1 Satz von C astigliano
Freischnitt:
Für zwei Systeme auf der Ebene, also drei Freiheitsgrade kann man jeweils drei, also sechs Gleichungen aufstellen. Insgesamt haben wir aber sieben Unbekannte (K1,K2, . . . ,K7) zu bestimmen. Das bedeutet, das System ist einfach statisch überbestimmt.
Der Stab, eine Pendelstütze (System 2), leitet nur die Kraft längs der Achse, also hängt dessen (komplementäre) Formände- rungsenergie nur von der Normalkraft ab:
WStab∗ = 1 2EA2
Z
l
N2(x) dx
= 1 2EA2
l
Z
0
S2dx
= S2l2 2EA2
Die komplementäre Formänderungsenergie des schubstarren Balkens berechnet sich nach WBalken∗ = 1
2EA Z
N2(x) dx+ 1 2EI
Z
M2(x) dx
Zur Berechnung der Integrale werden die Schnittlasten aufgezogen:
Der Momentenverlauf ist dann
M(x)=
p
2(a+b−x)2+ −S c l2 a−x
!
, fürx∈0,a p
2(a+b−x)2, fürx∈a,a+b.
Die gesamte komplementäre Formänderungsenergie des Systems lässt sich dann aus W∗=WStab∗ +WBalken∗
berechnen (mitl1Ba+b):
W∗= S2l2
2EA2 + 1 2EA1
a
Z
0
−Sa l2
!2
dx+ 1 2EI
a
Z
0
p
2 l1−x2+S c l2
x−a
!2
dx+
l1
Z
a
p
2 l1−x2 2
dx
Im Punkt B ist wegen der Lagerung die Verschiebung (in Kraftrichtung, also längs der Achse) Null zu setzen:
uB= ∂W∗
∂S =0 Daraus berechnen wir:
0=∂W∗
∂S = 2S l2
2EA2 + 1 2EA1
a
Z
0
2 −S a l2
!
−a l2
!
dx+ 1 2EI
a
Z
0
2 p
2 l1−x2+S c l2
x−a
! c l2
x−a
! dx+
l1
Z
a
2 p
2 l1−x2
·0 dx
= S l2
EA2 + S a2 EA1l22x
a
0
+ 1 EI
a
Z
0
pc 2l2
l21x−2x2l1+x3−l21a+2xl1a−ax2 +S c2
l22 (x−a)2
dx
= S l2 EA2
+ S a3
EA1l22 + pc EI2l2
l21a2 2 −2a3
3 l1+a4
4 −l21a2+2a2
2l1a−aa3 3
! + S c2
EIl22 a3
3 −2aa2 2 +a2a
!
=S
l2
EA2 + a3
EA1l22 + c2a3 3EIl21
+ pc 2EIl2
−a4 12+a3l1
3 −l21a2 2
⇒ S = pc 2EIl2
a4 12−a3l1
3 +l21a2 2
l2
EA2 + a3
EA1l22 + c2a3 3EIl22
, l1=a+b, l2= √ a2+c2
2 Prinzip der virtuellen Verrückungen
i) Freischnitt des Gesamtsystems:
ii) Variation der Verschiebung im Punkt A in vertikaler Richtung zur Bestimmung der vertikalen LagerreaktionA2: Nun ist die virtuelle Arbeit Null zu setzen (Beach-
te, dass daδuE ⊥E1keine virtuelle Arbeit im La- ger E verrichtet wird!):
δA=0=q02lδuq+A2δuA
⇒ A2=−q02lδuq δuA
Die kinematischen Verträglichkeitsbedingungen können aus der Skizze bestimmt werden:
δuq δuC = l
2l, δuC=δuA.
Damit folgt für die gesuchte vertikale Lagerreak- tion in Punkt A:
A2=−q02l lδuC
2lδuC =−q0l.
iii) Variation der Verschiebung im Punkt A in horizontaler Richtung zur Bestimmung der horizontalen LagerreaktionA1:
Wieder ist die virtuelle Arbeit Null zu setzen:
δA=0=−A1δuA+M0δϕ+q20lδuq
⇒ A1=M0
δϕ
δuA +2q0lδuq δuA
Die benötigten kinematischen Verträglichkeitsbe- dingungen können wieder aus der Skizze bestimmt werden:
δuq δuC = l
2l, δuA
l =δϕ, δuC
3/2l =δϕ.
Damit folgt für die gesuchte horizontale Lagerre- aktion in Punkt A:
A1=M0
1 l +3
2q0l
3 Hausaufgabe – PdvV
Freischnitt des Systems:
Das System wird nur mit einer vertikalen Last F belastet.
Daher existieren keine horizontalen Rekationen.
Reaktion in Lager A
Die virtuelle Arbeit ist wieder Null zu setzen:
δA=0=A1δuA−FδuF
⇒ A1 =FδuF δuA
Mit den kinematischen Beziehungen δuA
δuC = l1
l3−l1
, δuF δuC =l2
l4
⇒ δuF
δuA = l2δuC(l3−l1) l1l4δuC
folgt dann die vertikale Lagerreaktion in A zu A1=b(l1−l3)
l1l4
F
Reaktion in Lager B
Analoges Vorgehen wie zuvor:
δA=0=B1δuB+FδuF
⇒ B1 =−FδuF δuB
Mit den kinematischen Beziehungen δuB
l1 =δuC l3 , δuF
δuC = l2
l4 ⇒ δuF
δuB =δuCl2l3
l1l4δuC
folgt dann die vertikale Lagerreaktion in B zu B1=l2l3
l1l4F
Reaktion in Lager D
Analoges Vorgehen wie zuvor:
δA=0=−FδuF+D1δuD
⇒ D1=FδuF
δuD =l4−l2
l4
F
Reaktion im Knoten C
Hier muss freigeschnitten werden, um die Kraft im Knoten sichtbar zu machen. Sonst analog.
δA=0=C1δuC−FδuF
⇒ C1=FδuF δuC = l2
l4
F
