Fraunhofersche Beugung am Spalt

Fraunhofersche Beugung am Spalt

Gangunterschied:

0 E_S

b

Wellenfront || E kΦ

Φ

x

Φ

=

∆ l x sin

λ Φ π

= ϕ

∆ xsin 2

Strahlenbündel der Breite b gebeugt um den Winkel Φ

Phasendifferenz: Φ

πλ λ =

π∆

= ϕ

∆ xsin

l 2 2

Jeder Punkt x der Öffnung ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle (Huygenssches Prinzip). Die Superposition aller unter dem Winkel Φ gebeugten Teilstrahlen entspricht einer Summation der Feldstärken der von x = 0 bis x = b (bei festem Φ) in Richtung k_Φ ausgehenden Teilwellen und ergibt an der Wellenfront unter Beachtung der Pha- senverhältnisse die Feldstärke

( )

dx ) r

k t ( j b exp

dx E b

E

b E x

b x E 2

E

b

0 0 b

0 S

x / b

1 i

S i x

/ b

1 i

S i

i i

∫

∫

∑

∑

ϕ

∆ + +

ω

=

∆ →

∆ = π

= ∆Φ Φ

Φ Φ Φ

∆

= Φ

∆

=

r r r

r

r r

r

Das Winkelelement ∆Φ/2π entspricht dem Anteil der vom Spalt b aus- gehenden Elementarwellen, der in die Richtung Φ gestreut wird. Das Verhältnis (∆x/b) entspricht einem Anteil des den Spalt b passieren- den Strahlenbündels der Breite ∆x.

dx ) r

k t ( j b exp

) E ( E

b

0

0

∫ ^{ω + + ∆ ϕ}

=

Φ r

r

r

r

Unter Verwendung des Ausdruckes für die ortsabhängige Phasendiffe- renz ^∆ϕ=2π_λ^xsinΦ erhalten wir die Feldstärke

( ) ^{exp j ( t k r ) exp j ( 2 x sin ) dx}

b E E

b

0

0

^{ω +} ∫ _λ ^{π Φ}

=

Φ r

r

r

r

Damit erhält man die Amplitude der Feldstärke in Abhängigkeit vom Winkel Φ:

( )   

 

  −



 



 Φ

λ π Φ

π

= λ

Φ

2 b sin 1

j sin exp

b E 2

E r

r

Die Intensität ist dem Quadrat des Betrages der Feldstärke proportio- nal:

( ) ( )

2

1 2 j E exp

E

I 



δ

−

= δ Φ

∝

Φ _Φ

Mittels der Beziehungen

^{2 2}

2 Re(E) Im(E)

E

= +

exp j 2 δ = cos 2 δ + j sin 2 δ

(

)

=

δ 1 cos2 2

sin² 1

Φ

λ

= π

δ b sin

erhalten wir

( )

2

0

sin b

sin b sin

I I

 

 



 Φ

λ π

 

 



 Φ

λ π

=

Φ

Intensitätsverteilung bei Beugung am Spalt

( )

2

0

sin b

sin b sin

I I

 

 



 Φ

λ π

 

 



 Φ

λ π

= Φ

sinΦ Berechnung der Intensitätsminima Mit

( )

sin b

sin b sin

I

I ₂

2

0 =



 



 Φ

λ π



 



 Φ

λ π

= Φ

folgt

π

 =



 



 Φ

λ

π

Daraus ergibt sich die Bedingung für Intensitätsminima zu

λ

= Φ z sin

b

(Hinweis: Für die Beugung am Gitter ist dies die Bedingung für Inten- sitätsmaxima!)

Berechnung der Intensitätsmaxima Es ist das Problem

( ) ₀

d

dI =

Φ Φ

für das Auftreten relativer Maxima zu lösen.

Die Intensitätsgleichung lässt sich in der vereinfachten Form

( ) I

^sin

I α

= α Φ

aufschreiben. Durch Differenzieren nach α und Nullsetzen folgt

α

= α α

− α α

= cos sin bzw . tan 0

Damit muss die transzendente Gleichung

 

 



 Φ

λ

= π λ Φ

π b sin tan b sin

gelöst werden.

Diese Gleichung hat die Lösungen

k b

sin

λ

= Φ

Wobei die Koeffizienten k_m Lösungen der Gleichung

) k tan(

k

= π

π

. usw ..

47 , 3 k

..

46 , 2 k

..

43 , 1

k

=

=

=

Beugung am Spalt

0,001 0,01 0,1 1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Seitenabstand/m

intensität

Abstand: 1m; Spaltbreite: 2µm ;Wellenlänge: 550nm