Zertifizierende 3-Zusammenhangstests

© 04.12.18 Jens M. Schmidt

Zertifizierende 3-Zusammenhangstests

Jens M. Schmidt

9 4 8

3 1 2

7

4

4

1

5 7 5

6

© 04.12.18

Beispiel 3-Zusammenhang

nicht 3-zusammenhängend 3-zusammenhängend

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Beispiel 3-Zusammenhang

nicht 3-zusammenhängend

Zertifikat: Separationspaar 3-zusammenhängend Zertifikat: ?

ZSHK aller Knotenpaare: Platz O(n ³ )

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●

Zertifizierende Algorithmen

●

Barnette-Grünbaum Operationen, Bijektion zu BG-Pfaden, Existenz BG-Sequenz

●

Zertifizierende 3-Zusammenhangstests in Zeit O(n ² ) und O(n+m)

●

Tuttes Wheel-Theorem und weitere (Kon)Sequenzen

Überblick

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Algorithmus heißt zertifizierend, wenn er für jede Eingabe ein kleines und leicht zu verifizierendes Zertifikat für die Korrektheit der Ausgabe liefert.

●

In der Praxis unerlässlich bei komplizierten Algorithmen

●

Beweist Fehlerfreiheit...

●

...jeder Instanz!

●

nicht nur bei Implementierungs-, sondern auch Hardware- und Algorithmenentwurfsfehlern

●

Zertifikat kann in Praxis sogar oft formal verifiziert werden (Coq, Isabelle) Sei G schlicht.

●

2-Zusammenhang: Ohrendekompositionsalgorithmus ist zertifizierend

●

3-Zusammenhang: Test mit SPQR-Baum in Zeit O(n+m) (1 R-Knoten?)

●

1973 Hopcroft-Tarjan

●

2000 Gutwenger-Mutzel

●

Beide liefern

●

Separationspaar, wenn G nicht 3-zusammenhängend ist, aber

●

kein Zertifikat, wenn G 3-zusammenhängend ist.

=> sind nicht zertifizierend

Zertifizierende Algorithmen

„weiche“ Bedingungen

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Zertifizierende 3-Zusammenhangstests:

●

O(nm ² ) Algorithmus mit Tutte-Kontraktionssequenz

●

Finde und kontrahiere n-1 mal eine 3-kontrahierbare Kante (3-Zshngstest)

●

O(n ³ ) durch vorherige Kantenreduktion mit Nagamochi-Ibaraki

●

2006 [Albroscheit-Rote]: O(n ² ), gemischte Zertifikate

●

2010 [Mehlhorn-Schweitzer]: O(n ² ), berechnet Tutte-Kontraktionssequenz

●

2010 [S.]: O(n ² ), berechnet Tutte- und Barnette-Grünbaum-Sequenz

●

2010 [Elmasry-Mehlhorn-S.]: O(n+m) für Hamiltonsche Graphen

●

2012 [S.]: O(n+m) generell

Historie

hier

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Unterteilungen und Glättungen

K ₄ = Glättung(H)

(Glättung ist wohldefiniert, falls jeder maximale Kantenzug mit inneren Knoten des Grads 2 verschiedene Endknoten des Grads mindestens 3 hat)

die 4 links von H

H = Unterteilung von K ₄ unterteilen

glätten

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●

Zertifizierende Algorithmen

●

Barnette-Grünbaum Operationen, Bijektion zu BG-Pfaden, Existenz BG-Sequenz

●

Zertifizierende 3-Zusammenhangstests in Zeit O(n ² ) und O(n+m)

●

Tuttes Wheel-Theorem und weitere (Kon)Sequenzen

Überblick

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Eine Kante e von G heißt entfernbar, wenn Glättung(G-e) 3-zusammenhängend ist.

Thm [Barnette-Grünbaum 1969]: Jeder 3-zshngd. Graph G  K ₄ enthält eine entfernbare Kante. → Beweis später genereller

Umkehrung der Glättung(G-e) definiert BG-Operationen:

●

Jede BG-Operation erhält 3-Zusammenhang → Übung

Barnette-Grünbaum Operationen

a b a b

y y

x a

v f

b w

a v

b w

x y

x y

x

y

Parallelkanten

hinzufügbar a  b, y  {a,b} e  f, e nicht parallel zu f

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Thm: G 3-zshngd. <=> G von K ₄ mit BG-operationen konstruierbar (Beweis später).

BG-Sequenz ist gutes Zertifikat! (lineare Größe, jede BG-operation in O(1) prüfbar) Berechnung?

●

Idee [S. 2010]: Nutze Bijektion zu Unterteilungen 3-zshngd. Teilgraphen von G

BG-Sequenz

BG-Sequenz G

G K ₄

K -Unterteilung in G

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●

Korollar: Jeder 3-zshngd. Graph enthält eine K ₄ -Unterteilung.

●

Mit der Bijektion können wir von der K ₄ -Unterteilung ausgehend Pfade

hinzufügen, die den hinzugefügten Kanten von BG-Operationen entsprechen:

●

Sei H eine Unterteilung eines 3-zshngd. Graphen

●

Zwei links von H heißen parallel, wenn sie die gleichen Endknoten haben.

●

Ein BG-Pfad ist ein offenes Ohr x,...,y von H, so dass

●

jeder x und y enthaltene link x und y als Endknoten enthält und

●

nicht beide, x und y, innere Knoten von parallelen links sind.

BG-Pfade

BG-Pfad kein BG-Pfad kein BG-Pfad

H P

x

y H

x P

y H P

x

y

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BG-Pfade

3-zshngd. Graph H' H'-Unterteilung H in G

Kanten von H' Links von H

Startgraph ist K ₄ Startgraph ist K ₄ -Unterteilung

BG-Operation BG-Pfad

Knoten Knoten vom Grad mind. 3 (schwarz)

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Lemma: Sei G 3-zshngd. und H  G Unterteilung eines 3-zshngd. Graphen. Dann enthält G einen BG-Pfad von H.

Beweis:

●

Fall H = Glättung(H):

●

Jeder Link von H ist Kante; alle Knoten schwarz.

●

Falls Knoten in G-V(H) existiert:

Existenz der Sequenzen

H

...

... G

.. . ...

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Lemma: Sei G 3-zshngd. und H  G Unterteilung eines 3-zshngd. Graphen. Dann enthält G einen BG-Pfad von H.

Beweis:

●

Fall H = Glättung(H):

●

Jeder Link von H ist Kante; alle Knoten schwarz.

●

Falls Knoten in G-V(H) existiert:

●

Mengers Theorem in G ergibt BG-Pfad von H

Existenz der Sequenzen

H

...

... G

.. . ...

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Lemma: Sei G 3-zshngd. und H  G Unterteilung eines 3-zshngd. Graphen. Dann enthält G einen BG-Pfad von H.

Beweis:

●

Fall H = Glättung(H):

●

Jeder Link von H ist Kante; alle Knoten schwarz.

●

Falls Knoten in G-V(H) existiert:

●

Mengers Theorem in G ergibt BG-Pfad von H

●

Sonst existiert Kante in G-E(H):

●

Diese ist BG-Pfad von H

●

Fall H  Glättung(H):

●

x := innerer Knoten eines Links L=a,...,b.

●

A := Menge der inneren Knoten aller

Links von H, die L oder parallel zu L sind.

●

B := V(H)-A-a-b.

●

Wende Menger zwischen A und B in G an:

=> 3 A-B-Pfade; einer vermeidet a und b

=> G-E(H) enthält A-B-Pfad x'y mit y  H-a-b

●

x'y ist Ohr von H und damit BG-Pfad, da x' und y nicht in parallelen Links sind

Existenz der Sequenzen

H

...

... G

.. . ...

...

H B

...

G

x’

L

a

b

x

... y

A

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Korollar: G 3-zshngd. <=>  3 und es existiert eine BG-Pfadsequenz von einer (beliebigen) K ₄ -subdivision in G nach G.

Beweis:

=>: nach Lemma

<=:

●

BG-Operationen erhalten 3-Zusammenhang.

●

BG-Pfade auch, wenn der finale Graph keine Knoten des Grads 2 enthält.

Existenz der Sequenzen

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●

Zertifizierende Algorithmen

●

Barnette-Grünbaum Operationen, Bijektion zu BG-Pfaden, Existenz BG-Sequenz

●

Zertifizierende 3-Zusammenhangstests in Zeit O(n ² ) und O(n+m)

●

Tuttes Wheel-Theorem und weitere (Kon)Sequenzen

Überblick

© 04.12.18

●

Wie findet man BG-Pfade jeweils in Zeit O(m)?

●

Einfache Erreichbarkeitssuche durch DFS/BFS, die Knoten a und b vermeidet.

●

Wie findet man effizient eine K ₄ -Unterteilung?

●

Mit chain decompositions:

●

DFS-Wurzel r hat genau ein Kind b und Grad  3

●

C ₁ ist Kreis und C ₂ offenes Ohr mit Endknoten i

=> C ₁  C ₂ ist K ₂ ³ -Unterteilung und b  i wegen 3-Zshng.

●

{r,i} ist kein Separationspaar

Berechnung in Zeit O(n ² )

K ₂ ³ -Unterteilung

r b i

C ₁ C ₂

© 04.12.18 Jens M. Schmidt r

i

●

Wie findet man BG-Pfade jeweils in Zeit O(m)?

●

Einfache Erreichbarkeitssuche durch DFS/BFS, die Knoten a und b vermeidet.

●

Wie findet man effizient eine K ₄ -Unterteilung?

●

Mit chain decompositions:

●

DFS-Wurzel r hat genau ein Kind b und Grad  3

●

C ₁ ist Kreis und C ₂ offenes Ohr mit Endknoten i

=> C ₁  C ₂ ist K ₂ ³ -Unterteilung und b  i wegen 3-Zshng.

●

{r,i} ist kein Separationspaar

=>  chain von innerem Knoten des r-i-Baumpfads bis zu einem Knoten ≠i im Teilbaum T(i).

●

Laufzeit O(m)

→ Thm:  zertifizierender 3-Zusammenhangstest mit Laufzeit O(nm).

Faktor n statt m, da jede BG-Pfad-Einzelkante in konstanter Zeit gefunden wird.

●

Nagamochi-Ibaraki (spätere Vorlesung):

Kantenreduktion vorab in Zeit O(m), bewirkt m  3n-3

→ Thm:  zertifizierender 3-Zusammenhangstest mit Laufzeit O(n ² ).

Berechnung in Zeit O(n ² )

K ₄ -Unterteilung

C ₁ C ₂

© 04.12.18

Starte mit K ₂ ³ -Unterteilung und lasse ersten BG-Pfad K ₄ -Unterteilung erstellen.

Linearzeit

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

© 04.12.18 Jens M. Schmidt

Starte mit K ₂ ³ -Unterteilung und lasse ersten BG-Pfad K ₄ -Unterteilung erstellen.

●

Zeit O(m)

Grundidee für Berechnung der BG-Pfade: Füge jeweils chain als BG-Pfad hinzu.

●

Chains bilden Baum U! Chain C ist Kind von chain D, wenn C die T-Vaterkante des Endknotens von D enthält.

●

Klassifikation der chains in 3 Typen entlang der chain-Reihenfolge:

Linearzeit

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

v

v

v

C

v

v

C

C

C

C

C

C

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

© 04.12.18

Sei C _i Kind von C _k , s(C _i )=Startknoten, t(C _i )=Endknoten von C _i und a→ _T b a-b-Pfad in T.

Chain-Klassifikation

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

v

v

v

C

v

v

C

C

C

C

C

C

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

© 04.12.18 Jens M. Schmidt

Sei C _i Kind von C _k , s(C _i )=Startknoten, t(C _i )=Endknoten von C _i und a→ _T b a-b-Pfad in T.

Typ 1: s(C _i )→ _T t(C _i )  C _k

Typ 2: nicht Typ 1 und s(C _i )=s(C _k )

●

Typ 2a: C _i ist Rückwärtskante. Typ 2b: C _i ist keine Rückwärtskante, markiere C _i Typ 3: weder Typ 1 noch Typ 2. Typ 3a: C _k ist unmarkiert. Typ 3b: C _k ist markiert.

Chain-Klassifikation

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

v

v

v

C

v

v

C

C

C

C

C

C

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

Typ 1 Typ 2

●

Typ 2a (nur C ₃ )

●

Typ 2b Typ 3

●

3a

●

3b (nur C ₁₄ und C ₁₆ )

C

D

C

.. .

y

.. .

Erstelle bei Typ 3b caterpillar L _i , der C _i und alle markierten

direkten Vorfahrchains (Typ 2b) enthält; demarkiere letztere.

L ₁₄ ={C ₁₄ ,C ₆ ,C ₄ } L ₁₆ ={C ₁₆ ,C ₅ }

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S _l := aktueller Teilgraph von G (ist Unterteilung eines 3-zshngd. Graphen) Erstrebenswerte Invariante für jedes S _l :

●

nach oben abgeschlossen (jeder Vater einer chain in S _l ist auch in S _l ) und

●

modular (S _l ist Vereinigung von chains)

Aber: Es gibt modulare und abgeschlossene S , für die keine chain BG-Pfad ist!

Restriktion R1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

v

v

v

C

v

v

C

C

C

C

C

C

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

C

C

C

C

C

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Lösung durch Restriktion R1:

Füge entweder einzelne chains als BG-Pfade oder ganze caterpillars hinzu, so dass S _l immer modular und abgeschlossen ist.

●

Caterpillars können dann kanonisch in einzelne BG-Pfade zerlegt werden.

Restriktion R1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

v

v

v

C

v

v

C

C

C

C

C

C

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

C

D

C

.. .

y

.. .

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Restriktion R2:

In S _l (außer der ersten K ₂ ³ -Unterteilung) existiert kein link aus ausschließlich Baumkanten, der einen parallelen link hat.

Restriktion R2

...

C

C

C

...

verboten erlaubt

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●

Sei Kinder ₁₂ (C _i ) die Menge der Kinder von C _i der Typen 1 und 2, die nicht in S _l enthalten sind.

●

Sei Typ ₃ (C _i ) die Menge der chains des Typs 3, die an einem Knoten in C _i starten und nicht in S _l enthalten sind.

Theorem 1: Sei Kinder ₁₂ (C _j )=Typ ₃ (C _j )=  für alle Vorfahren C _j einer chain C _i .

Dann existiert eine Ordnung auf den chains in Kinder ₁₂ (C _i )  Typ ₃ (C _i ), in der diese als BG-Pfade oder caterpillars hinzufügbar sind.

→ so dass R1 und R2 erfüllt ist, d.h. mit allen Vorgängerchains soweit vorhanden

Existenz

C

C

C

C

C

C

C

y

x

Typ ₃ (C ₀ ) = {C ₅ ,C ₆ }, füge C ₅ +C ₃ als caterpillar hinzu. Füge C ₆ hinzu.

●

Kinder ₁₂ (C ₃ ) = {C ₄ }, füge C ₄ hinzu.

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Wie findet man solch eine Ordnung? Mit Intervall-Überlappungen!

●

Chains in Typ ₃ (C _i ), deren Segmente von S _l keine chain aus Kinder ₁₂ (C _j ) enthalten, können sofort hinzugefügt werden.

●

Bilde die restlichen Segmente von S _l wie folgt auf Intervallmengen ab.

Intervall-Überlappungen

H

v

...

C

v

v

H

H

H

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

I(H

)

I(H

) I(H

)

I(H

)

I

C

v

Ordnung: I ₀ (schwarze innere Knoten), I(H ₃ ), I(H ₄ ), I(H ₂ ), I(H ₁ )

Amortisiert Zeit O(1) pro Element erreichbar!

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Bearbeite C ₀ :

●

Da Kinder ₁₂ (C ₀ )=  , können wir die chains in Typ ₃ (C ₀ )={C ₇ ,C ₈ ,C ₉ } in aufsteigender Ordnung (Väter in Segmenten zuerst) hinzufügen.

Beispiel

Unterteilung S ₃ ={C ₀ ,C ₁ ,C ₂ }

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

v

v

v

C

v

v

C

C

C

C

C

C

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

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Bearbeite C ₀ :

●

Da Kinder ₁₂ (C ₀ )=  , können wir die chains in Typ ₃ (C ₀ )={C ₇ ,C ₈ ,C ₉ } in aufsteigender Ordnung (Väter in Segmenten zuerst) hinzufügen.

●

Nach Hinzufügen von C ₇ : K ₄ -Unterteilung

Beispiel

Unterteilung S ₄

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

v

v

v

C

v

v

C

C

C

C

C

C

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

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Bearbeite C ₁ : Kinder ₁₂ (C ₁ )=Typ ₃ (C ₁ )=  → nichts zu tun

Bearbeite C ₂ : Kinder ₁₂ (C ₂ )={C ₃ ,C ₄ ,C ₁₀ ,C ₁₂ ,C ₁₃ } und Typ ₃ (C ₂ )={C ₁₄ ,C ₁₅ }

●

Nach Theorem 1 werden C ₃ ,C ₁₀ ,C ₁₂ ,C ₁₃ und der caterpillar L ₁₄ hinzugefügt.

●

Um eine zulässige Ordnung der chains zu finden, gruppieren wir diese nach Segmenten von S ₆ und berechnen die folgende Abbildung auf Intervallmengen.

Beispiel

Unterteilung S ₆

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

v

v

v

C

v

v

C

C

C

C

C

C

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

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●

I ₀ ist durch inneren Knoten v ₅ bestimmt. Sei H das Segment, das C ₁₄ enthält.

●

Die Interval-Überlappungsfolge I ₀ ,I(C ₁₀ ),I(C ₁₂ ),I(C ₁₃ ),I(C ₃ ),I(H) ergibt die Ordnung der hinzuzufügenden Segmente.

●

In jedem Segment H' werden diejenigen chains und caterpillars (top-down in U) hinzugefügt, die Vorfahren von H'  (Kinder (C )  Typ (C )) sind.

Beispiel

Unterteilung S ₆

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

v

v

v

C

v

v

C

C

C

C

C

C

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

C

v

v

v

v

I

v

v

v

I(C

)

I(C

)

I(C

)

I(C

) I(H)

v

H

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Bearbeite C ₃ : nichts zu tun

Bearbeite C ₄ : Kinder ₁₂ (C ₄ )={C ₅ } und Typ ₃ (C ₄ )={C ₁₆ }

●

Füge die zwei BG-Pfade des caterpillars L ₁₆ ={C ₅ ,C ₁₆ } hinzu.

Beispiel

Unterteilung S ₁₄

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

v

v

v

C

v

v

C

C

C

C

C

C

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

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Bearbeite C ₅ : nichts zu tun

Bearbeite C ₆ : Kinder ₁₂ (C ₆ )={C ₁₇ } und Typ ₃ (C ₆ )= 

●

Der innere Knoten v ₁₃ von C ₆ impliziert, dass sich ein Interval aus I ₀ mit C ₁₇ überlappt.

Füge C hinzu.

Beispiel

Unterteilung S ₁₆

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

v

v

v

C

v

v

C

C

C

C

C

C

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

© 04.12.18 Jens M. Schmidt

Bearbeite C ₇ : nichts zu tun

Bearbeite C ₈ : Kinder ₁₂ (C ₈ )={C ₁₁ } und Typ ₃ (C ₈ )= 

●

Der innere Knoten v ₆ von C ₈ impliziert, dass sich ein Interval aus I ₀ mit C ₁₁ überlappt.

●

Füge C ₁₁ hinzu.

Beispiel

Unterteilung S ₁₇

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

v

v

v

C

v

v

C

C

C

C

C

C

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

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Beispiel

Unterteilung S ₁₈ =G

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

v

v

v

C

v

v

C

C

C

C

C

C

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

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●

Zertifizierende Algorithmen

●

Barnette-Grünbaum Operationen, Bijektion zu BG-Pfaden, Existenz BG-Sequenz

●

Zertifizierende 3-Zusammenhangstests in Zeit O(n ² ) und O(n+m)

●

Tuttes Wheel-Theorem und weitere (Kon)Sequenzen

Überblick

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Ein vertex splitting eines Knotens v des Grads  4 ersetzt v durch zwei adjazente Knoten x und y mit jeweils mindestens 3 Nachbarn, so dass jede Kante, die inzident zu v war, inzident zu entweder x oder y ist.

Theorem [Tutte 1961]: Ein schlichter Graph G ist genau dann 3-zshngd., wenn er von einem Radgraphen durch eine Folge von Kantenadditionen und vertex

splittings erzeugt werden kann.

Umkehrung: Kantenlöschungen und -kontraktionen (3-zshngserhaltend).

Tuttes Wheel-Theorem

W ₅

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●

Tuttes Kontraktionssequenz existiert und kann in Zeit O(m) berechnet werden

→ durch BG-Sequenz, s. Übung

●

Viele weitere Sequenzen in Zeit O(m):

Tuttes Wheel-Theorem