Prof. H. Klemenz
”Matrizen im gymnasialen Mathematikunterricht”
8./15. Juni 2006
”Maturit¨ atspr¨ ufung” f¨ ur Kursteilnehmer (L¨ osungen)
Aufgabe 1: Geometrische Abbildungen
a) A= 251
−16 12 15 12 −9 20
15 20 0
durch Spiegelung der PunkteX(1,0,0),Y(0,1,0) undZ(0,0,1) an der Achsea.
b) Drehung um die gerichtete x-Achse mit Drehwinkel -90◦.
c) Ebenenspiegelung: Die Spaltenvektoren sind orthonormiert und die Fixvektoren spannen die Ebenex+ 2y−2z= 0 auf.
d) Die Spaltenvektoren sind orthonormiert, aber die Determinante vonD−Everschwindet nicht. (Drehspiegelung!)
Aufgabe 2: Stochastische Matrizen
Matrix:M =
0.75 0.15 0.4 0.2 0.25 0.1 0.05 0.6 0.5
a) M14•
0 1 0
, also Wahrscheinlichkeit 0.27273.
b) Fixvektor: 111
6 2 3
. Damit 116·365 Tage≈199 Tage.
Aufgabe 3: Zyklische Matrizen
a) Jede Alte gibt 8 Neue, jede Junge 5 Neue, jedes 2. Junge wird alt, aist die ¨Uberlebensrate der Neuen.
b) M3=
4a 25a 40a 5a2 4a 0
0 52a 4a
kann f¨ur keinagleichE sein, also geht es nicht.
(Die 5 m¨usste eine 0 sein, damit es gehen kann, dann w¨area= 14!)
c) Determinante von
−1 5 8 a −1 0 0 12 −1
muss 0 sein, dann ista= 19.
d) Determinante von
−2 5 8 a −2 0 0 12 −2
muss 0 sein, dann ista= 47.
−2 5 8
×
4
−14 0
=
112
32 8
mit Summe 152, also Startvektor:
2352
672 168
mit Summe 3192.
M12•
2352
672 168
=
906330792 207520512 6880128
Aufgabe 4: Input-Output-Analyse
a) Matrix des internen Bedarfs: I=
120 6000
150 3600
36 72 4650
6000 0 4650135
30 6000
150 3600
15 4650
=
1 50
1 24
6 3 775
250 0 3109
3 500
1 120
1 310
Beachte: 1201 bedeutet z.B. 1201 derS2-Einheiten liefert derS3-Sektor demS2-Sektor.
b) Externe Nachfrage:−→y = (E−I)−→x =
5694 3393 4569
, Gesamtproduktion:−→x =
6000 3600 4650
, Interner Bedarf:
306 207 81
c) −→x = (E−I)−1−→y, wobei die Matrix (E−I)−1lauter positive Eintr¨age hat. Zu jeder Wahl von−→y gibt es ein−→x!
d) Gesamtproduktion −→x = (E−I)−1•
4500 3000 12000
=
4832 3409 12096
Aufgabe 5: Eigenwerte und Eigenvektoren
a) A=
0 −1 −2
1 0 −2
2 2 0
, da z.B.
2
−2 1
×
1 0 0
=
0 1 2
b) −→u × −→v ist immer orthogonal zu−→v und damit nicht kollinear!
c)
0
−1
−2
×
1 0
−2
=
2
−2 1
d) Charakteristisches Polynom charP(B)=(1−t)3, also istt= 1 dere einzige Eigenwert.
B−E=
0 0 0 0 0 1 0 0 0
liefertz= 0, also die xy-Ebene.
e) Anschaulich: Scherung iny-Richtung.
Aufgabe 6: Matrizen in Graphen
1 2
3
4 5
Adjazenzmatrix M =
0 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 0 0 1
0 0 1 0 1
0 1 0 1 0
a) (M6)3,4+ (M7)3,4= 10 + 26 = 36
b) Knoten 2 ist der beste Hub (Gewicht:0.707), Knoten 5 ist die beste Autorit¨at (Gewicht:0.707).
c) Knoten 4 hat die h¨ochste Relevanz (0.267) knapp vor Knoten 5 (0.261)
