Mathematische Methoden LA
- WS 2019/2020 - Ubungsblatt 9 (23 +¨ π Punkte)1
Ausgabe 19.12.2019 – Abgabe 19.12.2019 – Besprechung n.V.
Aufgaben mit Sternchen sind Klausurisomorph
. Aufgabe 1* (4 Punkte)
Es spricht nichts dagegen, f¨ur die trigonometrischen Funktionen auch komplexe Argumente zuzulassen. Man erweitere einfach die Definitionen, und setze f¨ur beliebiges z ∈C
cosz := eiz +e−iz
2 , sinz := eiz −e−iz
2i . (1)
Zeigen Sie: Nach wie vor gilt hier die Euler’sche Formel
eiz = cosz+isinz , (2)
der Satz des Pythagoras
cos2z+ sin2z = 1, (3)
und die Additionstheoreme
cos(z+w) = coszcosw−sinzsinw , (4) sin(z+w) = sinzcosw+ coszsinw . (5)
. Aufgabe 2 (π Punkte)
Ebenso wie die trig-Funktionen k¨onne auch die Hyperbelfunktionen f¨ur komplexe Argu- mente definiert werden,
coshz := ez+e−z
2 , sinhz := ez−e−z
2 . (6)
Zeigen Sie: Die Hyperbelfunktionen und die Trigonometrischen Funktionen sind verkn¨upft coshz = cos(iz), sinhz =−isin(iz), (7) woraus sich mit Blick auf (4) und (5) Additionstheoreme angeben lassen,
cosh(z+w) = coshzcoshw+ sinhzsinhw (8) sinh(z+w) = sinhzcoshw+ coshzsinhw , (9) und es gilt der hyperbolische Pythagoras,
cosh2z−sinh2z = 1. (10)
Die Reihendarstellung entnimmt man der Reihenddarstellung der Exponentialfunktion und Ber¨ucksichtigung von (6),
coshz =
∞
X
n=0
z2n
(2n)!, sinhz =
∞
X
n=0
z2n+1
(2n+ 1)!. (11)
1Aufgaben mit transzendenter Punktezahl sind fakultative N¨usse. N¨usse sind bekanntlich nahrhaft . . .
c
Martin Wilkens 1 19. Dezember 2019
Ubungen Mathematische Methoden LA¨
. Aufgabe 3* (4 Punkte)
Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen
(a) e−x(sinx−cosx) (12)
(b)
r1−xn
1 +xn (13)
(c) logax (14)
(d) sin(sinx) (15)
. Aufgabe 4 (3 Punkte)
Der Tangens, daran sei erinnert, ist definiert tanx := cossinxx. Der Arcustangens ist die Um- kehrfunktion, also tan(arctanx) =x. Beweisen Sie
d
dxtanx= 1
cos2x, d
dxarctanx= 1
1 +x2 . (16)
. Aufgabe 5 (3 Punkte)
Skizzieren Sie die Funktion x 7→ xx f¨ur x > 0, bilden ihre Ableitung, und skizzieren Sie auch die Ableitung. Was w¨are die Ableitung der Funktion dxdxx? Skizze?
. Aufgabe 6 (3 Punkte)
F¨ur h¨ohere Ableitungen, daran sei erinnert, benutzt man die abk¨urzende Schreibweise f(n) := ddxnnf, mit f(0) := f. Beweisen Sie, f¨ur n-mal differenzierbare Funktionen f, g, die Leibnizregel
(f g)(n) =
n
X
k=0
n k
f(k)g(n−k). (17)
. Aufgabe 7* (3 Punkte)
Mittels d’Hospital berechne man den Grenzwert
x→0lim
1−cosx
x2 (18)
. Aufgabe 8* (3 Punkte)
Man bestimme die Extrema der Funktion f(x) = x3−x auf [−1,2], skizziere den Funkti- onsgraphen, und kennzeichne die Extrema.
c
Martin Wilkens 2 19. Dezember 2019
