Fakultät für Mathematik und Informatik 9. Januar 2014 TU Bergakademie Freiberg
Dr. M. Helm, Dr. A. Franke-Börner
Numerik linearer und nichtlinearer Parameterschätzprobleme
Computerübung zur Regularisierung und zu Problemen mit Gleichungsrestriktionen
Aufgabe 1
Gleichungssysteme mit invertierbarer quadratischer KoeffizientenmatrixAlassen sich als Klein- ste-Quadrate-Probleme auffassen. Auf diese lassen sich die in der Vorlesung behandelten Me- thoden zur Regularisierung (Tikhonov, TSVD) anwenden. In der Praxis macht man sich das z. B. bei Entfaltungsproblemen aus der Signalverarbeitung zu Nutze.
(a) Erzeugen Sie einen Vektor x∈R100 („Ausgangssignal“) mitxk = 1für k= 20,30,50,90 und xk = 0sonst.
(b) Wenden Sie aufx ∈ R100 einen „Bildstörungsoperator“ der Form A = 14tridiag(1,2,1) an, d. h. erzeugen Sie einen „Datenvektor“ b=Ax.
(c) Das Ausgangssignal lässt sich in unserem Falle problemlos mittelsx=A−1b rekonstru- ieren (ausprobieren!). Ergründen Sie, was passiert, wenn man stattdessen das Fehler- funktional
f(x) =kb−Axk22+α2kxk22
minimiert (Tikhonov-Regularisierung). Experimentieren Sie mit verschiedenen Werten für α.
(d) Fügen Sie zu den Daten nun additiv Rauschen hinzu, d. h. verwenden Sie einen Daten- vektor der Form
bε=Ax+εr,
wobeirein Vektor standardnormalverteilter Zufallsvariablen sei. Ein guter Wert fürεist 10−2. (Hinweis für die Matlab-Programmierung:r = random(’Normal’, 0,1,1, N)’).
Führt der Ansatz xnaiv = A−1bε zu einer sinnvollen Lösung? Was geschieht, wenn man das Problem wie in (c) regularisiert? Experimentieren Sie wieder mit verschiedenen Werten für α.
(e) Ermitteln Sie den optimalen Regularisierungsparameterα aus der L-Kurve.
(f) Übertragen Sie die Aufgabenstellungen auf die TSVD-Regularisierung (Hausaufgabe).
Aufgabe 2
Bearbeiten Sie das gleichungsrestringierte Problem von Blatt 4, Aufgabe 3, mit
• der Methode der Wichtung,
• der Eliminationsmethode.
