Dr. Regula Krapf, Ralf Holzmann 22. Juni 2018
Zu Besuch auf der Logikinsel: Rätsel und Paradoxien
1. Logikrätsel
Auf der Logikinsel gibt es zwei Arten von Menschen, und diese lassen sich in zwei Gruppen ein- teilen:
Ritter: Sagen immer die Wahrheit.
Schurken: Lügen immer.
Jeder der Inselbewohner gehört genau einer dieser Gruppen an. Wenn man nun herausfinden möchte, welchem Typ ein Inselbewohner angehört, so stößt man aufLogikrätsel.
Beispiel 1.Wir sind nun auf der Logikinsel zu Besuch und treffen zwei InselbewohnerAundB.
Asagt: “Mindestens einer von uns ist ein Schurke.”
Welchem Typ gehören die beiden Inselbewohner an?
Aufgabe 1.In einem anderen Szenario begegnen wir zwei InselbewohnerAundB.
Asagt: “Wir gehören dem gleichen Typ an.”
Bsagt: “Aist ein Schurke.”
Welchem Typ gehören die beiden Inselbewohner an?
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Aufgabe 2.Im nächsten Szenario treffen wir nun drei InselbewohnerA, BundC.
Asagt: “BundCsind Schurken.”
Bsagt: “Aist ein Schurke.”
Csagt: “Aist ein Schurke oderBist ein Schurke.
Welchem Typ gehören die drei Inselbewohner an?
Aufgabe 3.Erstelle dein eigenes Rätsel über die Insel der Ritter und Schurken.
• Ist es lösbar? Falls ja, ist es eindeutig lösbar?
• Gibt es auch Rätsel ohne Lösung?
• Wie viele Lösungen kann es maximal geben?
Zusatz:Versuche das Rätsel so zu gestalten, dass es genau eine Lösung hat.
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Beispiel 2.Auf der Insel der Ritter und Schurken leben genau 100 InselbewohnerB1, B2, B3, . . . , B100. Auf die Frage, wie viele Schurken auf der Insel wohnen, erhalten wir folgende Antworten:
B1: Eine.
B2: Zwei.
B3: Drei.
...
B99: Neunundneunzig.
B100: Hundert.
Wie viele Schurken wohnen auf der Insel?
Gemäß einem alten Mythos gibt es Gold auf der Logikinsel. Wir begeben uns auf der Suche nach Gold auf die Logikinsel und fragen die Bewohner, ob es tatsächlich Gold auf der Insel gibt.
Beispiel 3.Ein InselbewohnerAantwortet auf die Frage, ob es Gold auf der Insel gibt:
“Wenn ich ein Ritter bin, so gibt es Gold auf der Insel.”
Gibt es tatsächlich Gold auf der Insel?
Aufgabe 4.Welche Aussage könnte eine Inselbewohner machen, sodass wir folgern können, dass (a) wenn er ein Ritter ist, es Gold auf der Insel gibt, jedoch, wenn er ein Schurke ist, unklar ist, ob
es Gold gibt?
(b) wenn es kein Gold auf der Insel gibt, er ein Ritter sein muss, doch wenn es Gold gibt, es unklar ist, welchem Typ er angehört?
Aufgabe 5. Erstelle ein eigenes Rätsel wie in Aufgabe 4 und gib eine Lösung an.
Tipp:Es ist einfacher, zuerst die Lösung anzugeben und dann eine passende Fragestellung zu fin- den.
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2. Paradoxien
Beispiel 4.Eine Inselbewohner sagt: “Ich bin ein Schurke.” Ist dies möglich?
Es handelt sich um einParadoxon, das sogenannte Lügnerparadoxon:
Ich lüge! bzw. Dieser Satz ist falsch.
Der Satz ist genau dann wahr, wenn er falsch ist! Das Paradoxon istselbstbezüglich.
Pinocchios Nase wächst⇔Pinocchio lügt.
Beispiel 5.Zwei Inselbewohner treffen folgende Aussagen:
Asagt: “Bist ein Schurke.”
Bsagt: “Aist eine Ritter.”
Ist dies möglich?
Es handelt sich auch hier um einParadoxon.Anders formuliert:
Der nächste Satz ist falsch.
Der vorangehende Satz ist wahr.
Das Paradoxon istzirkulär.
Aufgabe 6.Finde Aussagen von drei Inselbewohnern, die zirkulär und widersprüchlich sind.
Geht es auch mit vier oder mehr Inselbewohnern?
Beispiel 6.Wir nehmen nun an, dass auf der Insel unendlich viele BewohnerB1, B2, B3, . . .wohnen, die alle einen Satz sagen:
B1: Jeder der BewohnerB2, B3, . . .ist ein Schurke.
B2: Jeder der BewohnerB3, B4, . . .ist ein Schurke.
B3: Jeder der BewohnerB4, B5, . . .ist ein Schurke.
...
Ist dies möglich?
Es handelt sich auch hier um einParadoxon,nämlich demParadoxon von Yablo.
A1: Die SätzeA2, A3, . . .sind falsch.
A2: Die SätzeA3, A4, . . .sind falsch.
A3: Die SätzeA4, A5, . . .sind falsch.
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Aufgabe 7.Ein Inselbewohner sagt:
“Wenn ich ein Ritter bin, so habe ich diese Aussage schon einmal gemacht.”
Ist dies möglich?
Letztes Rätsel. Ein Tropenforscher wird von Kannibalen gefangen genommen. Die Kannibalen beabsichtigen den Forscher zu essen und geben ihm die Möglichkeit auszusuchen, wie er verspeist werden soll. Dazu darf er einen Satz sagen.
(1) Falls der Satz wahr ist, so wird er gekocht.
(2) Falls der Satz falsch ist, so wird er gegrillt.
Wie kann sich der Forscher retten?
Literaturtipp:Smullyan, Raymond (1989):Logik-Ritter und andere Schurken.Aus dem Englischen übersetzt von Thea Brandt. Frankfurt am Main: S. Fischer Verlag.
