Kapitel 10
Kostenfunktionen
Kostenfunktionen
• Kosten der Produktion für eine gegebene Outputmenge.
– Lösung des Kostenminimierungsproblems
• Gesamt-, Grenz- und Durchschnittskosten.
• Kurzfristige und langfristige Kostenkurven.
Ökonomische Kosten
Die Opportunitätskosten
• Beim Messen der Kosten für den Gebrauch eines Inputs bedienen sich Ökonomen des Konzepts der Opportunitätskosten: Der Wert des Inputs beim Einsatz in der besten Alternative.
• Buchhalterische Kosten: Der tatsächliche Buchwert der Ausgaben für Anlagegüter.
Beispiel: Die Kosten von Arbeit. Wenn Arbeit auf einem vollkommenen Wettbewerbsmarkt zum Preis w angeboten und nachgefragt wird, dann ist w auch gleich den Opportunitätskosten, also dem Preis, den der Arbeiter bei einem anderen Arbeitgeber bekommen hätte. In diesem Fall
Ökonomische Kosten
Kosten der Kapitalausgaben: Die Opportunitätskosten der Maschine, die sich aus ihrer besten alternativen Verwendungsmöglichkeit in der Produktion ergibt.
Der Mietzins von Kapital (rental rate of capital): Der „Preis“, den eine andere Partei bereit ist, für die Maschine (in einer Periode) zu zahlen.
Buchhalterische Kapitalausgaben: Die tatsächlichen Ausgaben werden als Aktivposten gebucht, dann wird der Buchwert des Kapitals über die Zeit abgeschrieben.
Versunkene Kosten
• Versunkenen Kosten (Sunk Costs) sind die Ausgaben, die getätigt worden sind und nicht mehr rückgängig gemacht werden können.
• Derartige Kosten sollten die Entscheidung eines Unternehmens nicht beeinflussen.
Kostenminimierung
Kostenminimierung:
• Ziel: Finde die minimalen Kosten, die zur Produktion einer vorgegebenen Menge des Gutes notwendig sind.
• Wenn wir die Preise/Schattenpreise für jedes Input kennen, können wir die Gesamtausgaben angeben mit w, dem Preis für Arbeit (wage rate) und v, dem Mietpreis für Kapital (Zins). Dann:
• Um die Produktionskosten zu finden, formulieren wir das Optimierungsproblem mit Nebenbedingung: Minimiere die Ausgaben unter der Bedingung, dass mindestens eine bestimmte Outputmenge Q produziert wird.
vK wL
C
Kostenminimierung
Graphische Darstellung:
• Grenzrate der technischen Substitution ist gleich dem Preisverhältnis der Inputs.
• Das Grenzprodukt eines Euros ist für jeden Faktor gleich.
w v L
K F
L K RTS F
L K L
K
) , (
) , (
,
w L K F
v L K
F
K( , )
L( , )
Kostenminimierung
Kostenminimierung:
Lagrange:
BoOs:
Finde:
. . . ( , )min wL vK u d N Q F K L
w v L
K F
L K RTS F
L K L
K
) , (
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,
)) , ( (
) , ,
(K L wL vK Q F K L
L
0 ) , ) (
, ,
(
w F K L
L L K L
L
0 ) , ) (
, ,
(
L K L Q F K L
0 ) , ) (
, ,
(
v F K L
K L K L
K
Kostenminimierung
Beispiel:
• Angenommen Toyota‘s Produktionstechnologie für Autos ist
• Falls w=20 und v=5, was sind die minimalen Kosten um 10 Autos zu produzieren?
• Lagrange:
• BeOs:
• Lösung bei diesen Werten:
L K Q
Kostenfunktionen
Lösung des Kostenminimierungsproblems:
• Inputnachfragen als Funktion der Outputproduktion:
• Gesamtkostenfunktion:
• Die Gesamtkosten zur Produktion von Q Einheiten Output ist eine Funktion von Q und den Inputpreisen.
) , , ( )
, ,
( v w Q und L v w Q
K
) , , ( )
, , ( )
, ,
( v w Q vK v w Q wL v w Q
C
Kostenfunktionen
• Gesamtkosten C(Q) (manchmal TC(Q)), gegeben aus der Kostenminimierung. Die monetären Kosten, einen gegebenen Output Q zu produzieren.
• Eigenschaften der Gesamtkostenfunktion:
– Homogen vom Grad 1 in den Inputpreisen.
– Nicht-fallend in Q,v,w.
– Konkav in den Inputpreisen.
• Grenzkosten MC(Q)=dC/dq, die Ableitung von C(Q) nach Q misst die Grenzkosten einer zusätzlichen Outputeinheit.
Kostenfunktionen
Beispiel:
Im Toyota Beispiel ist die Gesamtkostenfunktion:
Die Grenzkosten:
Die Durchschnittskosten:
Kostenfunktionen
Skalenerträge und die Kostenfunktion:
• Wenn F(K,L) konstante Skalenerträge hat, ist die Gesamtkostenfunktion linear in Q.
• Wenn F(K,L) steigende Skalenerträge hat, ist die Gesamtkostenfunktion steigend und konkav und die Grenzkostenfunktion fallend.
• Wenn F(K,L) fallende Skalenerträge hat, ist die Gesamtkostenfunktion steigend und konvex und die Grenzkostenfunktion steigend.
• Beispiel: Die Gesamtkosten bei Toyota sind linear in Q,
Kostenfunktionen
Beispiel: Allgemeine Cobb-Douglas Technologie F(K,L)=KαLβ BeO‘s der Kostenminimierung:
Lösung der BeO‘s:
Kostenfunktionen
Die Cobb-Douglas Gesamtkostenfunktion:
MC: AC:
RTS hängt von den Exponenten ab. Diese bestimmen ebenfalls die Form der marginalen Kosten.
Kurz- und langfristige Kosten
Fixe vs. variable Inputs:
• Langfristig sind alle Inputs variabel.
• Kurzfristig sind einige Inputs fix.
– Maschinen
– Arbeiter, wenn zusätzliche Arbeiter und Überstunden unverhältnismäßig teuer sind.
• Kurzfristige Kostenminimierung nimmt die fixen Inputs als gegeben an und maximiert bezüglich der variablen Faktoren.
Kurz- und langfristige Kosten
Beispiel:
Angenommen, Toyota‘s Kapitalstock is kurzfristig bei K* fixiert.
• Die kurzfristigen Gesamtkosten werden durch flexibles L bestimmt, um Q zu produzieren.
• Die notwendige Arbeit, um Q zu produzieren, ist:
• Variable Kosten:
• Fixkosten von Kapital:
• Gesamtkosten: SRC(v,w,Q)=
Kurz- und langfristige Kosten
Beispiel:
Die kurzfristigen Gesamtkosten:
Die kurzfristigen Grenzkosten:
Die kurzfristigen Durchschnittskosten:
In der kurzen Frist sind die Durchschnittskosten U-förmig. Grenzkosten steigen stärker als in der langen Frist.
) , ,
(v w Q SRTC
Q SRAC SRC
Q SRMC SRC
Kapitel 10 Konzepte
• Opportunitätskosten
• Versunkene Kosten
• Gesamt-, Grenz- und Durchschnittskosten
• Cobb-Douglas Kostenfunktion
• Kurzfristige Gesamt-, Grenz- und Durchschnittskosten
