(4) (a) Zeigen Sie, dass die Dirac-Gleichung forminvariant unter Lorentz-Transforma- tionen ist

Stand: 25. Januar 2010 9:00

Institut f ¨ur Theoretische Physik der Universit¨at Karlsruhe Prof. Dr. F.R. Klinkhamer, Dr. H. Sahlmann

Theoretische Physik E – Quantenmechanik II

Wintersemester 2009/2010

Ubungsblatt 13¨ Abgabe am 1.2.2010, 10:00

Name: Ubungsgruppe:¨ Punkte:

Aufgabe 29- Stromerhaltung (2 Punkte)

Berechnen Sie die Viererdivergenz der Stromdichten

j^µ=ψ(x)γ^µψ(x), j^µ₅ =ψ(x)γ₅γ^µψ(x) (1) (mit ψ = ψ^†γ⁰) f ¨ur den Fall, dass ψ die freie Dirac-Gleichung mit Masse m erf ¨ullt.

Zeigen Sie, dass∂_µj^µ₅ f ¨ur masselose Teilchen verschwindet.

Aufgabe 30- Lorentz-Transformation von Spinoren (7 Punkte) Die Lorentz-Transformation eines Dirac-Spinors ist gegeben durch

ψ⁰(x⁰) =Λψ(x), (2)

wobei die MatrixΛdie Relation

Ω^µ_νγ^ν=Λ⁻¹γ^µΛ (3)

erf ¨ullen muss.Ω^µ_νist die Transformationsmatrix des 4-Vektorsx,

x^0µ=Ω^µ_νx^ν. (4)

(a) Zeigen Sie, dass die Dirac-Gleichung forminvariant unter Lorentz-Transforma-

tionen ist. (ein Punkt)

(b) Zeigen Sie, dass man f ¨ur eine infinitesimale Lorentz-Transformation

Ω_µν=η_µν+ω_µν+O(ω²) (5) mitω_µν= −ω_νµdie MatrixΛwie folgt w¨ahlen kann:

Λ=I+1

8ω^µν[γ_µ, γ_ν]. (6) (2 Punkte) (c) Berechnen Sie das Verhalten der Stromdichtenj^µundj^µ₅ (siehe Aufgabe 29) unter Lorentz-Transformationen. Hinweis: Sie k ¨onnen verwenden, dassΛdie Relation

γ⁰λ^†γ⁰ =Λ⁻¹erf ¨ullt. (2 Punkte)

(d) Wir wollen eine zu den Teilaufgaben (a), (b) analoge Konstruktion f ¨ur die r¨aum- lichen Drehungen eines Spin-1/2-Teilchens durchf ¨uhren. Finden Sie drei2×2- MatrizenΓ_i, die die Relationen

{Γ_i, Γ_j}=2δ_ij (7)

1

erf ¨ullen. Berechnen Sie die Matrix Λ=I+1

8ω^ij[Γ_i, Γ_j] (8) mitω_ij = −ω_ji. Zeigen Sie, dass die zugeh ¨orige Transformation von 3-Vektoren analog zu (4),(5) eine infinitesimale Drehung ist, undΛdie zugeh ¨orige Drehma-

trix f ¨ur einen Spinor. (2 Punkte)

Aufgabe 31- Dirac-Gleichung undg-Faktor des Elektrons (6 Punkte)

Betrachten Sie die Dirac-Gleichung f ¨ur ein an das elektromagnetische Feld gekoppeltes Elektron (Ladunge < 0)

h γ^µ

ih∂¯ _µ− e

cA_µ(x)

−mci

ψ(x) =0, (9)

mit den Gamma-Matrizen in der Dirac-Darstellung γ⁰ =

I2 0 0 −I2

, γ^k=

0 σ^k

−σ^k 0

. (10)

σ¹, σ², σ³sind die Pauli-Matrizen. Das Vektorpotential erf ¨ulleA₀(x) =0und∂₀A_µ(x) = 0. Wir schreiben den Dirac-Spinor als

ψ(x) =

ψ_L(x) ψ_S(x)

, (11)

wobeiψ_Lundψ_S zweikomponentige Spinoren sind.

(a) Zerlegen Sie die Dirac-Gleichung in zwei gekoppelte Gleichungen f ¨urψ_L, ψ_Sf ¨ur den Fall, dassψ(x)station¨ar ist, also die Zeitabh¨angigkeite^−iEt/¯hhat. (2 Punkte) (b) Wir wollen nun den nichtrelativistischen Limes bestimmen. Die EnergieE zer- legen wir gem¨aß E = mc² +E_NR in einen Anteil, der der Ruhemasse des Elek- trons entspricht, und einen AnteilE_NR. Entwickeln Sie die Gleichungen f ¨urψ_L, ψ_S aus (a) zur nullten Ordnung inE_NR/mc². Zeigen Sie insbesondere, dass in dieser N¨aherungψ_S =0ist, undψ_Lder Gleichung f ¨ur ein nichtrelativistisches geladenes Teilchen

π~² 2m + 1

2gµ_B~B·~σ

ψ_L=E_NRψ_L (12) in einem elektrischen Feld mitg-Faktor 2 erf ¨ullt. Hier istπ~ = −i¯h∇~ −e/cA~ und µ_B =h¯|e|/(2mc)das Bohrsche Magneton. (2 Punkte) (c) Wir ¨andern die urspr ¨ungliche Gleichung nun ab, indem wir einen weiteren Term

hinzuf ¨ugen:

γ^µ

ih∂¯ _µ− e

cA_µ(x)

−mc+ eβ

mc²F_µν(x)Σ^µν

ψ(x) =0, (13) mitΣ^µν=ih[γ¯ ^µ, γ^ν]/4undβeiner dimensionslosen Konstante. Gehen Sie wie in (b) vor und berechnen Sie deng-Faktor des Elektrons, der aus dieser Gleichung

im nichtrelativistischen Limes folgt. (2 Punkte)

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