Mathematische Methoden I LA

Mathematische Methoden I LA

- SoSe 2019 -

Beispielhafte Klausur f¨ur Teil I der Mathematischen Methoden (90 Punkte) Bearbeitungszeit: 120 Min. Hilfsmittel; Keine

. Aufgabe 1 (5 Punkte)

Gegeben zwei komplexe Zahlenz1 = 2 + 3i,z2 =−4 + 5i. Bestimmen Sie die Summez1+z2

und das Produkt z₁z₂.

. Aufgabe 2 (5 Punkte)

Gegeben die komplexe Zahlz = 1 +i. Berechnen Sie den Betrag|z| und bestimmen Sie die Polardarstellung von z.

. Aufgabe 3 (5 Punkte)

Gegeben die komplexe Zahlz = 2+3i. Bestimmen Sie den Kehrwert¹_z in der Form ¹_z =a+ib mit a, b∈R.

. Aufgabe 4 (5 Punkte)

F¨ur die Gleichungy²+x= 3, x, y ∈R bestimme und skizziere man die L¨osungsmenge.

. Aufgabe 5 (10 Punkte)

Gegeben drei Vektoren

~a =



 2 4 3



, ~b=



 1 2 3



 , ~c=



 3 2 1



 . (1) Berechnen Sie die Skalarprodukte~a·~b,~a·~c, das Kreuzprodukte~b×~c, und das Spatprodukt

~a·(~b×~c).

. Aufgabe 6 (5 Punkte)

Gegeben ein Vektor~v = 2

1

und eine Matrix A:=

2 2

−1 5

. Bestimmen Sie das Bild von ~v unter der durch A definierten Abbildung. Im Vergleich von Bild und Urbild – was f¨allt Ihnen auf?

. Aufgabe 7 (5 Punkte)

Man berechne die Determinante der Matrix A:=





5 4 6 3 2 3 3 2 1



. (2)

c

Martin Wilkens 1 4. Juli 2019

Beispiel-Klausur Mathematische Methoden I LA

. Aufgabe 8 (10 Punkte)

Man bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A:=

3 6 1 2

(3)

. Aufgabe 9 (8 Punkte)

Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen (a) e^x

sinx+ x³ 6

(4) (b)

r1−xⁿ

1 +xⁿ, |x|<1 (5)

(c) log_ax¹⁷ (6)

(d) sin(cosx) (7)

. Aufgabe 10 (7 Punkte)

Der Tangens, daran sei erinnert, ist definiert tanx := _cos^sinx_x. Der Arcustangens ist die Um- kehrfunktion, also tan(arctanx) =x. Berechnen Sie _dx^d tanx und _dx^darctanx.

. Aufgabe 11 (10 Punkte)

Berechnen Sie die bestimmten Integrale I₁ :=

Z e 1

dx x·lnx , I₂ :=

Z π 0

dx x·cosx (8)

. Aufgabe 12 (5 Punkte)

Man bestimme die Taylorreihe der Funktion ln(1 +x) zum Entwicklungspunktx= 0.

. Aufgabe 13 (10 Punkte)

F¨ur die Differentialgleichung des ged¨ampften harmonischen Oszilators

¨

q+ 2γq˙+ω₀²q= 0 (9)

bestimme und skizzieren man ein reelles Fundamentalsystem f¨ur Paramterwerte ω₀ > γ.

c

Martin Wilkens 2 4. Juli 2019