J. M¨uller WiSe 2019/2020 05.02.2020
12. ¨Ubung zur H¨oheren Funktionentheorie
A45: Zeigen Sie: Es giltP(D) =A(D).
Hinweis: Zuf ∈A(D) undε >0 existiert ein r <1 mitkf(r·)−fk∞< ε.
A46: Es seiK⊂Ckompakt. IstU die unbeschr¨ankte Komponente vonC\K, so heißtKb :=C\U, also die Vereinigung von K und allen beschr¨ankten Komponenten von C\K, die polynom- konvexe H¨ulle vonK. Zeigen Sie
a) Istpein Polynom, so gilt max
Kb
|p|= max
K |p|.
b) Istf ∈P(K), so existiert eine FunktionF ∈A(K) mitb f =F|K.
A47: Es seiK⊂Ckompakt. Beweisen Sie: IstC\Knicht zusammenh¨angend, so istP(K)6=A(K).
A48: a) Es seien Ω⊂Coffen undA⊂Ω ohne H¨aufungspunkt in Ω. ¨Uberlegen Sie sich, dass ein f ∈M(Ω) existiert mitZ(f) =A.
b) Beweisen Sie, dass eine Funktionf ∈M(D) existiert, die nicht meromorph fortsetzbar ist, d. h. es gibt kein GebietU ⊃D,U 6=Dso, dassf =F|Df¨ur ein F∈M(U) gilt.
Hinweis:{(1−1/n)e2πij/n:n∈N, j= 1, . . . , n} hat die H¨aufungspunktmengeSin C.
