(a) Berechne die Ableitungen d

Mathematische Methoden der Physik, (Repetitions¨ ubung II)

Prof. Hans Peter B¨ uchler WS 2014/15, 11. Februar 2015

1. Differenzialrechnung und Integralrechnung

(a) Berechne die Ableitungen d

dx exp(−x ⁶ /2) d

dx ln 1 + x ² d

dx e ^x sin x d dx

Z x

1

dt x ² t

(1) (b) Berechne die bestimmten Integrale

Z π

0

dx sin x

Z 2

0

dx 2xe ^x

Z 1

0

dx xe ^x (2) (c) Berechne die drei-dimensionalen Integrale

Z

K

dr xyz,

Z

K

drz ² (3)

wobei K die Einheitskugel ist.

(d) Fl¨ ache A sei gegeben durch die Oberfl¨ ache der Kugel mit Radius R = 1. Be- rechne das Oberfl¨ achenintegral

Z

A

dS 1 − 3z ²

(4) (e) Das Volumen V sei gegeben durch einen Zylinder entlang der z-Achse mit

Radius R = 1 und 0 ≤ z ≤ 1. Berechne das Volumen Integral Z

V

dr z ²

1 + x ² + y ² (5)

2. Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

Gegeben sei folgende Differentialgleichung

y ⁰⁰ + ay ⁰ + 4y = 0, (6)

mit dem reellen Parameter a.

(a) L¨ osen Sie die Differentialgleichung und geben Sie an f¨ ur welche Werte von a

oszillierende L¨ osungen und f¨ ur welche Werte von a rein exponentiel ansteigende

bzw abfallende L¨ osungen existieren.

(b) Kann man a so w¨ ahlen, dass y(x) = sin 2x eine L¨ osung der Differentialgleichung ist? Falls ja, gebe man den Wert von a an.

(c) Man gebe auch f¨ ur den Fall der Entartung, bei der die zwei L¨ osungen der charakteristischen Gleichung zusammen fallen, zwei unabh¨ angige L¨ osungen an.

(d) L¨ osen Sie die Gleichung

y ⁰ − y ²

x ² = 0. (7)

Bestimme die Integrationskonstante so dass y(x) → 1 f¨ ur x → ∞.

3. Vektoranalysis

(a) Betrachte das Skalarfeld ψ(r) = cos(x)y und das Vektorfeld A(r) = x ² y ² e _x − xz ² e _y + xyz ² e _z . Berechne f¨ ur diese Felder folgende Gr¨ oßen

∇ψ(r), ∆ψ(r), divA(r), rotA(r).

(b) F¨ ur den Rest der Aufgabe betrachten wir ein Skalarfeld, das durch zwei Punkt- ladungen bei r = 0 und r = a = (0, 0, a) erzeugt wird. Ein solches Skalarfeld ist gegeben durch

φ(r) = 1

|r| + 1

|r − a| .

Berechne f¨ ur dieses Skalarfeld den Gradienten F(r) = ∇φ(r).

(c) Zeige, dass ∆ _|r| ¹ f¨ ur r 6= 0 verschwindet. Welche Konsequenz hat das f¨ ur ∆φ(r)?

Warum ist ∆φ(r) f¨ ur r = 0 und r = a nicht definiert?

4. Fourierreihen

(a) Berechne die Fourierreihe und die Fourierkoeffizienten der Funktion

f (x) = exp(x), 0 < x < 2π. (8) (b) F¨ ur die periodische Funktion g(x) = P ∞

n=−∞ ˆ g(n) exp(ik _n x) seien die Fou-

rierkoeffizienten ˆ g(n) bekannt. Bestimme daraus die Fourierkoeffizienten der

Funktion h(x) = g(x) cos(2πx/L).