Antwort zur Frage 314:
Exakte Bestimmung des Verhaltens einer Funktionf(x) f¨ur x→x0, welches vom Definitionsbereich ausgeschlossen ist
Den Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion f¨ur x→ x0, wobei x0 in der Definitionsmenge aus- geschlossen ist, kannst Du folgendermaßen bestim- men:
Das direkte Einsetzen dieses Zahlenwertesx0 in die Funktionsgleichung geht nicht, da dabei der Nenner 0wird, was ja nicht erlaubt ist.
Deshalb wirdx durch eine Folge an ersetzt, die f¨ur n→ ∞den verbotenen Zahlenwertx0als Grenzwert hat. Damit wird die Bestimmung des Grenzwertes f¨ur x→x0 durch die Bestimmung des Grenzwertes f¨urn→ ∞ersetzt.
In der Praxis ben¨otigt man zwei solcher Folgen und zwar eine, die sich dem Zahlenwert x0 von links (an=x0−1n) ann¨ahert und eine, die sich von rechts (an=x0+1n) ann¨ahert.
Zur Bestimmung des Grenzwertes der Funktion f¨ur x → x0 wird in der Funktionsgleichung jedes Vorkommen vonxdurchx0−1
n bzw.x0+1nersetzt und von der resultierenden Gleichung der Grenzwert f¨urn→ ∞bestimmt.
Beispiel zur Bestimmung des linkseitigen Grenz- wertes:
x→2lim x+3 x−2 = lim
n→∞
2−1
n+3 2−1n−2 = lim
n→∞
5−1
n
−n1
=−∞
