Mathematische Statistik

Ubungen zur Vorlesung¨

Mathematische Statistik

Sommersemester 2013

Institut f¨ur Mathematik Jun.-Prof. Dr. Thorsten Dickhaus RUD25, Raum 1.203 E-Mail: dickhaus@math.hu-berlin.de Tel.: 030/2093-5841 Ubungen: Mathias Trabs¨ E-Mail: trabs@math.hu-berlin.de Tel.: 030/2093-3988

Blatt 7

Abgabe bis Dienstag, 28. Mai 2013, 11:15 Uhr Jede komplett richtig gel¨oste Aufgabe ergibt 4 Punkte.

Bitte jede Aufgabe auf einem separaten Blattbearbeiten, Danke!

Aufgaben

25. Multiple lineare Regression, oLSE.

L¨osen Sie Exercise 4.2.1 im Skript.

26. Geometrische Eigenschaften der KQ-Sch¨atzung.Betrachten Sie die oLSE-Sch¨atzung gem¨aß Abschnitt 4.2.1 im Skript und zeigen Sie:

(i) Die gesch¨atzte systematische Komponente ˜f ist orthogonal zu den Residuen

˜

ε= (˜ε₁, . . . ,ε˜_n)^>, d. h. ˜f^>ε˜= 0.

(ii) Die Zeilen von Ψ sind orthogonal zu den Residuen, d. h. Ψ ˜ε= 0∈R^p. (iii) Die Residuen sind im Mittel gleich Null, d. h.Pn

i=1ε˜i= 0 bzw. ¯ε˜=n⁻¹Pn

i=1ε˜i= 0.

(iv) Der arithmetische Mittelwert der gesch¨atzten systematischen Komponenten ˜fiist gleich dem Mittelwert der beobachteten Response-Werte Yi = yi, d. h. f¯˜= n⁻¹Pn

i=1f˜i =

¯

y=n⁻¹Pn i=1yi.

(v) Der Schwerpunkt der Daten liegt auf der Regressionshyperebene, d. h. ¯y=Pp

j=1θ˜jΨ¯j, wobei ¯Ψ_j der arithmetische Mittelwert der j-ten Zeile von Ψ ist, 1≤j≤p.

27. Polynomielle Regression.

L¨osen Sie Exercise 4.2.2 im Skript.

28. Programmieraufgabe: Exercise 8.5 in Chap T. Le (2003). Nachfolgend tabelliert sind K¨orpergr¨oße (gerundet auf die n¨achstliegenden geraden Zentimeter) und K¨orpergewicht (gerundet auf volle Kilogramm) von 10 Frauen und 10 M¨annern.

K¨orpergr¨oße (♀) 152 156 158 160 162 162 164 164 166 166 K¨orpergewicht (♀) 52 50 47 48 52 55 55 56 60 60

K¨orpergr¨oße (♂) 162 168 174 176 180 180 182 184 186 186 K¨orpergewicht (♂) 65 65 84 63 75 76 82 65 80 81

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Diese Daten modellieren wir mit einem multiplen linearen Regressionsmodell unter der An- nahme stochastisch unabh¨angiger und identisch normalverteilter Fehlerterme, vgl. Abschnitt 4.2.1 im Skript. Dabei sei K¨orpergewicht die Responsevariable und der Vektor Ψiaus Modell- gleichung (4.1) im Skript nehme Werte im R⁴ an, wobei 1≤i≤n= 20. Neben den beiden Haupteffekten Geschlecht und K¨orpergr¨oße betrachten wir zus¨atzlich einen Interceptterm und den Wechselwirkungsterm Geschlecht×K¨orpergr¨oße.

(a) Geben Sie die Daten inRein.

(b) Machen Sie sich mit der Funktionlmvertraut.

(c) Sch¨atzen Sie die p = 4 Regressionskoeffizienten nach der Maximum Likelihood- bzw.

nach der KQ-Methode. F¨uhren Sie eine visuelle Residualanalyse durch.

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