(45, 35)

Dipl.-Math. D. Andres

9. Übung

zur Informations- und Kodierungstheorie

Abgabe amDonnerstag, den 14.6.2007 in der Übung

Aufgabe 35: (Existenzvon Codes) 5+5 Punkte

Zeigen oder widerlegen Sie:

(a) Es gibt einenlinearen

(45, 35)

^{-Code mit}Minimalabstand17.

(b) Es gibt einenlinearen

(14 , 2)

^{-Code mit}Minimalabstand7.

Aufgabe 36: (Identitätvon MaWilliams) 5+10 Punkte

Seifolgende Matrix überdem Körper

Z 2

^gegeben:

G =



















1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1



















(a) Sei

C

der Code, der

G

^alsKontrollmatrixhat.Bestimmen SiedasGewihtsenumera- torpolynom

W (z)

^von

C

!

(b) Sei

C ^⊥

der Code, der

G

^als Generatormatrix hat. Bestimmen Sie mit Hilfe des Er- gebnisses aus (a)unddes Satzes vonMaWilliams dasGewihtsenumeratorpolynom

von

C ^⊥

!

ZweiCodes

C ₁

und

C ₂

heiÿenkombinatorishäquivalent,wenneseine Generatormatrix

G ₁

zu

C ₁

und eine Generatormatrix

G ₂

^zu

C ₂

gibt, so dass

G ₁

^aus

G ₂

^durh Spaltenvertau- shungen hervorgeht.

(a) Zeigen Sie: Kombinatorish äquivalente Codes haben das gleihe Gewihtsenumera-

torpolynom.

(b) GebenSiedieGeneratormatrizenvon5paarweise nihtkombinatorishäquivalenten

linearen

(4, 2)

^{-Codes über}

Z 2

^an!

Aufgabe 38: (Reed-Muller-Codes) 10Punkte

Listen SiealleElemente des Reed-Muller-Codes

RM (1, 3)

^{auf und geben Sieeine Genera-}

tormatrix fürdiesen Code an!