Spezifikation
Wir wissen schon, dass wir Pseudo-Orbits nahe einer hyperbolischen Menge durch ein naheliegendes echtes Orbit „beschatten” können.
Allerdings setzte das bislang voraus, dass wir in jedem Schritt nur eine kleine Abweichung zulassen zwischen dem nächsten Punkt auf dem Pseudo-Orbit und dem Bild des aktuellen Punktes.
Jetzt sehen wir eine Methode, die es zuläßt, dass die vorgegebenen Punkte beliebig weit von Bildern der vorigen Punkte entfernt sind, und dennoch eine Beschattungseigenschaft herauskommt: Wir wer- den sehen, dass wir mehrere endliche Orbitstuecke beliebig vorge- ben können und dennoch ein echtes Orbit finden, dass beiden na- hekommt. Und welches auch noch eine genau vorgeschriebene Zeit zwischen diesen Segmenten zubringt.
DEFINITION. Für eine bijektive Abbildungf :X →Xist eineSpezi- fikation eine endliche Sammlung endlicher Teilmengen vonZ,d.h.
I1 = {a1, . . . , b1}, . . . , IN = {aN, . . . , bN}, sowie eine AbbildungP : SN
i=1Ii → X, welche jedesIi auf ein Orbitsegment abbildet, d.h. für k, l ∈Ii giltP(k) =fl−k(P(l)).
Die Spezifikation heißt L-separiert, wenn ai+1 > bi+Lfür alle i = 1, . . . , N −1gilt.
THEOREM. SeiΛ eine lokal maximale hyperbolische Menge für einen to- pologisch mischenden Diffeomorphismusf :U →M auf einer Mannigfal- tigkeit M.Dann gibt es für jedesε > 0einL = L(ε) < ∞, so dass jede L-separierte Spezifikation aufM von einem echten Orbitε-beschattet wird, d.h. es gibt einx∈M,so dass für allen ∈SN
i=1Iigilt:
d(fn(x), P(n))< ε und so dass für allek > PN
i=1Länge(Ii) +N Lein periodisches Orbit mit Periodek existiert mit derselben Eigenschaft (d(fn(x), P(n)) < εfür alle n ∈SN
i=1Ii).
REMARK. Das heißt, wir können zu mehreren vorgegebenen Orbitseg- menten ein Orbit finden, welches diese Segmente ε-genau approxi- miert, und welches auch noch exakt eine vorher festgelegte Zeit zwischen den Orbits zubringt.Dies ist ein wichtiges globales Ergebnis (während Beschattung dagegen lokal erfolgt).
BEWEIS. Sei x1 := P(b1) der letzte Punkt der ersten Orbitseg- ments undy1 :=P(a2)der erste Punkt des zweiten Segments. Wegen topologischem Mischen schneiden sich Wu(x) und Ws(y)in einem Punkt z.Fürk, l groß genug istfk(z), f−l(z) beliebig nahe any1, x1.
Wählex:=f−l−(b1−a1)(z).Dann sind die erstenb1−a1Iterationen von xwegen Stetigkeit nahe anP(a1), . . . , P(b1)und wegen dem Schnitt
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0.0. SPEZIFIKATION
vonWu(x)undWs(y)und der Wahl vonk, listfa2(x)auch nahe an P(a2).Somit auch auf dem zweiten IntervallI2.
Nun wiederholen wir die Prozedur: Sei x2 := P(b2),y2 := P(a3) . Finde z ∈ Wu(x2) ∩ Ws(y2), finde entsprechende k′, l′, und sei x := f−l′−(b2−a2)−l−k−(b1−a1). Diesesx unterscheidet sich beliebig we- nig vom vorigen. Nach endlich vielen Schritten ist das Verfahren ab- geschlossen und das gefundene xhat ein allen Orbitsegmenten na-
hes Orbit.
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