HTWK Leipzig, Fakultät IMN
Prof. Dr. Sibylle Schwarz sibylle.schwarz@htwk-leipzig.de
10. Übung zu Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Komplexität
Wintersemester 2019/20 zu lösen bis 23. Januar 2020
Aufgabe 10.1:
Gilt PCPPRE ? Gilt PCPPREC ? Aufgabe 10.2:
1. Zeigen Sie:ϕPFOLpΣ,Xqallgemeingültiggdw. ϕunerfüllbar 2. Zeigen Sie:ϕ|ùψgdw. ϕ^ ψunerfüllbar
Aufgabe 10.3:
1. GiltFOLPRE ? GiltFOLPREC? 2. Was ist U? UPRE ?U PREC?
3. tpϕ, ψq |ϕ|ùψu PRE ?tpϕ, ψq |ϕ|ùψu PREC?
4. Was gilt für die entsprechenden Probleme in der Ausssagenlogik?
Aufgabe 10.4:
Formulieren Sie folgende Probleme als Mengen und untersuchen Sie, ob diese Mengen jeweils ent- scheidbar, rekursiv aufzählbar oder nichts davon sind. Eingabe sind jeweils Grammatiken G, G1 vom Chomsky-TypimitiP t0, . . . ,3u.
Wiederholen Sie dazu zunächst die Chomsky-Hierarchie und die entsprechenden Abschlusseigen- schaften.
1. GiltLpGq XLpG1q ‰ H?
Hinweis: Reduktion auf PCP auf diese Frage für Chomsky-Typ 2 möglich 2. EnthältLpGq XLpG1qunendlich viele Wörter?
3. GiltLpGq ĎLpG1q? 4. GiltLpGq “LpG1q?
5. IstLpGq “ H? IstLpGq “ H? 6. IstLpGqkontextfrei ?
7. IstLpGqregulär ?
Aufgabe 10.5:
Formulieren Sie folgende Aufgaben als Mengen und geben Sie Entscheidungsverfahren dafür an:
1. Enthält ein gegebener Graph einen Hamiltonkreis?
2. Enthält ein gegebener Graph einenKn als Teilgraphen?
3. Sind zwei gegebene reguläre Ausdrücke äquivalent (d.h. beschreiben sie die selbe Sprache) ? 4. Ist ein gegebener NFAA der Minimalautomat der SpracheLpAq?
5. Ist die alternierende Quersumme einer gegebenen natürlichen Zahl in Dezimaldarstellung durch 11 teilbar?
6. Ist eine gegebene Zahl das Produkt von genau zwei Primzahlen?
7. Zu einem gegebenen öffentlichen RSA-Schlüssel soll ein zugehöriger privater Schlüssel be- stimmt werden.
Aufgabe 10.6:
1. Geben Sie einen GraphenG“ pV, Eq R3COLan, der keinenK3als Teilgraphen enthält.
2. Zeigen Sie, dass für jeden GraphenG“ pV, Eqgilt:
Falls der Grad jedes Knotens inGkleiner alskist, giltGPkCOL.
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