Die reduzierte QR-Zerlegung

Die reduzierte QR-Zerlegung

Für jede Matrix A∈K^m×n mit Rang(A) = r gibt es Q∈K^m×r mit orthonormalen Spalten undR ∈K^r×n in Zeilenstufenform mitA =QR.

Der Beweisist ein Algorithmus zur Berechnung einer Zerlegung. Wir wählen aus den Spaltena1, . . . , anvonAin folgender Weiserlinear unabhängige aus:

Zuerst sei k₁ = min{k ∈ {1, . . . , n} : a_k 6= 0}. Sind 1 ≤ k₁ < k₂ < · · · < k_s schon bestimmt, so sei

k_s+1 = min{k ∈ {k_s+ 1, . . . , n}:a_k ∈/ span{a₁, . . . , a_ks}}.

Wegen Rang(A) = dim(span{a₁, . . . , a_n}) = r sind dann ˜a₁ = a_k1, . . . ,a˜_r = a_kr eine Basis von span{a₁, . . . , a_n}. Seien b₁, . . . b_r die Orthonormalisierun- gen von a˜₁, . . . ,˜a_r aus dem Gram-Schmidt-Verfahren und Q= [b₁, . . . , b_r]∈ K^m×r. Wegen

span{b₁, . . . , b_s}= span{a_k1, a_k2, . . . , a_ks}= span{a₁, a₂, . . . , a_ks} können wir für k ≤k_s die k-te Spalte von A als Linearkombination

a_k=

s

X

j=1

%_j,kb_j

schreiben, wobei %_j,k = hb_j, a_ki, weil b₁, . . . , b_s eine Orthonormalbasis ihrer linearen Hülle bilden. Wegena_ks ∈/ span{b₁, . . . , bs−1}ist außerdem%_ks,s 6= 0.

Definieren wir noch %_j,k = 0 für j ∈ {s+ 1, . . . , r}, so ist die Matrix R ∈ K^r×n mit den Einträgen %_j,k in Zeilenstufenform (weil jede Spalte mit mindestens so vielen Nullen endet wie die nachfolgenden) und es giltQR=A, weil nach Definition des Matrixprodukts diek-te Spalte vonQRdas Produkt vonQmit derk-ten Spalte vonRist, also die Linearkombination aller Spalten von Q mit den Koeffizienten %_j,k, die in der k-ten Spalte von R stehen. 2

Bemerkung. Da man die Koeffizienten %_j,k =hb_j, a_ki sowieso ausrechnet, kann man sie auch zur Bestimmung von k_s+1 benutzen: Hat man b₁, . . . , b_s schon bestimmt, so berechne man %_j,k für j ≤ s und k ∈ {k_s + 1, . . . , n}.

Dann ist

ks+1 = min{k ∈ {ks+ 1, . . . , n}:ak6=

s

X

j=1

%j,kbj}.

Für den Algorithmus muss man den Rang von Anicht im Vorhinein kennen.

Er ergibt sich als das größte s, so dass k_s korrekt definiert ist (also nicht das Minimum der leeren Menge).