Das PACMAN-Modell

Das PACMAN-Modell

Harald Ziegelwanger

¹

und Paul Reiter

^1,2

¹

AIT Austrian Institute of Technology, Mobility Department, Transportation Infrastructure Technologies, Giefinggasse 2, 1210 Wien, Austria, Email: harald.ziegelwanger@ait.ac.at

²

TU Wien, Institut für Angewandte Physik, Wiedner Hauptstr. 8-10/134, 1040 Wien, Austria

Einleitung

Numerische Verfahren wie die Randelementmethode (engl. boundary element method, BEM) oder die Fini- te Elemente Methode sind weit verbreitet in der Akus- tik. Auf der Internetplattform¹der Benchmark-Initiative des Technical Committee for Computational Acoustics der European Acoustics Association [1] können sowohl Benchmark-Fälle als auch Lösungen zu bestehenden Fäl- len eingereicht und veröffentlicht werden. Während für die 3D BEM bereits Benchmark-Fälle veröffentlicht wur- den, wie zum Beispiel das ”Cat’s Eye”-Modell [2] mit zugehöriger analytischer Lösung oder der Radiatterer, so wurden bis jetzt keine Benchmark-Fälle für die 2D BEM oder die quasi-periodische BEM eingereicht. Des- halb wird in diesem Beitrag das ”PACMAN”-Modell vor- gestellt. Das PACMAN-Modell ist das 2D-Pendant zum

”Cat’s Eye”-Modell und wird durch einen Kreis mit feh- lendem Kreissektor beschrieben (Abb. 1). Es wird ana- log zum ”Cat’s Eye”-Modell eine analytische Lösung für den einfachen Fall einer symmetrischen Abstrahlung von Oberflächenschwingungen präsentiert und mit dem anti- symmetrischen Teil ergänzt um auch die Reflexion von beliebig einfallenden Schallwellen berechnen zu können.

Abschließend werden die Abstrahlungs- und Streuungs- muster für verschiedene Konfigurationen gezeigt.

0 2ϕ₀ r₀

P

r

ϕ v

x y

I

II

Abbildung 1: Das PACMAN-Modell besteht aus einem Kreis mit Radiusr0 mit einem ausgeschnittenen Kreissektor mit Winkelbreite2ϕ0.

1http://eaa-bench.mec.tuwien.ac.at

Schallfeldformulierung

Die Formulierung des Schallfelds wird in Polarkoordina- ten r, ϕ angesetzt, wobei ϕ = 0 im Zentrum der PAC- MAN-Öffnung gewählt wird. Der Schalldruckpwird über die 2D Helmholtz-Gleichung beschrieben [3]:

1 r

∂

∂r

r∂p(r, ϕ)

∂r

+ 1 r²

∂²p(r, ϕ)

∂ϕ² +k²p(r, ϕ) = 0, (1) wobei k = _c^ω

0 die Wellenzahl, ω die Kreisfrequenz und

c₀ die Schallgeschwindigkeit sind. v = _kZⁱ

0gradp ist die Schallschnelle, Z₀ die Schallkennimpedanz und ρ₀ die Dichte des Mediums. In Polarkoordinaten lässt sich die Helmholtzgleichung durch einen Produktansatz fürp(r, ϕ)

mit einem radialen Teil R(kr)und einen winkelabhängi- gen TeilΦ (ϕ)lösen:

p(r, ϕ) =R(kr)Φ(ϕ) (2)

mit

R(kr) =AνR⁽¹⁾_ν (kr) +BνR⁽²⁾_ν (kr)

und

Φ(ϕ) =ανcos(νϕ)+βνsin(νϕ).

In der äußeren Zone (I) muss die Sommerfeld’sche Ab- strahlbedingung und Kontinuität des Schalldrucks erfüllt sein. Daraus folgt eine Periodizität des Schallfeldes in ϕ

undν=n= 0,1,2, . . . [4]. Der Schalldruck wird als Überla- gerung von anti-symmetrischen und symmetrischen Mo- den dargestellt:

p^(I)(r, ϕ) =

∞ X n=0

a^A_nH_n⁽²⁾(kr) sin (nϕ) + (3)

a^S_nHn⁽²⁾(kr) cos (nϕ),

wobei a^A_n und a^S_n die Modenamplituden für den anti- symmetrischen und symmetrischen Schallfeldanteil in (I) und H_ν⁽²⁾(kr)die Hankelfunktion zweiter Art darstellen.

Das Schallfeld in der inneren Zone (II) muss die Randbe- dingung von schallharten Kanten im fehlenden Kreissek- tor erfüllen. Daraus ergeben sich unterschiedliche Moden- indizes (mit N =^π/ϕ0) für den anti-symmetrischen und symmetrischen Anteil des Schallfeldes:

p^(II)(r, ϕ) =

∞ X η=0

b^A η+ 12

NJ

η+ 12

N(kr) sin

η+1 2

N ϕ

+

(4)

b^S_ηNJ_ηN(kr) cos (ηN ϕ),

wobei b^A_(η+1/2)N und b^S_ηN die Modenamplituden für den anti-symmtrischen und symmetrischen Schallfeldanteil in (II) undJν(kr)die Besselfunktion darstellen.

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PAC-MAN Gleichungen

Durch Gleichsetzen der Schalldrücke für das einfallende und gestreute Schallfeld in (I) und das gesamte Schallfeld in (II) und Erfüllung der schallharten Randbedingungen, ergibt sich das gekoppelte Schallfeld von (I) und (II) für die PAC-MAN Geometrie zu:

∞ X n=0

δ_n,i 2 H

0(2)

i (kr₀)−ϕ0

π H_n⁽²⁾(kr₀)

∞ X η=0

2J⁰ η+ 12

N(kr₀) J

η+ 12

N(kr0)I^sin n,

η+ 12

NI^sin i,

η+ 12

N









 a^A_n =

−i1

2Z₀V_i^A,vib+ϕ0 π

∞ X η=0









 2J⁰

η+ 12

N(kr₀) J

η+ 12

N(kr₀)I^sin i,

η+ 12

N (5)

∞ X n∗=−∞

"

J_n∗(kr₀)H_n⁽²⁾_∗ kr^∗

sin n^∗ϕ^∗ I^sin

n∗, η+ 12

N

#





−J_i⁰(kr₀)H_i⁽²⁾ kr^∗

sin (iϕs) + iϕ₀ π

∞ X n∗=0

Z₀V_n^A,vib_∗ I_i,n^sin_∗

für den anti-symmetrischen Anteil und zu

∞ X n=0

δ_n,i δ_i H

0(2)

i (kr0)−ϕ₀

π Hn⁽²⁾(kr0)

∞ X η=0

δ_ηNJ_ηN⁰ (kr₀)

J_ηN(kr0) I_n,ηN^cos I_i,ηN^cos





 a^S_n=

−i1 δi

Z0V_i^S,vib+ϕ₀ π

∞ X η=0

(δ_ηNJ_ηN⁰ (kr0)

J_ηN(kr0) I_i,ηN^cos (6)

∞ X n∗=−∞

h

J_n∗(kr₀)H⁽²⁾_n∗ kr^∗

cos n^∗ϕ^∗ I_n^cos∗,ηN

i







−J_i⁰(kr₀)H_i⁽²⁾ kr^∗

cos iϕ^∗ + iϕ0

π

∞ X n∗=0

Z₀V_n^S_∗^,vibI_i,n^cos_∗

für den symmetrischen Anteil des Schallfeldes. In Gl.

5 und 6 sind V_i^vib Modenamplituden der Oberflächen- schwingungen, δ_i die Stoßfunktion, δ_n,i die Sprungfunk- tion, ⁰ die Ableitung nach dem Argument und I_i,n^cos, I_i,n^sin

Kopplungsintegrale von (I) und (II) (nähere Details in [5]).

Beispiele

In Abb. 2bis 4 sind Ergebnisse (normierter Schalldruck ausgewertet beir= 2m) für die Abstrahlung von Oberflä- chenschwingungen und für die Streuung von einfallenden Schallwellen von Linienschallquellen dargestellt. In allen Beispielen betrugr₀= 1m undϕ₀=^π/N. Summen in Gl.

5 und6wurden bei Ordnung 100 abgebrochen.

0°

45°

90°

135°

180°

225°

270°

315°

0.40.2 0.80.6 1.0

0°

45°

90°

135°

180°

225°

270°

315°

0.40.2 0.80.6 1.0

(a)125 Hz (b)1000 Hz

Abbildung 2: Schallabstrahlung der äußeren PAC-MAN- Oberfläche fürN= 6( ),N= 4( ) undN = 2(

) und für einen kompletten Zylinder ( ).

0°

45°

90°

135°

180°

225°

270°

315°

0.40.2 0.80.6 1.0

0°

45°

90°

135°

180°

225°

270°

315°

0.40.2 0.80.6 1.0

(a)125 Hz (b)1000 Hz

Abbildung 3: Streuung der einfallenden Schallwelle einer Linienschallquelle (r^∗= 4, ϕ^∗ =^π/4). Andere Details wie in Abb.2.

0°

45°

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135°

180°

225°

270°

315°

0.40.2 0.80.6 1.0

0°

45°

90°

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225°

270°

315°

0.40.2 0.80.6 1.0

(a)125 Hz (b)1000 Hz

Abbildung 4: Streuung der einfallenden Schallwelle einer Linienschallquelle (r^∗= 1.01, ϕ^∗=^π/N). Andere Details wie in Abb.2.

Literatur

[1] M. Hornikx, M. Kaltenbacher, S. Marburg, A Platform for Benchmark Cases in Computational Acoustics, Acta Acusti- ca united with Acustica 101 (4) (2015) 811–820. doi:doi:

10.3813/AAA.918875.

[2] F. P. Mechel, The Cat’s Eye Model, Acta Acustica united with Acustica 91 (4) (2005) 653–660.

[3] L. L. Beranek, T. J. Mellow, Acoustics: Sound Fields and Trans- ducers, Academic Press, Amsterdam, 2012.

[4] E. G. Williams, Fourier Acoustics, Academic Press, London, 1999.

[5] H. Ziegelwanger, P. Reiter, The PAC-MAN Model: Benchmark Case for Linear Acoustics in Computational Physics, submitted to the Journal of Computational Physics.

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