Kybernetische Grundlagen und Beschreibung
kontinuierlicher Systeme
Von Prof. Dr. sc. techn. Karl Reinisch
VEB VERLAG TECHNIK BERLIN
Teil I
Kybernetische Grundlagen 1. Einführung:
Kybernetik und Technik 19 1.1. Vorläufige Charakterisierung der Kybernetik 19
1.2. Produktionstechnik 20 1.3. Informationstechnik 21 1.4. Automatisierungstechnik, automatische Steuerung 22
1.4.1. Automatisierter Prozeß, Steuerung 22
1.4.2. Strecke und Einrichtung 24 1.4.3. Bauglieder, Steuer-, Stör- und gesteuerte Signale 25
1.4.4. Technische und gesellschaftliche Bedeutung der Automatisierungstechnik 26
1.5. Kybernetischer Aspekt, Kybernetik 27 2. Kybernetisches System:
Begriff, Bewegung, Zustand, Verhalten 30 2.1. Begriff des kybernetischen Systems 30 . 2.1.1. Prozeß, Element, System 30
_ 2.1.2. Systemstruktur 31 2.1.3. Kybernetisches System 33 2.2. Zustand und Bewegung kybernetischer Systeme : 34
2.2.1. System-und Bewegungsgleichungen analoger kontinuierlicher Systeme . . . 34
2.2.1.1. Aufstellung skalarer Systemgleichungen für Systeme 1. Ordnung 34 2.2.1.2. Lösung der Zustandsgieichung: skalare Bewegungsgleichung 35 2.2.1.3. Beispiel: Verwendung der skalaren Bewegungsgleichung 36 2.2.1.4. Verallgemeinerung auf Mehrgrößensysteme rc-ter Ordnung: vektorielle
System- und Bewegungsgleichungen 37 2.2.1.5. Beispiel: Aufstellung einer vektoriellen Zustandsgieichung 39
2.2.1.6. Vektorielle Bewegungsgleichung für Mehrgrößensysteme 41
2.2.2. Systemzustand, Zustandsraum, Phasenraum 42
2.2.3. Analoge und diskrete Systeme 43 2.2.4. Kontinuierliche und diskontinuierliche Systeme 45
2.2.5. System- und Bewegungsgleichungen diskontinuierlicher
und diskreter Systeme 47 2.3. Verhaltensweisen kybernetischer Systeme 50
2.3.1. Zustands- und Übertragungs verhalten 50 2.3.2. Lineares und nichtlineares, zeitinvariantes und zeitvariables Verhalten . . . . 53
2.3.3. Statisches und dynamisches, stationäres und Übergangsverhalten 56
2.3.4. Stabiles und instabiles Verhalten 58
10 Inhaltsverzeichnis
3. Kybernetische Modellbildung, Kennfunktionen des statischen und dynamischen
Übertragungsverhaltens 62 3.1. Technologisches Schema, Baugliedplan 62
3.1.1. Technologisches Schema, MSR-Schema 62 3.1.2. Baugliedplan, Übersichtsschaltplan 65 3.2. Übertragungsglied, Wirkungsschema 67
3.2.1. Bildung rückwirkungsfreier Übertragungsglieder 67
3.2.2. Wirkungsschema (Blockschaltbild) 69 3.3. Kennfunktionen des statischen Übertragungsverhaltens 69
3.3.1. Kennlinie, Abweichungen vom Arbeitspunkt, statisch lineare Übertragungs-
glieder 69 3.3.2. Bildung trägheitsfreier nichtlinearer Übertragungsglieder 72
3.3.3. Linearisierung nichtlinearer trägheitsfreier Übertragungsglieder 73
3.4. Kennfunktionen des dynamischen Übertragungsverhaltens 75
3.4.1. Beschreibung durch Differentialgleichung 75 3.4.2. Sprung- und Übergangsfunktion 76 3.4.3. Stoß-(Impuls-)Funktion und Gewichtsfunktion 78
3.4.4. Frequenzgang 80 3.4.5. Frequenzgangortskurve 84
3.4.6. Frequenzkennlinien 86 3.4.7. Übertragungsfunktion 92 3.4.8. Pol-Nullstellen-Bild 95 3.4.9. Berechnung der Übertragungsfunktion und des Frequenzgangs von elek-
trischen Netzwerken mittels Widerstandsoperatoren 98
3.5. Signalflußplan 100 3.5.1. Kennzeichnung des Übertragungsverhaltens der Übertragungsglieder . . . . 100
3.5.2. Signalflußplan: Darstellung als Blockdiagramm 101 3.5.3. Signalflußplan: Darstellung als Signalflußgraph 103 3.5.4. Systemdefmition auf der Basis der Darstellung als Signalflußgraph 105
4. Zielstellungen, Grobstrukturen und Eigenschaften
von Systemen der automatischen Steuerung 107 4.1. Kybernetische Aufgabenstellungen in automatischen Steuerungssystemen 108
4.1.1. Steuerungsziel: statische und dynamische Optimierung 108
4.1.2. Hauptsteuerungsfunktionen 109 4.1.2.1. Direkte Steuerung von Prozeßgrößen 111
4.1.2.2. Bestimmung bzw. Anpassung der Führungsgrößen 111 4.1.2.3. Bestimmung bzw. Anpassung der Parameter 111 4.1.2.4. Bestimmung bzw. Anpassung der Struktur 112 4.1.3. Zeitliche Phasen der Synthese und Arbeit eines automatischen Systems . . . 112
4.1.4. Vorangepaßte und selbstanpassende Systeme 114
4.2. Grundtypen vorangepaßter Systeme 115
4.2.1. Vorwärtssteuerung 116 4.2.1.1. Prinzip und Definition 116 4.2.1.2. Beispiele: Zeitplan-, Führungs- und Ablaufsteuerung 116
4.2.1.3. Charakteristische Eigenschaften von Vorwärtssteuerungen 117
4.2.2. Ein- und Mehrgrößenregelung 118 4.2.2.1. Prinzip und Definition 118 4.2.2.2. Beispiele: Festwert-, Zeitplan- und Führungsregelung 119
4.2.2.3. Vermaschte Eingrößenregelung: Hilfsregel- und Hilfsstellgröße 120
4.2.2.4. Mehrgrößenregelungen 122 4.2.2.5. Charakteristische Eigenschaften von Regelungen, Stabilitätsproblem . . . . 124
4.3. Grundtypen selbstanpassender Systeme für das statische stationäre Verhalten . . . 126 4.3.1. Steuerungsaufgabe, Prozeßmodell und Zielfunktion bei der statischen Opti-
mierung 126 4.3.2. Statische Vorwärtsanpassung (Vorwärtsoptimierung) 128
4.3.3. Statische Selbstanpassung durch Regelung 130 4.3.4. Statische Selbstanpassung mittels Suche am Prozeß (Rückwärtsoptimierung) 131
4.3.5. Statische Selbstanpassung mit nachgeführtem statischem Prozeßmodell . . . 135 4.3.6. Statische Selbstanpassung mit nachgeführtem Führungsgrößenzuordner . ; . 136
4.3.7. Eigenschaften automatischer lernender Systeme 138 4.4. Selbstanpassende Systeme bezüglich des dynamischen Verhaltens 141
4.4.1. Steuerungsaufgabe und Zielfunktional bei der dynamischen Optimierung . . 141
4.4.1.1. Steuerungsaufgabe 141 4.4.1.2. Zielfunktionale 142 4.4.1.3. Optimierungsvariable 143 4.4.2. Typen dynamisch selbstanpassender Systeme 144
4.4.2.1. Dynamische Vorwärtsanpassung (Vorwärtsoptimierung) 144 4.4.2.2. Dynamische Selbstoptimierung mittels Suche am Prozeß (Rückwärtsopti-
mierung) 145 4.5. Hierarchische (große) Steuerungssysteme 146
4.5.1. Charakteristische Eigenschaften großer Systeme 146
4.5.1.1. Zur Definition großer Systeme 146
4.5.1.2. Teilsysteme 147 4.5.1.3. Teilziele 148 4.5.1.4. Hierarchische Steuerungsstruktur 148
4.5.2. Systeme mit hierarchischer Struktur der Steuerungsfunktionen: Mehr-
schichtsysteme 149 4.5.3. Systeme mit Hierarchie von Koordinierungsebenen: Mehrebenensysteme . 151
4.5.3.1. Zentralisierte und dezentralisierte Einebenensysteme 151
4.5.3.2. Mehrebenensysteme 152 4.5.3.3. Koordinierung der statischen Optimierung direkt steuerbar gekoppelter
Teilsysteme 154 4.5.3.4. Koordinierung bei der statischen Optimierung abhängig gekoppelter Teil-
systeme 155 4.5.3.5. Verallgemeinerung des Koordinationsbegriffs 158
4.5.3.6. Klassifizierung hierarchischer Steuerungssysteme 159 4.6. Zur gerätetechnischen Realisierung von Steuereinrichtungen 160
4.6.1. Fest programmierte Gerätesysteme der MSR-Technik 160 4.6.2. Einbeziehung programmgesteuerter Prozeßrechner in die Steuereinrichtung 162
5. Information und Informationsverarbeitung 165 5.1. Information, Signal, Informationsgehalt 165
5.1.1. Information 165 5.1.2. Signale 166 5.1.3. Determinierte und stochastische Signale und Systeme 169
5.1.4. Informationsübertragung, Kodierung 170 5.1.5. Entscheidungs- und Informationsgehalt 171 5.2. Prinzipien der analogen Informationsverarbeitung 174
5.2.1. Bedeutung der Informationsverarbeitung für die automatische Steuerung . . 174
5.2.2. Analogrechner, Rechenverstärker 175 5.2.3. Zur Analogprogrammierung linearer analoger Systeme 178
5.2.4. Analoge Modelle 181 5.2.4.1. Analoges Modell 181
12 Inhaltsverzeichnis
5.2.4.2. Iso- und homomorphe Verhaltensmodelle 184 5.3. Prinzipien der digitalen Informationsverarbeitung 185
5.3.1. Digitale Signaldarstellung 186 5.3.2. Informationsverarbeitung in kombinatorischen Schaltsystemen 188
5.3.2.1. Begriff des kombinatorischen Schaltsystems und der Schaltfunktion 188
5.3.2.2. Grundtypen von Schaltfunktionen 189
• 5.3.2.3. Darstellbarkeit einer Schaltfunktion als disjunktive Normalform 190
5.3.2.4. Realisierung von Schaltfunktionen 192 5.3.3. Informationsverarbeitung in sequentiellen Schaltsystemen 195
5.3.3.1. Begriff und Gleichungen des sequentiellen Schaltsystems 195 5.3.3.2. Beschreibung sequentieller Schaltsysteme mittels Automatentabellen und
Zustandsgraphen 197 5.3.3.3. Elementarspeicherglied 198 5.3.4. Numerische digitale Informationsverarbeitung, Digitalrechner 200
5.3.4.1. Rückführung numerischer Aufgaben auf Additionen 200
5.3.4.2. Binäre Addierschaltung 201 5.3.4.3. Programmgesteuerter Digitalrechner 202
5.3.5. Zur Programmierung von Digitalrechnern 205 5.3.5.1. Aufstellung eines Lösungsalgorithmus 206
5.3.5.2. Programmablaufplan 206 5.3.5.3. Programmformulierung in problemorientierter Sprache und Übersetzung
in Maschinensprache 210 5.3.6. Prozeßrechner, Analog-Digital-Umsetzung 210
5.3.6.1. Prozeßrechner: Eigenschaften und Betriebsarten 210 5.3.6.2. Prozeßperipherie, Analog-Digital-Umsetzung 212
Teil II
Beschreibung von Signalübertragung und Zustandsverhalten in linearisierten kontinuierlichen Systemen
6. Grundaufgabe bei der Analyse, Identifikation und Synthese von Steuerungssystemen;
Lösungswege 217 6.1. Analyse, Identifikation und Synthese von Steuerungssystemen 217
6.2. Beschreibung der Signalübertragung bzw. des Zustandsverhaltens als Grund-
aufgabe der Behandlung von Steuerungssystemen 218 6.3. Lösungswege zur Beschreibung der Signalübertragung in analogen linearen
Systemen 220 6.3.1. Direkte Methoden 220
6.3.2. Indirekte Methoden mit Zerlegung der Eingangssignale 221 7. Beschreibung von Zustandsverhalten und Signalübertragung mittels
Vektordifferentialgleichung und Lösungsverfahren 224 7.1. Aufstellung der Systemgleichungen in Matrixform 224 7.2. Lösung der Zustands-Vektordifferentialgleichung für allgemeine Eingangssignale . . 229
7.3. Eigenschaften der Übergangsmatrix <P{t) 231
7.4. Eigenwerte und Eigenvektoren 232 7.5. Transformation der Zustands- und Bewegungsgleichung auf kanonische Normal-
form 235 7.5.1. Transformation der Systemgleichungen auf Normalform 235
7.5.2. Transformation der Bewegungsgleichung auf Normalform 239
7.6. Berechnung der Übergangsmatrix <P(f) 240 7.7. Linearisierung der Zustandsgieichung nichtlinearer Systeme um den Arbeitspunkt 242
7.8. Zusammenfassung des Lösungswegs und Anwendungsbeispiel 244
7.8.1. Zusammenfassung des Lösungswegs 244 7.8.2. Anwendungsbeispiel, Aufgabenstellung und Systemgleichungen 244
7.8.3. Berechnung über Bewegungsgleichung ohne Zustandstransformation . . . . 246
7.8.3.1. Bestimmung der Eigenwerte der Systemmatrix A 246
7.8.3.2. Ermittlung der Übergangsmatrix <P(t) 246 7.8.3.3. Berechnung der freien Bewegung 247
7.8.3.4. Erzwungene Bewegung 247 7.8.4. Berechnung mittels kanonischer Transformation der Systemgleichungen . . 249
7.8.4.1. Bestimmung der Eigenvektoren 249 7.8.4.2. Diagonalisierung der Systemmatrix 249 7.8.4.3. Ermittlung der Übergangsmatrix <P(t) aus eAi (zum Vergleich) 250
7.8.4.4. Freie Bewegung mit Anfangsdrehzahl 25 U/s 250 7.8.4.5. Erzwungene Bewegung bei Anlegen einer Ankerspannung von 200 V . . . . 251
8. Beschreibung von Signalübertragungen mittels Zerlegung in Impulse:
Faltungsintegral 252 8.1. Zerlegung des Eingangssignals in impulsförmige Elementarsignale: Faltungsintegral 252
8.2. Regeln für das Rechnen mit <5-Funktionen 253 8.3. Ermittlung der elementaren Ausgangssignale: Gewichtsfunktion 257
8.4. Überlagerung der elementaren Ausgangssignale mittels Faltungsintegral 258
8.5. Zusammenfassung des Lösungswegs und Beispiel 260
9. Beschreibung von Signalübertragungen mittels Zerlegung in Sinusschwingungen:
Fouriertransformation 262 9.1. Zerlegung periodischer Signale in sinusförmige Elementarsignale mittels Fourier-
reihe 262 9.2. Zerlegung nichtperiodischer Signale in sinusförmige Elementarsignale mittels
Fourierintegrals 265 9.2.1. Einführung des Fourier- und Fourierumkehrintegrals und Zerlegung des
Eingangssignals 265 9.2.2. Beispiele 268 9.3. Bestimmung der elementaren Ausgangssignale mittels Frequenzgangs 269
9.4. Überlagerung der elementaren Ausgangssignale mittels Fourierumkehrintegrals . . 270 9.5. Zusammenfassung der Berechnung von Signalübertragungen mittels Spektralzer-
legung 270 10. Beschreibung von Signalübertragungen mittels Zerlegung in Exponentialsignale:
Laplacetransformation •. 272 10.1. Zerlegung des Eingangssignals in exponentielle Elementarsignale: Laplacetrans-
formation 272 10.1.1. Einführung des Laplaceintegrals und Laplaceumkehrintegrals und Zer-
legung des Eingangssignals 272 10.1.2. Verallgemeinerung des Laplaceumkehrintegrals 275
10.1.3. Verallgemeinerte Betrachtung als Transformation einer Zeit- in eine 276 Bildfunktion
10.1.4. Beispiele 277
14 Inhaltsverzeichnis
10.2. Einige Regeln und Korrespondenzen der Laplacetransformation 277 10.3. Ermittlung der elementaren exponentiellen Ausgangssignale: Übertragungsfunk-
tion 2,84 10.3.1. Ermittlung der Amplituden der elementaren exponentiellen Ausgangs- '
signale mittels Übertragungsfunktion 284 10.3.2. Ermittlung der Bildfunktion des Ausgangssignals durch Transformation
der Differentialgleichung; erweiterte Definition der Ubertragungsfunktion 284
10.3.3. Übertragungsfunktion und Gewichtsfunktion 286 10.3.4. Beispiele zur Ermittlung von Übertragungsfunktionen aus Differential-
gleichungen 287 10.3.4.1. Übertragungsfunktion eines .RC-Gliedes 287
10.3.4.2. Übertragungsfunktion eines Gleichstrommotors 287 10.4. Überlagerung der elementaren Ausgangssignale, Rücktransformation mittels
^f"1- Integrals 288
10.4.1. Überlagerung der elementaren Ausgangssignale mittels Umkehrintegrals 288 10.4.2. Zusammenfassung des Lösungswegs zur Berechnung von Signalübertra-
gungen mittels Laplacetransformation 289 10.4.3. Verfahren zur Rücktransformation von Bildfunktionen 290
10.4.3.1. Analytisch-grafisches Verfahren zur Rücktransformation rationaler
Bildfunktionen mit Einfachpolen 291 10.4.3.2. Beispiel zur Rücktransformation 294 10.4.3.3. Rücktransformation von rationalen Bildfunktionen mit Mehrfachpolen 296
10.5. Ermittlung von Übergangsmatrix und Übertragungsfunktion mittels Laplace-
transformation aus den Systemgleichungen 297 10.5.1. System- und Bewegungsgleichungen im Bildbereich 297
10.5.2. Berechnung der Übergangsmatrix mittels Laplacetransformation 299
10.5.2.1. Bildfunktion der Übergangsmatrix 299 10.5.2.2. Verfahren von Faddejew zur Berechnung der transformierten Übergangs-
matrix 300 10.5.2.3. Beispiel: Übergangsmatrix des Gleichstrommotors 301
10.5.3. Berechnung der Übertragungsfunktionen aus den Systemgleichungen . . . 302
10.5.3.1. Berechnung aus den allgemeinen Systemgleichungen 302 10.5.3.2. Berechnung aus den kanonischen Gleichungen 302 10.5.3.3. Pole der Übertragungsfunktion und Eigenwerte 303
10.5.3.4. Beispiele 304 11. Grundtypen von Übertragungsgliedern:
Klassifizierung nach Ubertragungsfunktion, Übergangsfunktion und Kennlinie 306 11.1. Klassifizierung linearer Übertragungsglieder bezüglich des stationären Verhaltens
auf Grund der Übertragungsfunktion 307 11.1.1. Polynomform, Pol-Nullstellen-Form und Zeitkonstantenform einer ratio-^
nalen Übertragungsfunktion 307 11.1.2. Ermittlung des für das stationäre Verhalten maßgebenden Teiles der
Übertragungsfunktion 308 11.1.3. Klasse der Proportionalglieder (P-Glieder) 309
11.1.4. Klasse der Differentialglieder (D-Glieder) 310 11.1.5. Klasse der Integralglieder (I-Glieder) 310
11.1.6. Pi-, D j - und Ii-Glied 311 11.2. Verfeinerte Klassifizierung linearer Glieder auf Grund der Übertragungsfunktion
durch Einbeziehung des Übergangsverhaltens, zugehörige Übergangsfunktionen. 313
11.2.1. Trägheits-(Verzögerungs-) Glied 1. Ordnung 313 11.2.2. Trägheitsglieder 2. und höherer Ordnung 314
11.2.3. Schwingungsglied 317 11.2.4. Vorhaltglied 1. und höherer Ordnung 319
11.2.5. Totzeitglied 319 11.2.6. Beschreibung komplizierterer Glieder als Kombinationsglieder 320
11.3. Kennzeichnung analoger Glieder auf Grund der grafisch vorliegenden Übergangs-
funktion : 322 11.3.1. Kennzeichnung auf Grund des stationären Verlaufs der Übergangsfunk-
tion 322 11.3.2. Kennzeichnung auf Grund des Übergangsverlaufs der Übergangsfunktion 322
11.4. Kennzeichnung statischer nichtlinearer Glieder anhand der Kennlinie 323 11.4.1. Nichtlineare analoge Glieder mit eindeutigen Kennlinien 325 11.4.2. Nichtlineare analoge Glieder mit mehrdeutigen Kennlinien 325 11.4.3. Nichtlineare diskrete Übertragungsglieder: Mehrpunktglieder 325 12. Berechnung der Signalübertragung elementarer Verknüpfungen
von Übertragungsgliedern mittels Übertragungsfunktionen und Kennlinien 327
12.1. Übertragungsfunktion von Kettenschaltungen 327 12.2. Übertragungsfunktion von Parallelschaltungen 329 12.3. Übertragungsfunktion von Gegenparallelschaltungen (Schaltungen mit Rück-
führung) 329 12.4. Übertragungsfunktionen und Kennlinien linearer Regler: Darstellung als Parallel-
schaltung 332 12.4.1. P- und I-Regler 333
12.4.2. PI-Regler 333 12.4.3. PD-Regler 334 12.4.4. PID-Regler 335 12.4.5. Beschreibung nichtlinearer Kennlinien von Reglern 337
12.4.5.1. Regler ohne I-Anteil 337 12.4.5.2. Regler mit I-Anteil 338 12.5. Aufbau linearer analoger Regler mittels Rückführung 339
12.5.1. Wichtige Rückführglieder 339 12.5.2. P-Regler auf Grund starrer Rückführung 340
12.5.3. I-Regler auf Grund differenzierender Rückführung 342 12.5.4. PI-Regler auf Grund nachgebender Rückführung 343 12.5.5. PD-Regler auf Grund verzögerter Rückführung 344 12.5.6. PID-Regler auf Grund nachgebender und verzögerter Rückführung . . . 345
12.5.7. Beispiele für Regler mit Rückführungen 346 12.6. Übertragungsfunktionen und Zeitverhalten des Regelkreises 348
12.6.1. Signalflußbild des Regelkreises 348 12.6.2. Übertragungsfunktion der offenen Schleife 349
12.6.3. Übertragungsfunktionen des geschlossenen Kreises 349 12.6.4. Übergangsfunktion eines Regelkreises (Beispiel) 351 12.6.5. Bleibende Regelabweichung, Regelfaktor 353 12.7. Übertragungsfunktion und Zeitverhalten von Regelkreisen mit Totzeit 355
12.7.1. Übertragungsfunktion von Regelkreisen mit Totzeitstrecken 355 12.7.2. Approximation von exp {-pTt} durch rationale Funktionen 356 12.7.3. Berechnung der Übergangsfunktion von Totzeitregelkreisen für kleine
Zeiten 356 12.8. Konstruktion der statischen Signalübertragung (der Kennlinien) von Grund-
schaltungen nichtlinearer Übertragungsglieder 359 12.8.1. Kennlinie einer Parallelschaltung nichtlinearer Übertragungsglieder . . . . 359
12.8.2. Kennlinie einer Kettenschaltung nichtlinearer Übertragungsglieder 360
16 Inhaltsverzeichnis
12.8.3. Kennlinie eines Regelkreises mit nichtlinearer Strecke und nichtlinearem
Regler 361 12.8.3.1. Konstruktion der Führungskennlinie 361
12.8.3.2. Konstruktion der Lastkennlinien 362 13. Aufstellung von Zustandsgleichungen aus den Übertragungsfunktionen und Vektor-
differentialgleichungen von Übertragungsgliedern in elementaren Verknüpfungen . . . 363 13.1. Problematik der Aufstellung von Zustandsgleichungen aus Übertragungsfunk-
tionen 363 13.2. Direkte Aufstellung der Zustandsgleichung aus der in Polynomform gegebenen
Übertragungsfunktion 365 13.2.1. Übertragungsfunktionen ohne endliche Nullstellen 365
13.2.2. Übertragungsfunktionen mit endlichen Nullstellen 367 13.3. Aufstellung von Zustandsgleichungen bei Kettenschaltung von Übertragungs-
gliedern bzw. bei Produktdarstellung von Übertragungsfunktionen 369 13.3.1. Zustandsgleichung in Kette geschalteter ^-Glieder 369 13.3.2. Zustandsgleichung der Kettenschaltung von Gliedern mit komplexen
Polen (von Schwingungsgliedern) 371 13.3.3. Zustandsgleichung von Kettenschaltungen mit 7\-rD1-Gliedern bzw. von
Übertragungsfunktionen in Pol-Nullstellen-Darstellung 371 13.4. Aufstellung von Zustandsgleichungen bei Parallelschaltung von Übertragungs-
gliedern bzw. bei Summendarstellung von Übertragungsfunktionen 373\
13.4.1. Zustandsgleichung parallelgeschalteter TVGlieder 373 13.4.2. Aufstellung von Zustandsgleichungen durch Partialbruchzerlegung der
Übertragungsfunktion 375 13.4.2.1. Übertragungsfunktionen mit Einfachpolen 375
13.4.2.2. Übertragungsfunktionen mit Mehrfachpolen 375 13.5. Zustandsgleichungen bei Gegenparallelschaltung von Übertragungsgliedern . . . . 379
13.5.1. Zustandsgleichung eines Übertragungsglieds mit starrer Rückführung . . 379
13.5.2. Regelkreis mit I-Regler 380 Sa chwörterverzeichnis 382
