Ferromagnetische Hysteresis

Vorbereitung

Ferromagnetische Hysteresis

Stefan Schierle

Versuchsdatum: 06. 12. 2011

Inhaltsverzeichnis

1 Induktivit¨at und Verlustwiderstand einer Spule 2

1.1 Bestimmung von Verlustwiderstand und Induktivit¨at . . . 2

1.2 Berechnung von Verlustwiderstand und Induktivit¨at . . . 3

2 Induktivit¨at und Verlustwiderstand mit geschlossenem Eisenkern 4 2.1 Bestimmung der Induktivit¨at . . . 4

2.2 Berechnung von Gesamtverlustleistung und Permeabilit¨at . . . 4

3 Ferromagnetische Hysteresis und Ummagnetisierungsverluste 5 3.1 Oszilloskopische Darstellung . . . 6

3.2 Eichung der Achsen . . . 7

3.3 Bestimmung des Integrals . . . 8

3.4 Permeabilit¨at . . . 8

3.5 Vergleich . . . 8

4 Vergleich: Eisen - Ferrit 9

5 Literatur 9

1 Induktivit¨ at und Verlustwiderstand einer Spule

Bei einer Spule in einem Wechselstromkreis wird in der Theorie meistens nur der induk- tive Widerstand betrachtet. In der Praxis muss aber ber¨ucksichtigt werden, dass eine Spule sich auch wie ein ohmscher Widerstand verh¨alt, wegen Drahtwiderstand, Abstrah- lung... . Deshalb muss die reelle Spule theoretisch als Reihenschaltung von Widerstand, dem Verlustwiderstand, und Spule, der induktive Widerstand, betrachtet werden.

1.1 Bestimmung von Verlustwiderstand und Induktivit¨at

Es soll nach Aufgabenstellung eine Reihenschaltung aus einem Widerstand (10Ω) und einer Transformatorspule (n= 1000) ohne Kern aufgebaut werden. An diese Schaltung wird ein 50Hz-Wechselstrom mit einer Effektivstromst¨arke von Ief f ≈0,3Aangelegt.

Schaltplan

Zur Berechnung der Spuleninduktivit¨at (L) und des Verlustwiderstandes(R_L) m¨ussen wir im Experiment die Spannungsamplitude am Widerstand (Uc_R), an der Spule (cU_L) und die Zeitdifferenz (∆t) der beiden Schwingungen am Oszilloskop ermitteln. Aus der Zeitdifferenz l¨asst sich gleich die Phasenverschiebung ermitteln:

ϕ= 2πf∆t ϕ=ω∆t

Zur Berechnung von L:

|Z|= q

R²_L+ω²L²

|Z|= Uc_L Ib

|Z|= q

R²_L+ω²L² = UcL

Ib

Ib= UcR

R

|Z|= q

R²_L+ω²L² = Uc_L Uc_RR

|Z|=R²_L+ω²L² = Uc_L² UcR

2R²

Zudem gilt: tanϕ= Im(Z) Re(Z) = ωL

RL

, da Z=RL+iωList.

R²_L+ω²L²= Uc_L² UcR

2R² R_L= ωL

tanϕ L²= tan²ϕ

ω²(1 + tan²ϕ) UcL

2

Uc_R² R² L= tanϕ

ωp

1 + tan²ϕ Uc_L

Uc_RR tanϕ p1 + tan²ϕ

≈sinϕ;ϕ∈

−π 2,π

2

L= Uc_L ωUcR

Rsinϕ R²_L+ω²L²= UcL

2

Uc_R²

R² L= RL

ω tanϕ R_L² = 1

(1 + tan²ϕ) Uc_L² Uc_R²

R²

R_L= 1 p1 + tan²ϕ

UcL 2

UcR

2R² 1

p1 + tan²ϕ ≈cosϕ;ϕ∈

−π 2,π

2

R_L= Uc_L² Uc_R²

R²cosϕ

Wie schon im Hinweis der Aufgabenstellung angef¨uhrt, ist es auch aus den Formeln zur Berechnung vonLundR_L ersichtlich, dass die Effektivstromst¨arke (I) die Gr¨b oßen nicht beeinflusst.

1.2 Berechnung von Verlustwiderstand und Induktivit¨at

Die Induktivit¨at und der Verlustwiderstand lassen sich auch durch die angegebenen Werte Berechnen.

Die Induktivit¨at einer langen Spule l¨asst sich mit nachfolgender Formel berechnen, jedoch darf die Transformatorspule nicht als lang angenommen werden. Daher mussLnoch mit dem in der Hilfe angegebenen Korrekturfaktork= 0,55 multipliziert werden.

L_lang =n²µ0

A

l (1)

L=n²µ₀A

l ·k (2)

Zur Berechnung fehlt noch der mittlere Spulenquerschnitt ( ¯A). Berechnet:

A¯=πr¯²=π(3,4cm)²

Mit den angegebenen Werten und ¯A erh¨alt man folgenden Wert:

L= 1000²·4π10⁻⁷ V s

Am·π(3,4cm)² 6,8cm ·0,55

= 36,91mH

Damit der Widerstand des Drahtes berechnet werden kann, ben¨otigt man den spezifi- schen Widerstand von Kupfer:ρ= 1,678·10⁻⁸Ωm¹ Der Drahtwiderstand der Spule l¨asst sich nun wie folgt berechnen:

R_L=ρ l A

=ρ2πrn¯ π^d₄²

= 1,678·10⁻⁸Ωm·8·3,4cm·1000 (0,7mm)²

= 9,32Ω

2 Induktivit¨ at und Verlustwiderstand mit geschlossenem Eisenkern

Nun wird der Versuchsaufbau der ersten Aufgabe leicht ver¨andert. Es kommt nun die selbe Spule nur mit geschlossenem Eisenkern zum Einsatz.

2.1 Bestimmung der Induktivit¨at

Hier sollen analog zu 1.1 Messungen durchgef¨uhrt werden. Wieder bei den Effektivstr¨omen von 300mAund 30mA. Aus den Messwerten l¨asst sich die Induktivit¨at nach obiger For- mel ermitteln.

2.2 Berechnung von Gesamtverlustleistung und Permeabilit¨at

Das Magnetfeld ist in diesem Fall fast ausschließlich auf das Volumen des Jochs begrenzt.

Somit darf man die Formel zur Berechnung der Induktivit¨at einer langen Spule nachµ_r umformen:

L=n²µ0µr

A l µr= lL

n²µ0A

1http://de.wikibooks.org/wiki/Elektrotechnik Bausteine/ Schule/ Spezifischer Widerstand

Die Verlustleistung l¨asst sich nach der Formel der Vorbereitungshilfe errechnen:

P = 1 T

Z T

0

Re(U(t)).Re(I(t))dt T = 2π

ω

= Ib²RL

2

=I_{ef f}² R_L

3 Ferromagnetische Hysteresis und Ummagnetisierungsverluste

Theoretischer Einschub

Die Magnetisierung und eines K¨orpers h¨angt stark von den Stoffeigenschaften des ver- wendeten Materials ab. Dabei ist zwischen den einzelnen Magnetismusarten zu unter- scheiden:

• Diamagnetismus:Wird ein diamagnetischer Gegenstand in ein ¨außeres Magnet- feld gebracht, so werden magnetische Dipole induziert, die sich aber gegen das außen angelegte Feld ausrichten. Daher ist die magnetische Suszeptibilit¨at χm in diesem Fall negativ.

• Paramagnetismus: Beim paramagnetischen Verhalten werden vorhandene Ele- mentarmagnete, gegen deren thermisch bedingten Ausrichtungen, durch ein ¨außeres Magnetfeld ausgerichtet. Wird das ¨außere Feld entfernt, so richten sich die Ele- mentarmagnete wieder durch thermische Bewegung wild aus. Somit kann also kein Dauermagnet aus paramagnetischen Stoffen bestehen. Die Suszeptibilit¨at ist hier gr¨oßer 0 (χm >0).

• Ferromagnetismus:Ferromagnetische Stoffe verhalten sich ¨ahnlich wie parama- gnetische, jedoch bleibt die Magnetisierung nach der Entfernung der ¨außeren Ma- gnetfeldes erhalten, die sogenannte Remanenzfeldst¨arke.χist ebenfalls gr¨oßer Null.

Hier kann es vorkommen, dass lokal, parallel ausgerichtete, magnetische Moleku- lardipole vorhanden sind. Diese Zonen werden als Weißsche Bezirke bezeichnet.

Somit kann eine Hysteresiskurve nur mit einem ferromagnetischen Gegenstand erzeugt werden, da nur hier eine Remanenzfeldst¨arke vorkommt, wenn das ¨außere Feld H = 0 ist. Will man, dassB_m= 0, so muss ein ¨außeres entgegengesetztes Feld angelegt werden.

Die Feldst¨arke dieses Feldes wird als Koerzitivkraft bezeichnet.

Bei der Magnetisierung werden die Weißschen Bezirke so lange ausgerichtet, bis ein S¨attigungsgrad erreicht ist. Ohne vorherige Magnetisierung hat dieser Vorgang den Ver- lauf der sogenannten Neukurve.

Diese Eigenschaft f¨uhrt dann zu einer Hysteresiskurve, wenn man B ¨uber H in einem Diagramm auftr¨agt.

Hysteresis^a

aAus FerromagnetischeHysteresis-Hilfe.pdf der Literatur

3.1 Oszilloskopische Darstellung

Hier soll eine Magnetisierungskurve auf dem Oszilloskop als Hystersiskurve dargestellt werden. Dazu muss B auf der y-Achse und H auf der x-Achse aufgetragen werden. Jedoch k¨onnen diese beiden Gr¨oßen nicht direkt vom Oszilloskop erfasst werden.

Zur Bestimmung der Magnetischen Feldst¨arke (H) sollen wir die Spannung am 10Ω- Widerstand des Prim¨arkreises messen, da dies einer Reihenschaltung entspricht, ist die Stromst¨arke am Widerstand und an der Transformatorspule gleich.

H=n₁I₁

l I₁ = U_R1

R1

H=n₁U_R1 R₁l U_R1=HR₁l

n1

F¨ur die Ermittlung von B wird die Spannung am Kondensator des RC-Integrierglieds gemessen. F¨ur einen hinreichend großen Widerstand (R2) und einen Kondensator (C2) im Integrierer gilt damit:

U_C2 = 1 C

Z I₂dt

= 1

R2C Z

UR2dt

= 1

R₂C Z

(U₂−U_C2)dt

Hier ist U2 die induzierte Spannung im Sekund¨arstromkreis. Sind R und C richtig di- mensioniert (R2 _RC¹ ), giltU_C2 U2, daher kann man (U2−U_C2)≈U2 n¨ahern.

Außerdem gilt:

U₂(t) =n₂AB˙ B= 1

n₂A Z

U2dt

Z

U2dt=R2CUC2

B= R₂CU_C2 n₂A U_C2= Bn2A R₂C

Schaltplan

Wir sollen die Messung mit den beiden Effektivstromst¨arken I_{ef f} = 30mAund 10mA durchf¨uhren.

3.2 Eichung der Achsen

Wie bereits oben hergeleitet lassen sich die Achsen skalieren. dies geschieht nun durch das Einsetzen der bereits bekannten Werte:

• H:

H=n₁U_R1 R₁l H= 1000

10Ω·0,48m ·U_R1 H= 208,33 A

V m·U_R1

• B:

B = R2CUC2

n2A B = R₂C

n2A ·U_C2

Dies kann noch nicht errechnet werden, da R und C noch nicht dimensioniert wurden.

3.3 Bestimmung des Integrals Nun soll das Integral H

B ·dH ermittelt werden. Daf¨ur stehen laut Aufgabenstellung verschiedene Methoden zur Verf¨ugung.

• Ermittlung der Anzahl der K¨astchen durch z¨ahlen und ausgleichen.

• Ausdrucken der Hysteresiskurve und anschließendes Ausschneiden, um so ¨uber das Gewicht und die Dichte den Fl¨acheninhalt zu bestimmen.

• Analytisches Auswerten der Textdatei am Computer.

DurchH

B·dH wird die Ummagnetisierungsarbeit pro Volumen W_M

V angegeben.

Hieraus folgt f¨ur die Verlustleistung:

P_M = W_M T P_M = WM

V V T

V

T =f A_Kernl_Kern P_M = W_M

V f·A_Kern·l_Kern

Es soll zudem noch der der VerlustwiderstandRM bestimmt werden.

RM = PM

I_{ef f}² 3.4 Permeabilit¨at

AusB =µ₀µ_rH l¨asst sich die relative Wechselfeld-Permeabilit¨at herleiten. Hierf¨ur wer- den die Maximalwerte vonB undH verwendet und die Formel umgeformt.

B =µ0µrH µr= B

µ₀H 3.5 Vergleich

Es sollen die Ergebnisse aus Aufgabe 2 und 3 miteinander verglichen werden. Hierbei ist zu erwarten, dass die Ummagnetisierungs-Verlustleistung (aus 3.3) und die Draht- verlustleistung (aus 1.1) zusammen die Gesamtverlustleistung (aus 2.2) sein m¨ussten.

In der Aufgabenstellung wird jedoch schon vorgegriffen und erw¨ahnt, dass dem nicht so sein wird, da Wirbelstr¨ome trotz lamelliertem Eisenjoch f¨ur weitere Verluste sorgen.

4 Vergleich: Eisen - Ferrit

Hier soll eine Hysteresiskurve f¨ur einen Eisenkern und einen Ferrit-Schalenkern erzeugt werden.

Es sollen speziell

• Remanenz

• Koerzitivkraft

• Ummagnetisierungs-Verlustleistung

• S¨attigungsinduktion

Untersucht und verglichen werden. Die Achsen sollen hierzu wie in Aufgabe 3 geeicht werden.

5 Literatur

• Vorbereitungshilfe

• http://de.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismus

• http://de.wikipedia.org/wiki/Paramagnetismus

• http://de.wikipedia.org/wiki/Diamagnetismus