die kleinste σ-Algebra, welche E umfasst. Die σ-Algebra σ(E ) heißt die von E erzeugte σ-Algebra in Ω.

Beweis: Die Elemente von σ(E ) sind genau diejenigen Teilmengen A von Ω, die in jeder σ- Algebra liegen, welche E umfasst. Da das insbesondere auf die Elemente E von E zutrifft, folgt die Eigenschaft (1.8) unmittelbar aus der Definition von σ(E ). Es ist Ω ∈ σ(E ), da Ω ∈ A f¨ ur jede σ-Algebra A in Ω. Ist A ∈ σ(E ), so ist A ∈ A f¨ ur alle σ-Algebren A, welche E umfassen, also auch Ω \ A ∈ A f¨ ur alle solche σ-Algebren, und damit Ω \ A ∈ σ(E ).

Analog zeigt man, dass (1.3) f¨ ur σ(E ) erf¨ ullt ist. 2 Bemerkung. Die folgende Definition setzt den Begriff des metrischen Raumes voraus.

Dieser wird in einem sp¨ ateren Kapitel behandelt. Bis dahin betrachten wir die Borel-

Algebra nur f¨ ur den Fall Ω = R

, O = O

, siehe (1.12).

Definition 1.5 (Borel-Algebra) Sei (Ω, d) metrischer Raum, sei

O = {U : U ⊂ Ω, U offen} . (1.9)

Die σ-Algebra σ(O) heißt die Borel-Algebra in (Ω, d). Die Elemente A ∈ σ(O) heißen

Borelmengen. 2

Wir f¨ uhren halboffene Intervalle im R

ein. Sind a, b ∈ R

, so setzen wir [a, b) =

n

Y

i=1

[a

, b

) = {x : x ∈ R

, a

≤ x

< b

f¨ ur alle 1 ≤ i ≤ n} . (1.10) Es ist [a, b) = ∅ falls a

≥ b

f¨ ur mindestens ein i. Wir bezeichnen mit

J

= {[a, b) : a, b ∈ R

} (1.11) die Menge aller halboffenen Intervalle im R

, und mit

O

, C

, K

(1.12)

die Menge aller offenen bzw. abgeschlossenen bzw. kompakten Teilmengen von R

. Bemerkung. Der Begriff einer kompakten Menge wird erst in einem sp¨ ateren Kapitel behandelt. Bis dahin verwenden wir diesen Begriff nur f¨ ur Teilmengen des R

. Eine Teilmenge K des R

ist kompakt genau dann, wenn sie abgeschlossen und beschr¨ ankt ist.

Hinweis: In Funktionenr¨ aumen ist diese ¨ Aquivalenz nicht g¨ ultig ! Satz 1.6 Es gilt

σ(J

) = σ(O

) = σ(C

) = σ(K

) , (1.13) das heißt, die Borel-Algebra wird auch von den halboffenen Intervallen bzw. den abge- schlossenen Mengen bzw. den kompakten Mengen erzeugt.

Beweis: Es ist C

= {A : R

\ A ist offen}. Aus Satz 1.4 folgen C

⊂ σ(O

) und σ(C

) ⊂ σ(O

). Analog beweist man σ(O

) ⊂ σ(C

). Aus K

⊂ C

folgt K

⊂ σ(C

) und damit σ(K

) ⊂ σ(C

). Umgekehrt: Sei A ⊂ R

abgeschlossen. Wir setzen

K

= A ∩ {x : x ∈ R

, kxk ≤ m} .

Dann ist K

kompakt und A = ∪

K

, also A ∈ σ(K

). Da A beliebig war, folgt C

⊂ σ(K

) und damit σ(C

) ⊂ σ(K

). Wir zeigen zum Abschluss, dass σ(J

) = σ(O

):

Seien a, b ∈ R

. Dann gilt [a, b) =

n

Y

i=1

[a

, b

) = \

k∈N

I

, I

:=

n

Y

i=1

(a

− 1 k , b

) .

Alle I

sind offen, also ist [a, b) ∈ σ(O

). Da a, b beliebig waren, folgt σ(J

) ⊂ σ(O

) wie gehabt. Zum Beweis der umgekehrten Inklusion betrachten wir zun¨ achst offene Quader

(a, b) :=

n

Y

i=1

(a

, b

) = [

k∈N

I

, I

:=

n

Y

i=1

[a

+ 1

k , b

) ,

welche also alle in σ(J

) liegen. Da jede offene Teilmenge des R

sich als abz¨ ahlbare Vereinigung von offenen Quadern darstellen l¨ aßt (im Zweifelsfall: ¨ Ubung), folgt O

⊂

σ(J

) und wieder σ(O

) ⊂ σ(J

). 2

Das in Satz 1.4 enthaltene Verfahren, von einem Ausgangsobjekt (dort E ) ein kleinstes umfassendes neues Objekt mit mehr Struktur (dort σ(E )) zu erzeugen, ist auch in anderen mathematischen Zusammenh¨ angen n¨ utzlich. So kann man etwa f¨ ur Teilmengen M des R

den von M erzeugten Untervektorraum span (M ) definieren als den Durchschnitt aller Unterr¨ aume, welche M enthalten. Wir k¨ onnen span (M ) aber auch definieren als die Menge aller endlichen Linearkombinationen von Elementen aus M . Diese Definition ist konstruktiver als die vorstehende. F¨ ur die Borel-Algebra steht eine vergleichbar einfache Konstruktion einer beliebigen Borelmenge aus den offenen Mengen aber leider nicht zur Verf¨ ugung.

Definition 1.7 (Maß)

Sei Ω Menge, A σ-Algebra in Ω. Eine Funktion µ : A → [0, +∞] heißt Maß, falls gilt

µ(∅) = 0 , (1.14)

und falls µ σ-additiv ist, das heißt, falls µ

∞

[

n=1

A

!

=

∞

X

n=1

µ(A

) (1.15)

f¨ ur jede Folge (A

)

paarweise disjunkter A-messbarer Mengen gilt. Ein Maß µ heißt endlich, falls µ(Ω) < +∞. Ein Maß µ heißt σ-endlich, falls es eine Folge (A

)

von A-messbaren Mengen gibt mit µ(A

) < +∞ f¨ ur alle n und

[

n∈N

A

= Ω . (1.16)

2 Wir gehen aus von der ¨ ublichen Vorstellung von L¨ ange, Fl¨ acheninhalt und Volumen und definieren das Volumen eines halboffenen Intervalls (halboffenenen Quaders) I = [a, b) ⊂ R

durch

λ(I) =

n

Y

i=1

(b

− a

) . (1.17)

Es erhebt sich die Frage: K¨ onnen wir auf der Borel-Algebra σ(O

) ein Maß µ definieren, so daß µ(I) = λ(I) f¨ ur alle halboffenen Intervalle ? Diese Frage wird im sogenannten Ma- ßerweiterungssatz positiv beantwortet. Dieser Satz erfordert aber etwas Vorbereitung.

Definition 1.8 (Ring)

Sei Ω Menge. Ein System R von Teilmengen von Ω heißt ein Ring in Ω, falls gilt

∅ ∈ R , (1.18)

A, B ∈ R ⇒ A \ B ∈ R , (1.19)

A, B ∈ R ⇒ A ∪ B ∈ R . (1.20)

2

Aus (1.19) folgt unmittelbar, dass

A, B ∈ R ⇒ A ∩ B ∈ R , da A ∩ B = A \ (A \ B). Offenbar ist jede σ-Algebra ein Ring.

Die Bezeichnung ‘Ring’ r¨ uhrt daher, dass ein Ring von Mengen im Sinne von Definiti- on 1.8 auch ein Ring im Sinne der Algebra ist, wenn wir als Multiplikation in R die Durchschnittsbildung und als Addition die symmetrische Differenz

A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) definieren.

Die Menge der halboffenen Intervalle ist kein Ring, im allgemeinen sind weder I ∪ J noch I \ J halboffene Intervalle, falls I, J solche sind. Andererseits lassen sich sowohl I ∪ J als auch I \ J als endliche Vereinigung von halboffenen Intervallen darstellen.

Definition 1.9 (Figur)

Eine Menge F ⊂ R

heißt Figur, falls F sich als endliche Vereinigung von halboffenen Intervallen darstellen l¨ asst. Wir definieren

F

= {F : F ⊂ R

, F ist Figur} . (1.21) Lemma 1.10 Seien I, J ∈ J

. Dann ist auch I ∩ J ∈ J

, und I \ J l¨ asst sich als disjunkte endliche Vereinigung von halboffenen Intervallen darstellen. Insbesondere gilt I \ J ∈ F

.

Beweis: Seien I = [a, b), J = [a

, b

). Dann ist

I ∩ J = [a

, b

) ∈ J

, a

= max{a

, a

} , b

= min{b

, b

} . (1.22) Wegen I \ J = I \ (I ∩ J) und (1.22) gen¨ ugt es, den Fall J ⊂ I zu betrachten. Es ist dann entweder J = ∅ oder

a

≤ a

< b

≤ b

, 1 ≤ i ≤ n . I \ J ist disjunkte Vereinigung von Intervallen der Form

n

Y

i=1

[c

, d

) ,

wobei [c

, d

) entweder gleich [a

, a

) oder gleich [a

, b

) oder gleich [b

, b

) ist. (Man erh¨ alt I \ J, indem man alle m¨ oglichen Kombinationen durchl¨ auft bis auf diejenige, welche J

liefert.) 2

Satz 1.11 F

ist ein Ring. Jedes F ∈ F

l¨ asst sich darstellen als disjunkte Vereinigung

von halboffenen Intervallen.

Beweis: Direkt aus der Definition folgt

F, G ∈ F

⇒ F ∪ G ∈ F

. (1.23)

Wir zeigen als n¨ achstes

F, G ∈ F

⇒ F ∩ G ∈ F

. (1.24)

Sei n¨ amlich

F =

k

[

i=1

I

, G =

l

[

j=1

J

, (1.25)

mit I

, J

∈ J

, dann folgt

F ∩ G = [

i,j

I

∩ J

,

und nach Lemma 1.10 ist I

∩ J

∈ J

f¨ ur alle i, j, also gilt (1.24). Wir zeigen jetzt

F, G ∈ F

⇒ F \ G ∈ F

. (1.26)

Aus der Darstellung (1.25) folgt F \ G = [

i

I

!

\ [

j

J

!

= [

i

I

!

∩ Ω \ [

j

J

!

= [

i

I

!

∩ \

j

(Ω \ J

) = [

i

\

j

(I

∩ (Ω \ J

))

= [

i

\

j

(I

\ J

) .

Nach Lemma 1.10 ist I

\ J

∈ F

f¨ ur alle i, j , also ist wegen (1.24) auch F \ G ∈ F

. Also ist F

ein Ring. Sind die Darstellungen von F, G ∈ F

in (1.25) disjunkte Vereinigungen, so gilt das auch f¨ ur deren Durchschnitt,

F ∩ G =

[

i,j

I

∩ J

. (1.27)

Wir zeigen nun, dass sich jedes F ∈ F

als disjunkte Vereinigung halboffener Intervalle darstellen l¨ asst. Sei F ∈ F

,

F =

k

[

i=1

I

. Es gilt dann

F = I

∪

(I

\ I

) ∪

(I

\ (I

∪ I

)) · · · =

[

i i−1

\

j=1

(I

\ I

) .

Nach Lemma 1.10 lassen sich alle I

\ I

als disjunkte Vereinigung halboffener Intervalle darstellen, dasselbe gilt auch f¨ ur die Mengen

i−1

\

j=1

(I

\ I

) ,

(ist in (1.27) f¨ ur den Durchschnitt zweier Mengen bewiesen worden, gilt also auch f¨ ur

endliche Durchschnitte). Damit ist die Behauptung bewiesen. 2

Definition 1.12 (Endlich-additive Mengenfunktion)

Sei Ω Menge, R Ring in Ω. Eine Funktion µ : R → [0, ∞] heißt endlich-additiv, falls gilt µ

n

[

i=1

A

!

=

n

X

i=1

µ(A

) (1.28)

f¨ ur jedes endliche System A

, . . . , A

paarweise disjunkter Mengen A

∈ R. µ heißt σ- additiv, falls

µ

∞

[

i=1

A

!

=

∞

X

i=1

µ(A

) (1.29)

gilt f¨ ur jede Folge (A

)

paarweise disjunkter Mengen A

∈ R mit ∪

A

∈ R. 2 Satz 1.13 Der n-dimensionale Elementarinhalt

λ(I) =

n

Y

i=1

(b

− a

) , I = [a, b) ∈ J

, (1.30) l¨ asst sich auf genau eine Weise zu einer endlich-additiven Funktion λ : F

→ [0, ∞) fortsetzen.

Beweis: Wir bemerken zun¨ achst: Wird I = [a, b) durch eine Hyperebene x

= γ, γ ∈ [a

, b

), in zwei Teile

I

= [(a

, . . . , a

, . . . , a

), (b

, . . . , γ, . . . , b

)) , I

= [(a

, . . . , γ, . . . , a

), (b

, . . . , b

, . . . , b

)) , zerschnitten, so gilt

λ(I ) =

n

Y

i=1

(b

− a

) = [(b

− γ) + (γ − a

)] Y

i6=j

(b

− a

) = λ(I

) + λ(I

) . Ebenso folgt

λ(I) =

k

X

i=1

λ(I

) , (1.31)

falls ein Intervall I durch endlich viele Hyperebenen in k Teilintervalle I

∈ J

zerschnitten wird. Wir zeigen nun, dass λ auf J

endlich-additiv ist. Sei I = [a, b) ∈ J

dargestellt als disjunkte Vereinigung

I =

k

[

i=1

I

, I

= [a

, b

) ∈ J

. Wir zerschneiden I durch alle Hyperebenen der Form

x

= a

, x

= b

, 1 ≤ i ≤ k , 1 ≤ j ≤ n .

Dadurch wird I in endlich viele Teilintervalle zerlegt; diejenigen, welche in I

enthalten sind, bilden eine disjunkte Zerlegung J

, 1 ≤ j ≤ k

, von I

durch Zerschneiden. Nach (1.31) gilt dann

λ(I ) = X

i,j

λ(J

) = X

i

X

j

λ(J

) = X

i

λ(I

) . (1.32)

Wir definieren nun die Fortsetzung von λ auf F

. Sei F ∈ F

. Nach Satz 1.11 l¨ asst sich F schreiben als disjunkte Vereinigung

F =

k

[

i=1

I

, I

∈ J

. Wir setzen

λ(F ) =

k

X

i=1

λ(I

) . (1.33)

Wir m¨ ussen zeigen, dass diese Definition von der Wahl der Zerlegung (I

) unabh¨ angig ist.

Ist

F =

l

[

j=1

J

, J

∈ J

, eine weitere disjunkte Zerlegung, so gilt

I

=

[

j

(I

∩ J

) , J

=

[

i

(I

∩ J

) , also, da λ auf J

endlich-additiv ist,

X

i

λ(I

) = X

i

X

j

λ(I

∩ J

) = X

j

λ(J

) .

Wir zeigen nun, dass λ endlich-additiv ist auf F

. Ist F dargestellt als disjunkte Vereini- gung

F =

k

[

i=1

F

, F

∈ F , so stellen wir die F

einzeln als disjunkte Vereinigung dar,

F

=

[

j

I

, I

∈ J

, und es folgt

λ(F ) = X

i,j

λ(I

) = X

i

X

j

λ(I

) = X

i

λ(F

) .

Die Eindeutigkeit der Fortsetzung von λ ist offensichtlich, da (1.33) f¨ ur jede endlich-

additive Fortsetzung gelten muss. 2

Notation 1.14 Sei Ω Menge, sei E ⊂ Ω, sei (E

)

Folge von Teilmengen von Ω. Wir schreiben

E

↓ E , falls E

⊃ E

⊃ . . . , E = \

n∈N

E

, (1.34)

und

E

↑ E , falls E

⊂ E

⊂ . . . , E = [

n∈N

E

. (1.35)

Lemma 1.15 Sei Ω Menge, R Ring in Ω, µ : R → [0, ∞] endlich-additiv. Es gelte außerdem

n→∞

lim µ(E

) = 0 (1.36)

f¨ ur jede Folge (E

)

in R mit E

↓ ∅. Dann ist µ auch σ-additiv.

Beweis: Sei (A

)

eine Folge paarweiser disjunkter Mengen A

∈ R mit A =

[

n∈N

A

∈ R . Wir setzen

E

= A \

n

[

k=1

A

. Dann gilt E

↓ ∅ und, da µ endlich-additiv ist,

µ(A) = µ(E

) +

n

X

k=1

µ(A

) . Aus (1.36) folgt nun

µ(A) =

∞

X

k=1

µ(A

) .

2 Satz 1.16 (Rechenregeln f¨ ur endlich-additive Mengenfunktionen)

Sei Ω Menge, R Ring auf Ω, µ : R → [0, ∞] endlich-additiv. Dann gelten f¨ ur beliebige A, B, A

∈ R

µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B) , (1.37)

A ⊂ B ⇒ µ(A) ≤ µ(B ) , (1.38)

A ⊂ B , µ(A) < ∞ ⇒ µ(B \ A) = µ(B ) − µ(A) , (1.39) µ

n

[

i=1

A

!

≤

n

X

i=1

µ(A

) . (1.40)

Ist µ außerdem σ-additiv, so gilt A

⊂

∞

[

n=1

A

⇒ µ(A

) ≤

∞

X

n=1

µ(A

) , (1.41)

und insbesondere

µ

∞

[

n=1

A

!

≤

∞

X

n=1

µ(A

) , (1.42)

falls ∪

A

∈ R.

Beweis: Ist A ⊂ B, so ist B = A ∪

(B \ A), also

µ(B) = µ(A) + µ(B \ A) . (1.43)

Hieraus folgen (1.38) und (1.39). Ist µ(A∩B) = ∞, so gilt (1.37) trivialerweise, andernfalls folgt (1.37) aus

µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B \ A) . (1.44)

µ(B \ A) = µ(B) − µ(A ∩ B ) . (1.45)

Mit

B

= A

\

i−1

[

k=1

A

gilt

B

∈ R , B

⊂ A

,

n

[

i=1

A

=

n

[

i=1

B

, die B

sind paarweise disjunkt, also

µ

n

[

i=1

A

!

= µ

n

[

i=1

B

!

=

n

X

i=1

µ(B

) ≤

n

X

i=1

µ(A

) , also folgt (1.40). Zum Beweis von (1.41) sei B

wie eben definiert, dann gilt

A

= [

n∈N

(A

∩ A

) =

[

n∈N

(A

∩ B

) , also

µ(A

) = µ [

n∈N

(A

∩ B

)

!

=

∞

X

n=1

µ(A

∩ B

) ≤

∞

X

n=1

µ(A

) ,

da A

∩ B

⊂ A

. 2

Satz 1.17 Die nach Satz 1.13 eindeutig bestimmte Fortsetzung λ : F

→ [0, ∞) des Elementarinhalts

λ([a, b)) =

n

Y

i=1

(b

− a

) (1.46)

ist σ-additiv auf F

.

Beweis: Wegen Satz 1.13 und Lemma 1.15 gen¨ ugt es zu zeigen, dass lim

λ(F

) = 0 gilt f¨ ur jede Folge (F

)

von Figuren mit F

↓ ∅. Dazu gen¨ ugt es zu zeigen: Ist (F

)

fallend, das heißt F

⊃ F

f¨ ur alle n, und gilt

n→∞

lim λ(F

) = δ > 0 , (1.47) so ist

∞

\

n=1

F

6= ∅ . (1.48)

(Der Limes in (1.47) existiert, da λ(F

) monoton fallend und durch 0 nach unten be- schr¨ ankt ist.) Zum Beweis dieser Aussage verwenden wir ein Kompaktheitsargument. Als ersten Schritt konstruieren wir G

∈ F

mit G

⊂ F

und

λ(F

) − λ(G

) ≤ 2

δ . (1.49)

Die Mengen G

werden folgendermaßen konstruiert: Ist F

=

m

[

i=1

I

, I

= [a

, b

) , so setzen wir

G

=

m

[

i=1

I ˜

, I ˜

= [a

, b

− ε

(1, . . . , 1)) , wobei ε

> 0 so klein gew¨ ahlt wird, dass (1.49) gilt. Wir definieren

H

=

n

\

i=1

G

. (1.50)

Dann gilt H

∈ F

,

H

⊂ H

, H

⊂ F

, (1.51)

f¨ ur alle n ∈ N . Als n¨ achstes zeigen wir mit vollst¨ andiger Induktion, dass gilt

λ(H

) ≥ λ(F

) − δ(1 − 2

) (1.52) f¨ ur alle n ∈ N . F¨ ur n = 1 folgt (1.52) aus (1.49), da H

= G

. Induktionsschritt n → n +1:

Es ist H

= G

∩ H

, also mit (1.37) und (1.49) λ(H

) = λ(G

) + λ(H

) − λ(G

∪ H

)

≥ λ(F

) − 2

δ + λ(F

) − δ(1 − 2

) − λ(F

) , (da G

∪ H

⊂ F

)

= λ(F

) − δ(1 − 2

) .

Da nach Voraussetzung λ(F

) ≥ δ ist f¨ ur alle n, folgt aus (1.52)

λ(H

) > 0 , (1.53)

also auch H

6= ∅ f¨ ur alle n ∈ N . Die Mengen H

sind beschr¨ ankt (da alle Figuren beschr¨ ankt sind), also kompakt. F¨ ur jede endliche Indexmenge I ⊂ N gilt

\

i∈I

H

= H

6= ∅ , m := max{i : i ∈ I} ,

also gilt, da die kompakte Menge H

die endliche Durchschnittseigenschaft (siehe Analysis 2, Kapitel 15) besitzt,

\

n∈N

H

6= ∅ ,

woraus (1.48) wegen (1.50) folgt. 2

Als letzte Vorbereitung f¨ ur den Maßerweiterungssatz f¨ uhren wir noch den Begriff des Dynkin-Systems ein.

Definition 1.18 (Dynkin-System)

Sei Ω eine Menge. Ein System D von Teilmengen von Ω heißt Dynkin-System, falls gilt

Ω ∈ D , (1.54)

D ∈ D ⇒ Ω \ D ∈ D , (1.55)

(D

)

Folge paarweiser disjunkter Mengen in D ⇒ [

n∈N

D

∈ D . (1.56)

Offensichtlich ist jede σ-Algebra ein Dynkin-System.

Lemma 1.19 Sei Ω Menge, D Dynkin-System in Ω. Dann gilt

D, E ∈ D , D ⊂ E ⇒ E \ D ∈ D . (1.57)

Beweis: F¨ ur D, E ∈ D mit D ⊂ E gilt

E \ D = Ω \ (D ∪ (Ω \ E)) ∈ D ,

da D und Ω \ E disjunkt sind. 2

Satz 1.20 Sei E ⊂ P(Ω) ein Mengensystem in Ω, sei D Dynkin-System mit

E ⊂ D ⊂ σ(E ) . (1.58)

Ist E schnittstabil, das heißt,

E

, E

∈ E ⇒ E

∩ E

∈ E , (1.59)

so ist

D = σ(E ) . (1.60)

Beweis: Wir definieren δ(E ) = \

{ D ˜ : ˜ D ist Dynkin-System in Ω, E ⊂ D} ˜ . (1.61)

Wie in Satz 1.4 beweist man, dass δ(E ) ein Dynkin-System ist, und zwar das kleinste,

welches E enth¨ alt; es heißt das von E erzeugte Dynkin-System. Es gilt dann δ(E ) ⊂ D ⊂

σ(E ). Zum Beweis von (1.60) gen¨ ugt es zu zeigen, dass δ(E ) eine σ-Algebra ist (dann folgt

σ(E ) ⊂ δ(E )). Zu diesem Zweck definieren wir f¨ ur beliebiges, aber fest gew¨ ahltes D ∈ δ(E ) das Mengensystem

D

= {Q : Q ⊂ Ω , Q ∩ D ∈ δ(E )} . (1.62) Wir zeigen, dass D

ein Dynkin-System ist. Offensichtlich ist Ω ∈ D

. Weiter gilt mit Lemma 1.19

Q ∈ D

⇒ (Ω \ Q) ∩ D = D \ Q = D \ (Q ∩ D) ∈ δ(E )

⇒ Ω \ Q ∈ D

,

und f¨ ur eine Folge (Q

)

paarweiser disjunkter Mengen in D

[

n∈N

Q

!

∩ D =

[

n∈N

(Q

∩ D) ∈ δ(E ) , da Q

∩ D ∈ δ(E ) und δ(E ) Dynkin-System ist, also

[

n∈N

Q

∈ D

. D

ist also Dynkin-System. Als n¨ achstes zeigen wir

D ∈ δ(E ) , E ∈ E ⇒ D ∩ E ∈ δ(E ) . (1.63)

Es ist n¨ amlich

E ⊂ D

, f¨ ur alle E ∈ E , (1.64) da mit E

∈ E auch E

∩ E ∈ E (E ist schnittstabil) und damit E

∈ D

(da E ⊂ δ(E )).

Aus (1.64) folgt δ(E ) ⊂ D

und damit D ∩ E ∈ δ(E ). Damit ist (1.63) bewiesen. Wir zeigen jetzt

D, E ∈ δ(E ) ⇒ D ∩ E ∈ δ(E ) . (1.65)

Aus (1.63) folgt E ⊂ D

, also wieder wegen der Minimalit¨ at von δ(E ), dass δ(E ) ⊂ D

, und damit E ∩ D ∈ δ(E ). Schließlich zeigen wir, dass δ(E ) eine σ-Algebra ist. Sei eine Folge (D

)

in δ(E ) gegeben. Wir setzen

D

=

n

[

i=1

D

, D

= ∅ .

Dann ist D

∈ δ(E ) und (mit Induktion ¨ uber n) D

\ D

= D

∩ (Ω \ D

) ∈ δ(E ) wegen (1.65), also auch

D

= (D

\ D

) ∪ D

∈ δ(E )

als disjunkte Vereinigung zweier Mengen in δ(E ). Die Mengen D

\ D

sind paarweise disjunkt, also folgt

[

n∈N

D

= [

n∈N

(D

\ D

) ∈ δ(E ) .

Damit ist δ(E ) eine σ-Algebra. 2

Theorem 1.21 (Maßerweiterungssatz, Existenz)

Sei Ω Menge, R Ring in Ω, sei µ : R → [0, ∞] eine σ-additive Mengenfunktion mit µ(∅) = 0. Dann kann µ zu einem Maß auf σ(R) fortgesetzt werden.

Beweis: Der Beweis besteht aus zwei Teilen. Zuerst wird µ zu einem sogenannnten ¨ auße- ren Maß µ

: P (Ω) → [0, ∞] fortgesetzt; µ

hat aber nicht alle Eigenschaften eines Maßes.

Im zweiten Teil wird bewiesen, dass die Restriktion von µ

auf σ(R) ein Maß ist.

Zu beliebigem Q ⊂ Ω definieren wir die Menge U (Q) aller abz¨ ahlbaren ¨ Uberdeckungen von Q durch Mengen in R,

U (Q) = {(A

)

: A

∈ R f¨ ur alle n, Q ⊂ [

n∈N

A

} . (1.66)

Wir definieren das zu µ geh¨ orende “¨ außere Maß” µ

: P (Ω) → [0, ∞] durch µ

(Q) =

( inf

P

n=1

µ(A

) , falls U (Q) 6= ∅ ,

+∞ , falls U (Q) = ∅ . (1.67)

Offensichtlich gilt µ

(Q) ≥ 0 f¨ ur alle Q ⊂ Ω. Es gilt weiter

µ

(A) = µ(A) , f¨ ur alle A ∈ R, (1.68) da einerseits µ

(A) ≤ µ(A) wegen (A, ∅, ∅, . . . ) ∈ U (A) und andererseits

µ(A) ≤

∞

X

n=1

µ(A

)

f¨ ur alle (A

)

∈ U (A) nach Satz 1.16, also auch µ(A) ≤ µ

(A). µ

ist also eine Fortset- zung von µ. Aus (1.68) folgt insbesondere

µ

(∅) = 0 . (1.69)

Weiter gilt

Q

⊂ Q

⇒ µ

(Q

) ≤ µ

(Q

) , (1.70) da U (Q

) ⊂ U (Q

). F¨ ur eine beliebige Folge (Q

)

von Teilmengen von Ω gilt

µ

∞

[

n=1

Q

!

≤

∞

X

n=1

µ

(Q

) . (1.71)

Ist n¨ amlich U (Q

) = ∅ f¨ ur ein n ∈ N , so hat die rechte Seite in (1.71) den Wert +∞.

Andernfalls w¨ ahlen wir zu beliebig vorgegebenem ε > 0 f¨ ur jedes n ∈ N eine Folge (A

)

in U (Q

) mit

∞

X

m=1

µ(A

) ≤ µ

(Q

) + 2

ε , dann ist

(A

)

∈ U

∞

[

n=1

Q

!

,

und

µ

∞

[

n=1

Q

!

≤

∞

X

n,m=1

µ(A

) ≤

∞

X

n=1

µ

(Q

) + ε ,

woraus (1.71) folgt. Wenden wir (1.71) auf die Folge (Q ∩ A, Q \ A, ∅, . . . ) an, so folgt µ

(Q) ≤ µ

(Q ∩ A) + µ

(Q \ A) , f¨ ur alle A, Q ∈ P (Ω) . (1.72) Damit ist der erste Teil des Beweises abgeschlossen. Der zweite Teil beginnt mit der eigentlichen Idee dieses Existenzbeweises, die auf C. Carath´ eodory (1914) zur¨ uckgeht.

Wir definieren das Mengensystem

A = {A : A ⊂ Ω, A erf¨ ullt (1.74)} , (1.73) wobei

µ

(Q) = µ

(Q ∩ A) + µ

(Q \ A) , f¨ ur alle Q ⊂ Ω . (1.74) Der Rest des Beweises besteht darin, zu zeigen, dass A eine σ-Algebra ist mit σ(R) ⊂ A, und dass µ

|A ein Maß ist. Wir zeigen als erstes, dass

R ⊂ A . (1.75)

Seien A ∈ R, Q ∈ P (Ω) beliebig. Wegen (1.72) ist in (1.74) nur “≥” zu zeigen. Sei U (Q) 6= ∅ (andernfalls ist µ

(Q) = ∞), sei (A

)

Element von U (Q). Dann gilt

µ(A

) = µ(A

∩ A) + µ(A

\ A) f¨ ur alle n ∈ N , also

∞

X

n=1

µ(A

) =

∞

X

n=1

µ(A

∩ A) +

∞

X

n=1

µ(A

\ A) ,

also, da die Folgen (A

∩ A)

und (A

\ A)

in U (Q ∩ A) bzw. U (Q \ A) liegen,

∞

X

n=1

µ(A

) ≥ µ

(Q ∩ A) + µ

(Q \ A) , also ( ¨ Ubergang zum Infimum bez¨ uglich U (Q) auf der linken Seite)

µ

(Q) ≥ µ

(Q ∩ A) + µ

(Q \ A) . Damit ist (1.75) gezeigt. Direkt aus der Definition von A folgt

Ω ∈ A . (1.76)

Weiter gilt

A ∈ A ⇒ Ω \ A ∈ A , (1.77)

da Q ∩ (Ω \ A) = Q \ A und Q \ (Ω \ A) = Q ∩ A f¨ ur alle Q ⊂ Ω gelten und damit aus der G¨ ultigkeit von (1.74) f¨ ur A auch die G¨ ultigkeit f¨ ur Ω \ A folgt. Wir f¨ uhren f¨ ur den Rest des Beweises die abk¨ urzende Schreibweise

A

= Ω \ A

f¨ ur das Komplement einer Menge A ⊂ Ω ein. Wir zeigen als n¨ achstes

A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A . (1.78)

Sind n¨ amlich A, B ∈ A, so gilt f¨ ur alle Q ⊂ Ω

µ

(Q) = µ

(Q ∩ A) + µ

(Q ∩ A

) (1.79)

= µ

(Q ∩ A ∩ B ) + µ

(Q ∩ A ∩ B

) + µ

(Q ∩ A

∩ B) + µ

(Q ∩ A

∩ B

) . (1.80) Setzen wir Q ∩ (A ∪ B ) ein statt Q in (1.80), so erhalten wir

µ

(Q ∩ (A ∪ B )) = µ

(Q ∩ A ∩ B) + µ

(Q ∩ A ∩ B

) + µ

(Q ∩ A

∩ B) , (1.81) und aus (1.79) und (1.81)

µ

(Q) = µ

(Q ∩ (A ∪ B )) + µ

(Q ∩ (A ∪ B )

) und damit A ∪ B ∈ A. Aus (1.77) und (1.78) folgt

A, B ∈ A ⇒ A ∩ B ∈ A , A \ B ∈ A , (1.82)

da A ∩ B = (A

∪ B

)

, A \ B = A ∩ B

. Falls nun A, B ∈ A mit A ∩ B = ∅, so folgt aus (1.81)

µ

(Q ∩ (A ∪ B)) = µ

(Q ∩ A) + µ

(Q ∩ B ) (1.83) f¨ ur alle Q ⊂ Ω. Sei nun (A

)

eine Folge paarweiser disjunkter Elemente von A. Wir wollen zeigen, dass gilt

A = [

n∈N

A

∈ A , µ

(A) =

∞

X

n=1

µ

(A

) . (1.84)

Zun¨ achst ist ∪

A

∈ A wegen (1.78). Aus (1.83) folgt f¨ ur alle Q ⊂ Ω und alle n ∈ N µ

Q ∩

n

[

i=1

A

!

= µ

Q ∩

n−1

[

i=1

A

!

+ µ

(Q ∩ A

) =

n

X

i=1

µ

(Q ∩ A

) mit Induktion, also

µ

(Q) = µ

Q ∩

n

[

i=1

A

!

+ µ

Q \

n

[

i=1

A

!

≥

n

X

i=1

µ

(Q ∩ A

) + µ

(Q \ A) , also wegen (1.71), mit n → ∞,

µ

(Q) ≥

∞

X

i=1

µ

(Q ∩ A

) + µ

(Q \ A) ≥ µ

∞

[

i=1

Q ∩ A

!

+ µ

(Q \ A) (1.85)

= µ

(Q ∩ A) + µ

(Q \ A) , (1.86)

und wegen (1.72) folgt A ∈ A, und es gilt Gleichheit ¨ uberall in (1.85). Setzen wir Q = A in (1.85), so ergibt sich

µ

∞

[

n=1

A

!

= µ

(A) ≥

∞

X

n=1

µ

(A

) , (1.87)

und die umgekehrte Ungleichung folgt ebenfalls aus (1.71). Damit ist (1.84) bewiesen. Ist nun (A

)

eine beliebige Folge in A, so wird durch

B

= A

\

n−1

[

i=1

A

eine Folge (B

)

paarweise disjunkter Mengen definiert, welche wegen (1.78) und (1.82) ebenfalls in A liegt, also ist wegen (1.84)

[

n∈N

A

= [

n∈N

B

∈ A

Zusammen mit (1.76) und (1.77) ergibt sich, dass A eine σ-Algebra ist. Aus der bereits bewiesenen Inklusion R ⊂ A folgt nunmehr

σ(R) ⊂ A ,

und wegen (1.84) ist µ

|A ein Maß. 2

Theorem 1.22 (Maßerweiterungssatz, Eindeutigkeit)

Sei Ω Menge, E ⊂ P (Ω), sei E schnittstabil. Seien µ

, µ

Maße auf σ(E ), es gelte

µ

|E = µ

|E , (1.88)

und es gebe eine Folge (E

)

in E mit ∪

E

= Ω und µ

(E

) = µ

(E

) < ∞ f¨ ur alle n ∈ N . Dann ist µ

= µ

auf σ(E ).

Beweis: F¨ ur E ∈ E definieren wir

D

= {D : D ∈ σ(E ), µ

(E ∩ D) = µ

(E ∩ D)} . (1.89) Da E schnittstabil ist, gilt

E ⊂ D

⊂ σ(E ) , f¨ ur alle E ∈ E . (1.90) Wir zeigen, dass D

ein Dynkin-System ist, falls E ∈ E und µ

(E) = µ

(E) < ∞.

Offensichtlich ist Ω ∈ D

. Ist D ∈ D

, so ist Ω \ D ∈ σ(E ), also

µ

(E ∩ (Ω \ D)) = µ

(E \ D) = µ

(E) − µ

(E ∩ D) = µ

(E) − µ

(E ∩ D) = µ

(E \ D)

= µ

(E ∩ (Ω \ D)) ,

also ist auch Ω \ D ∈ D

. Sei nun (D

)

eine Folge paarweiser disjunkter Mengen in D

, dann ist ∪

D

∈ σ(E ), also

µ

E ∩ [

n∈N

D

!

= µ

[

n∈N

E ∩ D

!

= X

n∈N

µ

(E ∩ D

) = X

n∈N

µ

(E ∩ D

)

= µ

E ∩ [

n∈N

D

!

,

woraus ∪

D

∈ D

folgt. D

ist also ein Dynkin-System. Aus Satz 1.20 folgt nun, dass D

= σ(E ) ,

also ergibt sich

µ

(E ∩ D) = µ

(E ∩ D) (1.91)

f¨ ur alle D ∈ σ(E ) und alle E ∈ E mit µ

(E) < ∞. Wir definieren F

= E

\

n−1

[

i=1

E

.

Dann ist F

∈ σ(E ), F

⊂ E

, die F

sind paarweise disjunkt, und Ω = ∪

F

. Wegen (1.91) gilt daher f¨ ur alle A ∈ σ(E ) und alle n ∈ N

µ

(F

∩ A) = µ

(E

∩ (F

∩ A)) = µ

(E

∩ (F

∩ A)) = µ

(F

∩ A) , also gilt

µ

(A) = µ

[

n∈N

F

∩ A

!

= X

n∈N

µ

(F

∩ A) = X

n∈N

µ

(F

∩ A) = µ

[

n∈N

F

∩ A

!

= µ

(A)

f¨ ur alle A ∈ σ(E ). 2

Folgerung 1.23 Der n-dimensionale Elementarinhalt λ([a, b)) =

n

Y

i=1

(b

− a

) (1.92)

l¨ aßt sich auf genau eine Weise zu einem Maß λ auf der Borel-Algebra σ(O

) im R

fortsetzen. Dieses Maß λ heißt das Lebesgue-Maß (oder das Lebesgue-Borel-Maß).

Beweis: Es gilt σ(O

) = σ(J

) nach Satz 1.6. Wegen Satz 1.17 erf¨ ullt λ die Vorausset- zungen des Existenzsatzes 1.21 auf dem Ring R = F

. Da die Menge J

der halboffenen Intervalle schnittstabil ist, folgt die Eindeutigkeit aus Satz 1.22, angewandt auf E = J

. 2

Das Problem, den Inhalt einer m¨ oglichst großen Klasse von Mengen zu definieren, wird vom Maßerweiterungssatz (Theoreme 1.21 und 1.22) in f¨ ur viele Zwecke der Analysis befriedigender Weise gel¨ ost.

Satz 1.24 Sei Ω Menge, sei R Ring in Ω, seien µ

, µ

Maße auf σ(R), es gelte

µ

(E) ≤ µ

(E) , f¨ ur alle E ∈ R, (1.93) es gebe eine Folge (E

)

in R mit ∪

E

= Ω und µ

(E

) < ∞ f¨ ur alle n ∈ N . Dann gilt

µ

(A) ≤ µ

(A) , f¨ ur alle A ∈ σ(R). (1.94)

Beweis: Durch

ν(E) =

( µ

(E) − µ

(E) , falls µ

(E) < ∞,

+∞ , falls µ

(E) = ∞, (1.95)

wird ein endlich-additives ν : R → [0, ∞] definiert mit ν(∅) = 0. Aus Lemma 1.15 folgt, dass ν auf R σ-additiv ist. Nach Theorem 1.21 l¨ asst sich ν zu einem Maß auf σ(R) fortsetzen. Es gen¨ ugt nun zu zeigen, dass

A ∈ σ(R) , µ

(A) < ∞ ⇒ µ

(A) ≤ µ

(A) . (1.96) Dieser Beweis wird analog zum Beweis des Eindeutigkeitssatzes 1.22 gef¨ uhrt. F¨ ur E ∈ R mit µ

(E) < ∞ definieren wir

D

= {D : D ∈ σ(R), ν(E ∩ D) = µ

(E ∩ D) − µ

(E ∩ D)} . (1.97) Wie im Beweis von 1.21 ergibt sich, dass D

ein Dynkin-System ist, also D

= σ(R) nach Satz 1.20, also

0 ≤ ν(E ∩ D) = µ

(E ∩ D) − µ

(E ∩ D) (1.98) f¨ ur alle D ∈ σ(E ) und alle E ∈ E mit µ

(E) < ∞. Wir definieren wieder

F

= E

\

n−1

[

i=1

E

.

Wie im Beweis von 1.22 folgt f¨ ur alle A ∈ σ(R) mit µ

(A) < ∞ und alle n ∈ N 0 ≤ ν(F

∩ A) = µ

(F

∩ A) − µ

(F

∩ A) ,

also gilt

µ

(A) = µ

[

n∈N

F

∩ A

!

= X

n∈N

µ

(F

∩ A) ≤ X

n∈N

µ

(F

∩ A) = µ

[

n∈N

F

∩ A

!

= µ

(A)

Damit ist (1.96) bewiesen. 2

Definition 1.25 (Meßbare Abbildung)

Seien Ω, Ω

Mengen, seien A, A

σ-Algebren auf Ω bzw. Ω

. Eine Abbildung T : Ω → Ω

heißt messbar, falls T

(A

) ∈ A gilt f¨ ur alle A

∈ A

(das heißt, falls alle Urbilder von messbaren Mengen wieder messbar sind). (Falls nicht klar ist, welche σ-Algebren gemeint

sind, sagen wir, dass T A-A

-messbar ist.) 2

Lemma 1.26 Seien Ω, Ω

Mengen, A σ-Algebra auf Ω, E

⊂ P (Ω

) Mengensystem, A

= σ(E

), sei T : Ω → Ω

Abbildung. Gilt T

(E

) ∈ A f¨ ur alle E

∈ E

, so ist T messbar.

Beweis: Nach ¨ Ubungsaufgabe ist

B

= {B

: B

⊂ Ω

, T

(B

) ∈ A}

eine σ-Algebra in Ω

. Aus E

⊂ B

folgt A

= σ(E

) ⊂ B

. 2

Folgerung 1.27 Seien (Ω, d), (Ω

, d

) metrische R¨ aume. Dann ist jede stetige Abbildung T : Ω → Ω

messbar bez¨ uglich der Borel-Algebren (kurz: Borel-messbar).

Beweis: Ist U

offen in Ω

, so ist T

(U

) offen in Ω und damit Borel-messbar. Aus Lemma

1.26 folgt die Behauptung. 2

Satz 1.28 (Bildmaß)

Seien Ω, Ω

Mengen, seien A, A

σ-Algebren auf Ω bzw. Ω

, sei T : Ω → Ω

messbar. Dann wird f¨ ur jedes Maß µ auf A durch

µ

(A

) = µ(T

(A

)) (1.99)

ein Maß µ

auf A

definiert, es heißt das Bild von µ unter der Abbildung T , geschrieben

µ

= T (µ) . (1.100)

Beweis: µ

ist wohldefiniert, da T

(A

) ∈ A f¨ ur alle A

∈ A

. Ist (A

)

eine Folge paarweise disjunkter Mengen in A

, so gilt

µ

[

n∈N

A

!

= µ T

[

n∈N

A

!!

= µ [

n∈N

T

(A

)

!

= X

n∈N

µ(T

(A

))

= X

n∈N

µ

(A

) .

2 Satz 1.29 Seien Ω

, Ω

, Ω

Mengen, seien A

σ-Algebren auf Ω

, seien T

: Ω

→ Ω

und T

: Ω

→ Ω

messbar. Dann ist auch T

◦ T

messbar. Ist µ Maß auf A

, so gilt

(T

◦ T

)(µ) = T

(T

(µ)) . (1.101) Beweis: F¨ ur alle A ∈ A

ist T

(A) ∈ A

, also

(T

◦ T

)

(A) = T

(T

(A)) ∈ A

, also ist T

◦ T

messbar. F¨ ur A ∈ A

gilt weiter

(T

(T

(µ)))(A) = (T

(µ))(T

(A)) = µ(T

(T

(A))) = µ((T

◦ T

)

(A))

= ((T

◦ T

)(µ))(A) .

2 Das Lebesgue-Maß ist translationsinvariant:

Satz 1.30 Sei a ∈ R

, T

: R

→ R

definiert durch T

(x) = x + a. Dann ist

T

(λ) = λ . (1.102)

Beweis: T

ist stetig, also messbar. F¨ ur alle halboffenen Intervalle [b, c) ∈ J

gilt (T

(λ))([b, c)) = λ(T

([b, c))) = λ([b − a, c − a)) =

n

Y

i=1

((c

− a

) − (b

− a

))

=

n

Y

i=1

(c

− b

) = λ([b, c)) .

Aus dem Eindeutigkeitssatz 1.22 folgt, dass λ und T

(λ) auf der Borel-Algebra ¨ uberein-

stimmen. 2

Wir betrachten nun die Streckung D

: R

→ R

um den Faktor α in die i-te Koordina- tenrichtung,

D

(x

, . . . , x

) = (x

, . . . , x

, αx

, x

, . . . , x

) . (1.103) Es gilt

(D

)

([a, b)) = [(a

, . . . , a

α , . . . , a

), (b

, . . . , b

α , . . . , b

)) , α > 0 , (1.104) (D

)

([a, b)) = [(a

, . . . , b

α , . . . , a

), (b

, . . . , a

α , . . . , b

)) , α < 0 , (1.105) also

(D

(λ))([a, b)) = λ((D

)

([a, b))) = 1

|α|

n

Y

j=1

(b

− a

) = 1

|α| λ([a, b)) . (1.106) Wieder folgt aus dem Eindeutigkeitssatz 1.22, dass

D

(λ) = 1

|α| λ (1.107)

auf der Borelalgebra gilt. Eine Homothetie

H

: R

→ R

, H

(x) = rx , r 6= 0 fest, (1.108) l¨ asst sich darstellen als

H

= D

◦ D

◦ · · · ◦ D

, (1.109) also folgt, wenn wir Satz 1.29 und (1.107) mehrfach anwenden,

H

(λ) = 1

|r|

λ , (1.110)

und insbesondere

H

(λ) = λ , (1.111)

das Lebesgue-Maß ist also invariant bez¨ uglich Spiegelung an den Koordinatenachsen (das

gilt sogar bez¨ uglich beliebiger orthogonaler Abbildungen, siehe unten Satz 1.33).

Satz 1.31 Sei µ ein Maß auf der Borelalgebra im R

, welches translationsinvariant ist, es gelte also

T

(µ) = µ , f¨ ur alle a ∈ R

. (1.112) Gilt außerdem µ([0, 1)) < ∞, so folgt

µ = αλ , (1.113)

wobei α = µ([0, 1)).

Beweis: Wir setzen α = µ([0, 1)), dann ist µ([0, 1)) = αλ([0, 1)), und wir setzen weiter B

= [0, ( 1

k , . . . , 1

k )) , k ∈ N , G

= {(a

, . . . , a

) : a

= m

k , m

∈ {0, 1, . . . , k − 1}} .

Dann l¨ aßt sich f¨ ur jedes k ∈ N das halboffene Intervall [0, 1) darstellen als disjunkte Vereinigung

[0, 1) = [

a∈G_k

T

(B

) , (1.114)

und wegen µ(T

(B

)) = µ(B

), λ(T

(B

)) = λ(B

), folgt

µ([0, 1)) = k

µ(B

) , λ([0, 1)) = k

λ(B

) , (1.115) also weiter

µ(B

) = αλ(B

) , f¨ ur alle k ∈ N . (1.116) Sei nun

B = [0, (b

, . . . , b

)) , b

∈ Q ∩ R

f¨ ur alle i, dann ist mit geeigneten k, j

, . . . , j

∈ N

B = [0, ( j

k , . . . , j

k )) , also l¨ asst sich B darstellen als disjunkte Vereinigung

B = [

a∈G(b)

T

(B

) , wobei

G(b) = n m

k , . . . , m

k

: 0 ≤ m

< j

, m

∈ N o

. Es folgt f¨ ur alle solchen Mengen B

µ(B) = µ(B

)

n

Y

i=1

j

= αλ(B

)

n

Y

i=1

j

= αλ(B) , und weiter f¨ ur beliebige a, b ∈ Q

µ([a, b)) = µ([0, b − a)) = αλ([0, b − a)) = αλ([a, b)) . (1.117)

Sei nun

J

= {[a, b) : a, b ∈ Q

}

die Menge aller halboffenen Intervalle, deren Ecken rationale Koordinaten haben. Da sich jedes offene Intervall in R

, und damit auch jede offene Teilmenge des R

, als abz¨ ahlbare Vereinigung solcher halboffener Intervalle schreiben l¨ asst, gilt O

⊂ σ(J

), also σ(O

) ⊂ σ(J

), also

σ(J

) = σ(O

) .

Da das Mengensystem J

ebenfalls schnittstabil ist, l¨ asst sich der Eindeutigkeitssatz 1.22 mit E = J

anwenden, und aus (1.117) folgt die Behauptung. 2 Folgerung 1.32 Das Lebesgue-Maß ist das einzige translationsinvariante Maß auf der Borel-Algebra im R

, welches dem Einheitsw¨ urfel [0, 1) das Maß 1 zuordnet. 2 Satz 1.33 Sei T : R

→ R

eine orthogonale lineare Abbildung, das heißt, T ist linear und es gilt

hT x, T yi = hx, yi , f¨ ur alle x, y ∈ R

. (1.118) Dann gilt

T (λ) = λ . (1.119)

Beweis: Nach Folgerung 1.32 gen¨ ugt es zu zeigen, dass T (λ) ein translationsinvariantes Maß ist mit (T (λ))([0, 1)) = 1. Wegen

T (x) + a = T (x + T

(a)) f¨ ur alle x, a ∈ R

gilt

T

◦ T = T ◦ T

, b = T

(a) , also

T

(T (λ)) = (T

◦ T )(λ) = (T ◦ T

)(λ) = T (T

(λ)) = T (λ) , da T

(λ) = λ, also ist T (λ) translationsinvariant. Weiter gilt

(T (λ))([0, 1)) = λ(T

([0, 1))) < ∞ , da T

([0, 1)) beschr¨ ankt ist. Aus Satz 1.31 folgt nun, dass

T (λ) = αλ , α = (T (λ))([0, 1)) . (1.120) F¨ ur die Einheitskugel B = {x : x ∈ R

, kxk

≤ 1} gilt B = T

(B), da mit T auch T

orthogonal ist, es folgt also

αλ(B ) = (T (λ))(B) = λ(T

(B )) = λ(B) . (1.121) Hieraus folgt α = 1 und damit die Behauptung des Satzes, da 0 < λ(B) < ∞, da B beschr¨ ankt ist und

[0, ( 1

n , . . . , 1

n )) ⊂ B .

2

Definition 1.34 (Bewegung)

Eine Abbildung T : R

→ R

heißt Bewegung, falls

kT x − T yk

= kx − yk

, f¨ ur alle x, y ∈ R

. (1.122) Zwei Mengen A, B ⊂ R

heißen kongruent, falls es eine Bewegung T gibt mit B = T (A).

2

Satz 1.35 Das Lebesgue-Maß ist bewegungsinvariant, das heißt, es gilt

T (λ) = λ (1.123)

f¨ ur jede Bewegung T : R

→ R

. Insbesondere gilt

λ(A) = λ(B ) , (1.124)

falls A und B kongruente Borelmengen sind.

Beweis: Ist T Bewegung mit T (0) = 0, so ist T eine orthogonale lineare Abbildung (folgt aus einem Satz der Linearen Algebra, siehe auch ¨ Ubung). Sind T, T

Bewegungen, so folgt unmittelbar aus der Definition, dass auch T

◦ T eine Bewegung ist. Ist T eine Bewegung und setzen wir a = −T (0), so ist T

◦ T eine Bewegung mit (T

◦ T )(0) = 0. Hieraus folgt, dass sich jede Bewegung T darstellen l¨ asst als

T = T

◦ S , S : R

→ R

orthogonal . Aus Satz 1.33 und der Translationsinvarianz von λ folgt, dass

T (λ) = T

(λ) = λ

gilt f¨ ur jede Bewegung T . 2

Satz 1.36 Sei T : R

→ R

linear und invertierbar. Dann gilt T (λ) = 1

| det T | λ . (1.125)

Beweis: Sei A die zu T geh¨ orende Matrix bez¨ uglich der Standardbasis. Dann gibt es orthogonale Matrizen U, V ∈ R

und eine Diagonalmatrix D = diag {d

, . . . , d

} ∈ R

, d

> 0, mit

A = U DV . (1.126)

Es handelt sich hier um die sogenannte Singul¨ arwertzerlegung von A, siehe Lineare Alge- bra oder Numerik. Da D sich als Produkt der Streckungen D

i

schreiben l¨ asst, folgt aus (1.107) und Satz 1.33

T (λ) = 1 Q

i=1

d

λ . (1.127)

Andererseits gilt

| det(T )| = | det(A)| = | det(U )| · | det(D)| · | det V | = | det(D)| =

n

Y

i=1

d

.

2

Satz 1.37 Es gibt eine Menge K ⊂ R

, die keine Borelmenge ist.

Beweis: Wir definieren eine ¨ Aquivalenzrelation ∼ auf R

durch

x ∼ y ⇔ x − y ∈ Q

. (1.128)

Wir w¨ ahlen aus jeder ¨ Aquivalenzklasse genau ein Element k, und zwar so, dass k ∈ [0, 1).

Wir definieren K als die Menge aller so gew¨ ahlten Elemente. Dann gilt R

= [

y∈Qⁿ

(y + K) , (1.129)

denn zu jedem x ∈ R

gibt es ein k ∈ K mit x ∼ k, also x − k ∈ Q

, x ∈ (x − k) + K.

Die Vereinigung in (1.129) ist disjunkt: Sind x, y ∈ Q

mit (x + K) ∩ (y + K) 6= ∅, so gibt es k

, k

∈ K mit x + k

= y + k

, also

k

− k

= x − y ∈ Q

,

also k

∼ k

und daher k

= k

nach Konstruktion von K, also folgt x = y. Wir zeigen nun, dass die Annahme, K sei Borelmenge, zu einem Widerspruch f¨ uhrt. Mit K sind auch alle Mengen y + K Borelmengen, und es gilt, da λ translationsinvariant ist,

∞ = λ( R

) = X

y∈Qⁿ

λ(y + K) = X

y∈Qⁿ

λ(K) ,

also ist λ(K) > 0. Andererseits gilt y + K ⊂ [0, 2) f¨ ur y ∈ [0, 1), da K ⊂ [0, 1) nach Konstruktion, also

2

= λ([0, 2)) ≥ λ



 [

y∈Qⁿ∩[0,1)

(y + K)



 = X

y∈Qⁿ∩[0,1)

λ(y + K) = X

y∈Qⁿ∩[0,1)

λ(K) ,

also ist λ(K) = 0, da Q

∩ [0, 1) eine unendliche Menge ist. Widerspruch. 2