¨Uber die inverse Gauß-Kr ¨uger-Abbildung

(1)

Paper-ID: VGI 198005

Uber die inverse Gauß-Kr ¨ ¨ uger-Abbildung

Erhart Ecker

¹

1

Fachbereich Mathematik, Naturwissenschaften und Datenverarbeitung, Wiesenstraße 12, D-6300 Gießen

Osterreichische Zeitschrift f ¨ur Vermessungswesen und Photogrammetrie ¨ 68 (2), S.

71–78 1980

BibTEX:

@ARTICLE{Ecker_VGI_198005,

Title = {{\"U}ber die inverse Gau{\ss}-Kr{\"u}ger-Abbildung}, Author = {Ecker, Erhart},

Journal = {{\"O}sterreichische Zeitschrift f{\"u}r Vermessungswesen und Photogrammetrie},

Pages = {71--78}, Number = {2}, Year = {1980}, Volume = {68}

}

(2)

ÖZfVuPh 68. Jahrgang / 1 980/ Heft 2

Ich habe .in der zurückliegenden Stunde versucht, die große gesell

schaftspolitische Bedeutung und wohl auch segensreiche Tätigkeit der Flurbereinigung für unser Land darzustellen. Ich konnte dies natürlich zunächst nur für Bayern, teilweise für die Bundesrepublik tu.n. Doch bin ich überzeugt, daß meine Ausführungen durchaus auf Österreich übertragbar sind. Österreich, das von Naturschönheiten verwöhnte Land, trägt eine besondere Verpflichtung zur Erhaltung und Fortentwicklung dieser gottbe

gnadeten Region. Hugo von Hofmannsthal hat einmal über sein Heimatland Österreich gesagt: „ Das Schöne, Gesegnete würde ohne uns in Europa, in der Welt fehlen!" Dies war und ist meines Erachtens auc.h für die österreichi

schen Flurbereinigungsingenieure besonderer Auftrag und Verpflichtung, ihren Beitrag zur Erhaltung und Fortentwicklung dieses Schönen zu leisten.

Ich darf Ihnen hierzu auch weiterhin besten Erfolg wünschen.

Über die inverse Gauß-Krüger-Abbildung Von Erhart Ecker, Gießen

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird die inverse Gauß-Krüger-Abbildung des Rotationsellipsoides unter

sucht. Die dabei erforderliche Umkehrung eines elliptischen Integrals zweiter Art wird durch Reihenumkehrung vorgenommen, wofür ein eigener Algorithmus dargestellt wird.

Contents

In this paper the inverse Gauss-Krueger-mapping of an ellipsoid of revolution is discussed.

This requires the inversion of an elliptic integral of second kind which is carried out by series inversion.

1 . Einleitung

Die Gauß-Krüger-Abbildung ist als jene winkeltreue Abbildung des Rotationsellipsoides definiert, die einen bestimmten Meridian, den wir im folgenden Hauptmeridian nennen, längentreu in die Ebene abbildet. In Funktion der Mercatorvariablen w = q + i L ist die Gauß-Krüger-Abbildung darstellbar durch (Ecker, 1977, S. 1 14)

(3)

72 ÖZfVuPh 68. Jahrgang / 1 980/ Heft 2

ferner

3

'

:---- -- -- ---

b : '•

'.�:�,: \,

Figur 1

Hierin ist a

b e ⁼ L B q

große Halbachse, 1

F

kleine Halbachse, - a2-b2 erste numerische a Exzentrizität,

ellipsoidische Länge, ellipsoidische Breite, isometrische Breite, w ⁼ q + iL Mercatorvariable,

cp sin cp

\ \

^\

/

�---^{1 -e2t2}

E (cp ; e) =

.) ^v1 -e2sin2\j; d\j; =

.)

y

_{1 _t2 dt}

0 0

( 2)

das elliptische I ntegral 2. Art. Den speziellen Wert E ( � ; e) ⁼: E (e) nennt man auch vollständiges elliptisches Integ ral zweiter Art. 2

Bisher nicht erwähnt wurde der Zusammenhang zwischen q und B sowie die in (1 ) auftretende Funktion g;- 1 , was nun geschehen soll: numeriert man die Breitenkreise (B ⁼ konstant) so durch einen neuen Parameter q um, daß die Bogenelemente entlang der Breitenkreise und Meridiane in jedem Punkt der Fläche einander g leich werden, was die G ültigkeit eines für den Punkt einheitlichen Längenmaßstabes am Ellipsoid zur Folge hat, so kommt man auf den B-q-Zusammenhang

(

^;: ^"

) (

^;: ^B

)

^.

g : -2, +2 -? IR, B·-7 g (B ; e) = In tan 4 + 2 - e . arth(e . sinB). (3)

(4)

ÖZ!VuPh 68. Jahrgang/1 980/Heft 2

Diese Funktion, die der ellipsoidischen die isometrische Breite zuordnet, ist für 1 e1<1 streng monoton steigend, also umkehrbar; es läßt sich zeigen, daß die Umkehrfunktion g-1 ebenso wie g selbst analytisch ist, und die analytische Fortsetzung der Umkehrfunktion ist gerade die in (1 ) vorkommende Funktion g-;;- 1 .

2. Die Umkehrung

Im folgenden suchen wir zur Gauß-Krüger-Abbildung faK die Umkehrfunk

tion fü�. die sich ja durch Auflösung der Gleichung nach w ergeben muß:

f0K (w)=z (4)

w = fü� (z). (4')

Zunächst wollen wir eine schreibtechnische Vereinfachung verabreden:

obwohl die Funktionen E ( ; e), g ( ; e) vom Parameter e abhängen, können wir wegen des Vorliegens eines festen Rotationsellipsoides im folgenden von der Notierung des Parameters e absehen. Dies benutzend, m üssen wir gemäß (4) und (1 ) die Gleichung

a

{

^{e - E}

( ^�

^{- arctan}

( ^�

^{tan g}

^: ^� ))}

^{= z}

nach w auflösen . Dies ist, wenn wir die Kenntnis der Umkehrfunktion des elliptischen Integrals 2. Art unterstellen, im wesentlichen eine Schreibarbeit mit dem Ergebnis

w ⁼f

��

^(z)⁼ ^ga;

(

^arctan

( ^:

^tan

1- ^�

^-E^-1

(

^E^-

�)]) } .

⁽⁵⁾

Diese Funktion bildet das Gauß-Krüger-Bild von G : = {q + iL: q>O, -

;

^<

L < +

;

} (oberes, offenes, zum Hauptmeridian L = 0 symmetrisches Ellip

soidviertel), dem in der Gauß-Krüger-Ebene der Streifen (x + iy: O<x<aE, y ^E [R} entspricht, zurück ab auf das Gebiet G in der Mercatorebene. I n (5) tritt die komplex-analytische Fortsetzu ng g1: der isometrischen Breite g auf; diese ist in naheliegendster Weise gegeben, indem man in (3) abgesehen von Definitions- und Wertebereich In, tan, arth (area tangens hyperbolicus) und sin komplex auffaßt.

Die Berechn u ng der inversen Gauß-Krüger-Abbildung ist also problem

los, sobald wir die Inverse des elliptischen Integrals 2. Art, vgl. (2), bilden können. Für die Umkehrung gegebener Funktionen gibt es nun drei gängige Möglichkeiten; die erste besteht darin, daß man die Umkehrfunktion mit Hilfe anderer Funktionen auszudrücken versucht, die zweite darin, die G leichung als Fixpunktgleichung umzuschreiben und den Fixpunktsatz anzuwenden (lterationsverfahren), und die dritte Möglichkeit besteht in der sogenannten Reihenumkehr (Knopp, 1 964, S. 1 86). Die Möglichkeit der Reihenumkehr ist natürlich auf analytische Funktionen besch ränkt. Für die vorliegende Funk-

(5)

tion fGK bzw. E sind alle drei Möglichkeiten auch praktisch gangbar. I n diesem Aufsatz soll der dritte Weg mit der Reihenumkehr verfolgt werden.

Nun ist, wie ein Blick auf (2) lehrt, die Potenzreihenu m kehrung nicht unmittelbar auf das elliptische Integral 2. Art anwendbar; faßt man jedoch E (cp) mittels einer Hilfsfunktion h auf als Funktion von sincp, so kann man h in eine für jsincpj�1 konvergente Potenzreihe entwickeln ,

sinq:i ^oo

E(qi) =

�V \

-_et22t2 dt = h(sinqi) =

l

^aksinkqi, ^(2')

t = O k = 1

u nd darauf die Reihenumkehrung anwenden. Dabei entstehen die Koeffizien

ten ak in (2') durch Anwendung der Binomialreihe auf den I ntegranden, Reihenmultiplikation, u nd gliedweise Integration. Diese Herleitung bringt wenig Interessantes u n d verläuft standardmäßig; wir wollen sie daher überge

hen und uns gleich mit dem Ergebnis auseinandersetzen:

1

^0, ^'^{k = 2,}4, 6, . . . k ko

-

1

^{(-1 )}^{0 1} ^�

⁽

^1/2

⁾⁽

^{_ lh}

⁾

²¹ ^{k - 1 3 5}

ak - · k L ¹ ^ko^- ¹ e ' - ' ' ' · · · 1 = 0

wobei k0 ⁼ (k-1 )/2

(6)

ganzzahlig ist. Bei der numerischen Behandlung der inversen Gauß-Krüger

Abbildung ist die Programmierung dieser Koeffizienten ak der mit Abstand unangenehmste Teil. Es ist zweckmäßig, von folgender Darstellung der ak für ungerade k Gebrauch zu machen:

ko 1

� (

^{_ 1;}

)

ak ⁼ ( -1 ) . k L ^ak.1^, ^wobei^ak,0⁼ ^ko^{2 und}

1 = 0

IXk,1+1 1-1/2 k-1

--_{IXk, 1} = -- · ---11- e2, 1 = 1 , . . . , ko - 1 . 1 + 1 k -1 - 2

(6 ')

Nun stellt, vgl. (2'), die Potenzreihe Lakxk (x ⁼ sincp) im Konvergenz- kreis die Funktion h (x) ⁼ E (cp) dar. Die Gleichungslösung (a1 =/. 0)

00 00

h (X) =

2

^a^k^X^k^{= y} <=::> X = h-1 (y) =

2

^bkyk

k = 1 k = 1

kan n in einer gewissen U mgebung von Null durch Reihenumkehrung bewerk

stelligt werden . Diese Reihenumkehr besteht darin, in X ⁼ h-1 (y) ⁼ h-1 (h(x))

für h u nd h-1 die Potenzreihendarstellungen einzusetzen u n d einen Koeffi

zientenvergleich herbeizuführen, was die Koeffizienten bk der Umkehrreihe in Abhängig keit der gegebenen Koeffizienten ak der Ausgangsreihe liefert.

(6)

ÖZIVuPh 68. Jahrgang / 1 980/Heft 2

3. Reihenumkehralgorithmus

Vorgelegt sei die Potenzreihe ^oo

2

akZk = : h(z) , a1 � O ,

k = 1

( 7)

die im Konvergenzkreis eine analytische und für a1 'i"' 0 auch lokal u m kehr

bare Funktion h definiert. Gesucht ist die Potenzreihenentwicklu n g der

Umkehrfun ktion, also ⁰⁰

Es m u ß also gelten

h-1 (w) =

l

^b1w1

1 = 1

00

h-1 (h(z)) ⁼

2

b1 [h(z)] 1 = z ,

1 = 1

(7 ')

(7")

woraus durch Koeffizientenvergleich die gesuchten Koeffizienten b1 aus den gegebenen Koeffizienten ak errechenbar sind.

Für einige der ersten Indizes ist dies z. B. in (Knopp, 1 964, S. 188) enthal

ten . Wir wollen aber die b1 sofern erforderlich für alle I E (N berechnen können.

Dazu füh ren wir die in (7") auftretenden Potenzen [h(z)]1 mit Hilfe von ( 7) durch Reihenmultiplikationen aus:

00

[h(z)]1 =

2

^{ai ,}^{kzk '}

k = 1

00 00

a1 .k : = ak für k ^EN ,

00 00

[h(z)]2 =

2

^{ai .kzk}

2

^{a2.1Z1 =}

2 2

a1 ,ka1 ,1zk+1

k = 1 1 = 1 k = 1 1 = 1

00 m ^- 1

a2,m =

2

ai ,ka1 ,m-k ^' m ?:: 2 ' k = 1

00 00 00 00

[h (z)]3 = [h (z)]1 [h(z)]2 =

2

^{a1 ,kzk}

2

^a2,1z1⁼

2 l

a1 ,ka2,1zk+i

00

=

.2

^{a3,mZm '}

m = 3

k = 1 1 = 2 k = 1 1 = 2 m - 2

a3,m =

2

ai ,ka2,m-k, m :;?: 3 ' k = 1

usw. Das allgemeine Ergebnis formulieren wir gleich als

Reihenumkehralgorithmus: Gegeben sei die formale Potenzreihe

00

h (z)

"."' l

^akzk ^, a1 � 0 . k = 1

(8 - 1)

(8 - 2)

(8 -3)

(9)

(7)

76 ÖZfVuPh 68. Jahrgang/ 1 980/ Heft 2

Dann gilt mit

a1 ,k : = ak , (k ^EN) für die 1-te Potenz der Potenzreihe ^oo

[h{z)]1 =

2

a1,mz"' , (1 ^EN) m = 1

wobei die a1,m rekursiv aus m + 1 - I

ar,m =

2

a1 .ka1-1 ,m-k ^J m � 1 ^J k = 1

berechenbar sind. Für die Umkehrung g ilt ^oo h-1 (w) =

2

^{brw1 ,}

1 = 1 wobei

f

1/a1 .1 = 1/a1

,

¹^{= 1}

J

¹ ^{1 -} ¹

br =

Jl

^{-� .}

2

bia1.1 , 1 = 2, 3, 4, . . . j = 1

im Falle a1 ⁼ a1 .1 ,p 0 wohldefiniert ist. 1 ) Denn aus h-1 (h(z)) ⁼

00 1

00 00 00

2

bi [h(z)]i =

2

^bi

2

^{ai,1Z1 =}

j = 1 j = 1 l = j

(9 - 1)

{9 - 2)

{9

-

³⁾

(⁹^{- 4)}

(9 - 5)

=

2 (2

^biai,1

)

^z1 z folgt durch Koeffizientenvergleich (9-5).

1 = 1 j = 1

Setzt man die bisher undefinierten a1.m Null, d ies ist für l<m der Fall, so kann man sich d ie a1.m als Matrix veranschaulichen, vgl. Figur 2.

0 0 a3 , 7 a3 , 8

0 0 0

��

0 0 0 0

0 0 0 0 0 a6 , 6 a6 , 7 a6 , 8

0 0 0 0 0 0 a7 , 7 a7 , B

Figur 2

') Diese Formulierung des Reihenum kehralgorithmus wurde mir von Herrn G. Lindhorst mitgeteilt.

(8)

ÖZ!VuPh 68. Jahrgang/1 980/ Heft 2 77 In der 1 . Zeile stehen die Koeffizienten ak ⁼ a1 ,k der Ausgangsreihe, in der 1-ten Zeile die Koeffizienten a1,k der 1-ten Potenz der Ausgangsreihe.

Das 1-te Diagonalglied ist a1•1 ⁼ (a1 .1)1 ⁼ (a1)1 , (9-3') was sogleich aus (9-3) folgt. Hieraus erkennt man die fundamentale Bedeu

tung von a1 für die Wohldefiniertheit des Reihenumkehralgorithmus: Ist a1 #

0, so sind alle b1 berechenbar; praktisch ist es aber doch von Vorteil, wenn man es so einrichtet, daß a1 ⁼ 1 ist - die einzige im Algorithmus auftretende Division entfällt dann.

Ein beliebiges Element a1.m (1-te Zeile, m-te Spalte) stellt den Koeffizienten von

zm in der Darstellung von

(�

^{a1 ,kzk}

)

^'

k ⁼ 1

dar. Wir bekommen a1.m als eine Art l nprodu kt zwischen der ersten u nd (1- 1 ).ten Zeile bis zur (m-1 ).ten ⁼ vorletzten Spalte, wobei die Besonderheit dieses l nprodukts sprachlich schwer zu formulieren, aber aus der Figur 2 und (9-3) gut ersichtlich ist. („Versetzt-gespiegelte-lnprodukt.")

Der Reihenumkehralgorithmus wurde programm iert und für eine Reihe von Beispielen, bei denen man für Funktion und Umkehrfunktion die Reihen

entwicklung an der Stelle Null kennt, getestet. Als in vielen Hinsichten kritisch

stes Beispiel hat sich dabei das folgende erwiesen :

00

h (z) ⁼ l n (1 + z) =

l

akzk , wobei ak ⁼ ( - 1 )k+1/k , k ⁼ 1

00

h-1 (w) ⁼ exp(w) - 1 ⁼

l

b1w1 , wobei b1 ⁼ 1/1 ! . 1 = 1

Der Algorithmus muß ja hierbei im Verlaufe des Rechenganges von den relativ schwach fallenden ak zu den stark gegen Null strebenden b1 kommen;

es ist z. B. a1 00 ⁼ -0.01 , b1 00 ⁼ 1 .071 51 x 1 0-1 58.

Insofern erscheint es nicht verwunderlich, daß die Koeffizientenberech

nung mit doppelter Genauigkeit (an der verwendeten Cyber 1 74 sind dies bis zu 29 Dezimalstellen) für manche Beispiele von entscheidendem Vorteil ist.

4. Tests

Die in diesem Aufsatz dargestellten Formeln wurden in ANSI-Fortran programmiert und zahlreichen Tests unterworfen, über die im folgenden noch berichtet wird. Interessierten Lesern kann auf Wunsch das Programmsystem, eine Übersicht über die Unterprogramme und je eine Plotterzeichnung des Netzes für faK und fü� zugesandt werden.

Mit dem erwähnten Programmsystem wurden im wesentlichen zwei Arten von Tests durchgefüh rt. Bei der ersten Testreihe wurde fü� (z; 0) mit den

(9)

Ergebnissen einer rein sphärischen Berechnung verglichen, es ist ja

(

^,; ^B

)

g ( B ; 0) = I n tan 4 ⁺2 ⁼q , w ⁼ q ⁺ i l ' E

(�; o)

⁼

� ,

foK(w ; O) ⁼ a . ga; (w; O) ⁼a

[

2 arctan(ew) ^-

�:i ,

fo�(z ; O) ⁼

� ( ^�

^;⁰

)

⁼^{log tan}

( ^:

⁺

z�a) .

Bei der zweiten Testreihe wurde f0� (f0K(w)) ⁼: w für ein Ellipsoid m it erd

ähnlicher Abplattung berechnet und m it der Sollgröße w verglichen. Dabei stellte sich heraus, daß das Programmsystem nur im oberen, offenen Ellip

soidviertel, also O<B«rr/2, -4T/2<L< + '!T/2, zufriedenstellend funktioniert, obwohl die inverse Gauß-Krüger-Funktion in der vorderen, offenen Ellipsoid

hälfte wohldefiniert ist.

Der Grund hierfür liegt in der Ausführu ng von

00

E-l (u) ⁼ arcsin(h-l (u)) , h-1(u) ⁼

l

bku2k+l , k ⁼0 vgl. (2'), wobei das Argument u gemäß (5) durch

U = E - -z

gegeben ist. Hierin verhalten sich die durch Reihen u m kehr gewonnenen a Koeffizienten bk im wesentlichen wie die Sinuskoeffizienten (-1 )kf(2k + 1 )! , im sphärischen Fall g ilt h-1 ⁼ sin sogar exakt. Das Argument u ist aber am und südlich des Äquators viel g rößer als nördlich davon, für den Nordpol wäre u

= 0, für den Südpol u ⁼ 2 E. Diese Situation ist ziemlich direkt vergleichbar mit dem Versuch, sin ('TT) mittels der Taylorentwicklung in 0 zu berechnen. Man spart Rechenzeit und vermeidet U ngenauigkeiten, wenn man für die Südhalb

kugel von den Symmetriebeziehungen

fü� (-z) ⁼ -fü�(z), fü� (z) ⁼ fü� (z), fü� (-z) ⁼ -fü� (z) Gebrauch macht, die natürlich auch für foK gelten.

Literatur

Ecker, E.: Über die Gauß-Krüger-Abbildung. ÖZfVuPh, 65. Jg./1 977 / Heft 3/4, S. 1 08 bis 1 1 7.

Ecker, E.: Conformal Mappings of the Earth Ellipsoid. Manuscripta geodaetica, Vol. 3 (1 978), S. 229 bis 251 .

Gradshteyn, /. S., and /. M. Ryzhik: Table of Integrals, Series and Products. Academic Press, New York, 1 965.

Knopp, K.: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer, Berlin, 1 964.

¨Uber die inverse Gauß-Kr ¨uger-Abbildung