Höhere Mathematik 4

Allgemein

x 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃ ^π₂ π ^3π₂ 2π

sin 0 ¹₂ √¹ 2

√ 3

2 1 0 -1 0

cos 1

√3 2

√1 2

1

2 0 -1 0 1

tan 0

√3

3 1 √

3 ∞ 0 −∞ 0

Grundbegriffe der Numerik

Gleitpunktzahlen und Maschinenzahlen

m

btb^e=±0.a₁a2· · ·at·b^e mit ai∈ {0, . . . , b−1}

Hierbei ist

• s∈ {−1,1}das Vorzeichen

• b∈Ndie Basis

• t∈Ndie Genaugigkeit bzw. Anzahl signifikanter Stellen

• e∈Nder Exponent

• m∈Ndie Mantisse

• a16= 0 (

”normalisiert“)

Bsp.:−2 =−0.1000000·2²(b= 2, t= 7) # Maschinenzahlen

= 2·(b−1)·b^t−1·a+ 1(hier: a=#Exponenten) (ohne±∞

und NaN.)

Maschinengenauigkeit

_b,t=b^−(t−1)(d.h.@Maschinenzahl zwischen 1 und 1 +_b,t) Bsp.: MATLAB:_2,53= 2^−(53−1)≈2·10⁻¹⁶

Runden: F¨urx= 2.387 giltf l_10,3= 2.39 = +0.239·10¹ Wie viele Maschinenzahlen gibt es inM2,4,−3,3? Berechnen

Sie eps,x_minundx_max. Es gibt 2·2³·

#e z}|{

7 + 1 = 113 Maschi- nenzahlen.x_min= +1000,^m −11 =^{e 1}

16,xmax = +1111,11 = 15

16·2³=¹⁵₂,eps( ˆ=_2,4) = 2⁻³=¹₈

Kondition(Fehler bei Eingabe)

κ_abs(x) =|f⁰(x)| κ_rel(x) =^|f_|f(x)|^0(x)|

x

• gut konditioniert f¨urκ_rel≤100

• schlecht konditioniert f¨urκ_rel≥10⁶

Groß

O-Notation

|f(x)| ≤c· |g(x)| ∀x > x₀∧c >0

Stabilit¨ at(Rechenfehler)

|f(x)˜ −f(x)|= absoluter Fehler

|f˜(x)−f(x)|

|f(x)| = relativer Fehler

Polynomauswertung bei f(a): f(x) = a_nxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+

· · ·+a₁x+a₀

• naiv:

functiony=peval(a₀, a₁, . . . , a_n, a) y=a₀;

f or k= 1 :n y=y+a_k·a^k; end

• Hornerschema functiony=horner(a₀, a₁, . . . , a_n, a) y=an;

f or k=n−1 :−1 : 0 y=y·a+a_k·a^k; end

LR-Zerlegung

A·x=b⇔x=A⁻¹·bist numerisch instabil→LR-Zerlegung L¨osen mitA=L·R:

1. Gauß auf A anwenden:

A=





−1 2 3

−2 7 4

1 4 −2



 II.−2I. III.+I.

⇔





−1 2 3

+2( ˆ=⁻²₋₁) 3 −2

−1 6 1



 III.−2II.

⇔





−1 2 3

2 3 −2

−1 2 5





2.⇒L=





1 0 0

2 1 0

−1 2 1



undR=





−1 2 3

0 3 −2

0 0 5





3. L¨ose

•L·y=bdurch Vorw¨artseinsetzen⇒y, dann

•R·x=ydurch R¨uckw¨artseinsetzen⇒x

Pivotisierung Tausche so, dass man durch die betragsm¨aßig gr¨oßte Zahl teilen muss. Es gilt: P⁻¹=P

Bsp.:





0 3 3

−1 3 4

−2 1 5



 ⇒





−1 3 4

0 3 3

−2 1 5



 mit P =





0 1 0

1 0 0

0 0 1





L¨oseP Ax=P bbzw.LR=P b

QR-Zerlegung mit A

^m×n

, m _> n

AusgleichsproblemAx=bmit|Ax−b|=min

⇒ QR-Zerlegung mit QRx = b ⇔ Q^TQRx = Q^Tb mit fboxQ⁻¹=Q^T

Vorgehen:

1.v1=a1+sgn(a11)|a|e₁ 2.Q1=Hv1=En− ²

vT vvv^T

3.Hv₁A

| {z } R

=









∗ · · · ∗ ..

.

A ˜

0









4. Beginne von vorne mit ˜A, wobeia₂ = 0

˜ a

⇒erhalte alle Q

5.Q_nQ_n−1·...·Q₁·A= Q^T

|{z}

hier bekommt man Q

·A=R

6. ˜R=R ohne Nullzeilen 7.QnQn−1·...·Q1·b=

d₁ d₂

⇒d1 8. ˜Rx=d₁⇒x

Bsp.:A=









3 0 0

4 0 5

0 3 −2

0 4 4







 undb=







 5 0 1

−2









1.v₁=







 3 4 0 0









+sgn(3)|a|e₁=







 3 4 0 0







 +







 5 0 0 0







 +







 8 4 0 0









2.Q₁=E_m− ²

vT vvv^t=E₄−₄₀¹









64 32 0 0

32 16 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0









3. ...

Fixpunktiteration

z.B.f(x) = cos(x)−x⇔Φ(x) = cos(x) Gegeben:Φ ,Startwertx₀=s

⇒x_k+1= Φ(x_k) k= 0,1, ...

Φ stetige Abb. und Folge (X_k)_kkonvergiert f¨urx0⇒Grenz- wert von (X_k) ist Fixpunkt von Φ(x) =x

Beweis:x= lim

k→∞x_k+1= lim k→∞Φ(x_k) = Φ( lim

k→∞x_k) = Φ(x)

Ein Iterationsverfahren Φ :X→X mit FP x heißt

• global konvergent, falls∀x₀∈X: (X_k)→x

• lokal konvergent, falls∀x₀ ∈ U : (X_k)→ x, wobei U Umgebung von x ist

• Kontraktion, falls∃L ∈ [0,1) mit ||Φ(x)−Φ(y)|| ≤ L||x−y||, L=Lipschitzkonstante, f¨urL <1 giltstrikte Kontraktion

Konvergenzs¨atze:

• Globaler Konvergenzsatz:Gilt f¨urf:D→Rⁿ, wenn 1.D⊆Rⁿabgeschlossen

2.f(D)⊆D

3. (strikte) Kontraktion mitL <1

⇒ ∃einen eindeutigen FP und es gilt:

– ||x_k−x|| ≤_1−φ^φk ||x₁−x₀||

A-priori-Fehlerabsch¨atzung

# ben¨otigter Iterationen mit Genauigkeit: k ≥ ln (1−φ)

||x1−x0||

lnφ

– ||x_k−x|| ≤_1−φ^φ ||x_k−x_k−1||

A-posteriori-Fehlerabsch¨atzung

• Lokaler Konvergenzsatz:X ⊆R^d offen, stetig diff- bar,x FP von Φ mit||J_φ(x)

| {z}

||<1→ J acobimatrix

lokal konvergent

• Lokaler,normunabh¨angiger Konvergenzsatz: X ⊆ R^doffen, stetig diffbar,x FP vonφmitρ(J_φ(x))<1→ lokal konvergent, wobei

ρ(Matrix) ist betragsm¨aßig gr¨oßter EW von Matrix (Spektralradius)

Iterative Verfahren f¨ ur LGS

Gegeben:Ax=b

Formuliere das LGS als ein Fixpunktproblem:

A=M−N , mit A,M,N∈R^n×nmit invertierbarem M, so ist das L¨osen vonAx= bgleichwertig zur Fixpunktbestim- mung φ(x) =xφ(x) =M⁻¹b+M⁻¹N x

wobeix₀=s, x_k+1=φ(x_k) und f¨urρ(M⁻¹N)<1 konver- giert.

⇒Verschiedene Verfahren f¨ur verschiedene Wahlen von M und N:

Jacobi-Verfahren

A= M z}|{

D − N z }| { (L+R) =









D −R

D D

−L D









mit Startvektor x0

x_k+1=D⁻¹b+D⁻¹(L+R)x_k= c z }|{ D⁻¹b+

T z }| { D⁻¹(D−A)x_k Vorgehen: x_k+1=T x_k+c

Konvergenz, falls Astrikt diagonal dominant.

Bsp.:A=





5 −2 1

1 3 0

−3 −5 9



I.:|5|>|−2|+|1|,∀Zeilen

Gauß-Seidl-Verfahren

A= M z }| { (D−L)−

N z}|{

R

Explizit:x_k+1= (D−L)⁻¹b+ (D−L)⁻¹Rx_k Konvergiert f¨ur

• strikt diagonal dominates A

• positiv definites A (alle EW>0 oder Hauptminoren po- sitiv)

Vorgehen:A= 15 2

1 −4

, b=

−1

−9

, x0= 0

0

1.T= 0 ⁻²₁₅ 1

4 0

! , c=

−1 159 4

!

2.x¹₁= (0 ⁻²₁₅) x¹₀

x²₀

+⁻¹₁₅ =⁻¹₁₅

x²₁= (¹₄ 0) x¹₁

x²₀

+⁹₄=⁶⁷₃₀

⇒x₁=

−1 1567 30

!

3.x²₁= (0 ⁻²₁₅)

−1 1567 30

!

+⁻¹₁₅ =⁻⁸²₂₂₅

x²₂= (¹₄ 0)

−82 22567 30

!

+⁹₄=¹⁹⁴³₉₀₀ ...

SOR-Verfahren

x_k+1= (E_n−ωD⁻¹L)⁻¹((1−ω)E_n+ωD⁻¹R)x_k+ω(E_n−ωD⁻¹L)⁻¹)D⁻¹b Konvergenz f¨ur:

• 0< ω <2

• A positiv definit Optimalesω

• ρ(M⁻¹N)<1 und

• alle EWλ₁, ..., λn vonM⁻¹N reell und im Intervall (−∞,1)

⇒ωoptf¨ur relaxiertes Verfahren

φω(x) = (ωM⁻¹N+ (1−ω)En)x+ωM⁻¹b ist:

• ω_opt=_2−λ²

1−λn -f¨ur Jacobi

• ωopt= ² 1+

q 1−λ2

n

-f¨ur Gauß-Seidl

• ω= 1⇒man erh¨alt wieder Gauß-Seidl

• 1< ω <2 nennt manUberrelaxierung¨

Christian Obermaier und Tim Huber

Bemerkung:

F¨urA∈R^n×nbraucht jede Iteration der drei VerfahrenO(n) Operationen

Nichtlineare Gleichungssysteme

Bisektionsverfahren

Seif : [a₀, b₀]→Rstetig mitf(a₀)f(b₀)<0, so erhalte die Nullstellex^?folgendermaßen:

1.x_k=¹₂(a_k+b_k)undf(x_k) 2. Setze

•a_k+1=a_kundb_k+1=x_k, fallsf(a_k)f(x_k)<0

•a_k+1=x_kundb_k+1=b_k, fallsf(x_k)f(b_k)<0 3. Abbruch der Iteration, fallsb_k−a_k<

Weiterhin gilt:

|x_k−x^?| ≤b_k−a_k≤ ¹ 2k|b₀−a0|

• ⇒Globale Konvergenz(d.h.|x_k−x^?| →0 mitk→ ∞ f¨ur beliebiges Anfangsintervall)

• ⇒maximal lineare Konvergenz, da der Fehler|x_k−x^?| maximal linear f¨allt.

Newton-Verfahren

Eindimensional

Istf:I→Rstetig diffbar undx^?∈Imit f(x^?) = 0 undf⁰(x^?)6= 0,

so existiert eine Umgebung U vonx^?, so dass die Iteration x₀∈Uundx_k+1=x_k− ^f(xk)

f0(xk), k= 0,1, ...

f¨ur jedesx₀∈Uquadratischgegenx^?konvergiert.

Istf2-mal stetig diffbar in U vonx^?, so gilt:

x_k+1−x^?=¹₂^f 00(ξk)

f0(xk)(x_k−x^?)²f¨urξ_k∈U

Mehrdimensional

Istf:X⊆Rⁿ, Xoffen und konvex, 2-mal stetig diffbar mit nichtsingul¨arer JacobimatrixJ_f(x)∀x∈X, so konvergiert die Iteration

x_k+1=x_k−(J_f(x_k))⁻¹f(x_k) =:φ(x_k) lokal quadratisch gegen eine Nullstelle vonf.

Bem.: Beimvereinfachten Newton-Verfahren wirdJ_f f¨ur mehrere Schritte verwendet.

Abbruch des Newtonverfahren Abbruch, wenn

• x^?hinreichend genug approximiert ist oder

• die Iteration voraussichtlich nicht konvergiert

L¨ osbarkeit und Kondition des Nullstellenproblems

Lokale Eindeutigkeit

Ist f : x → Rⁿ stetig diffbar mit regul¨arer Jacobimatrix J_f(x^?) f¨urx^?∈Xmitf(x^?) = 0, so istx^?lokal eindeutig, d.h.es gibt eine Umgebung U vonx^?, so dassx^?der einzige Punkt mitf(x^?) = 0 in U ist.

Kondition

Ist f : x → Rⁿ stetig diffbar mit regul¨arer Jacobimatrix J_f(x^?) f¨ur x^?∈ Xund zuδf∈ Rⁿ istx^?(δf) die L¨osung vonf(x) +δ(f) = 0.

⇒κ_abs=||J_f⁻¹(x^?)||

Numerik gew¨ ohnlicher DGLs

Einschrittverfahren

N¨aherungsl¨osungen x_k f¨ur exakte L¨osung x(t_k) des AWP

˙

x=f(t, x) mitx(t0) =x0

an den Stellent_k=t0+k·hmitk= 0,1, . . . , nundh=^t−t_n⁰ f¨ur einn∈N.

explizites Euler-Verfahren:

x_k+1=x_k+h·f(t_k, x_k), k= 0,1,2, . . . Mittelpunktsregel:

x_k+1=x_k+h·f(^tk+tk+1

2 ,^xk+xk+1₂ ), k= 0,1,2, . . .im- plizites Euler-Verfahren:

x_k+1=x_k+h·f(t_k+1, x_k+1), k= 0,1,2, . . .

Optimierung

Gradientenverfahren

Geg.:C¹-Funktionf:R^d→Rund Startvektorx₀∈R^d

• Bestimme Abstiegsrichtung:v_k=−∇f(x_k)

• Schrittweitef(x_k+h_kv_k)< f(x_k) mit Armijo:γ∈(0,1);h_k∈ {1,¹₂,¹₄,¹₈, . . .} f(x_k+h_kv_k)≤f(x_k) +h_kγ∇f(x_k)^Tv_k

• x_k+1=x_k+h_kv_k Konvergenz

• f(x_k+1)< f(x_k)∀k

• alle H¨aufungspunkte von (x_k)_ksind station¨are Punkte vonf

Holomorphe Funktionen

Komplexe Funktionen Gebiete

• zu jedemz∈G ∃ >0 mitB(a)⊆G

• G zusammenh¨angend (Streckenzug zw. zwei Elementen von G existiert)

Wichtige Formeln e^iz= cos(z) +isin(z) e^z·e^w=e^z+w cos(−z) = cos(z) cos(z) =^eiz+e₂^−iz

cos(z+w) = cos(z) cos(w)−sin(z) sin(w) cos(z) = 0⇔z= (k+ 0.5)π, k∈Z cos(z+ 2π) = cos(z)

cos(z) = cos(x) cosh(y)−isin(x) sinh(y) cos²(z) + sin²(z) = 1

cosh(z) =¹₂(e^z+e^−z) cosh(it) = cos(t) sin(−z) =−sin(z) sin(z) =^eiz−e_2i^−iz

sin(z+w) = sin(z) cos(w) + sin(w) cos(z) sin(z) = 0⇔z=kπ, k∈Z

sin(z+ 2π) = sin(z)

sin(z) = sin(x) cosh(y) +icos(x) sinh(y) sin(z+^π₂) = cos(z)

sinh(z) =¹₂(e^z−e^−z) sinh(it) =isin(t)

Kriterium f¨ur Holomorphie

Gegeben: Reelifizierte Funktionf(x, y) =u(x, y) +i·v(x, y) f(x, y) holomorph, wenn u(x, y) und v(x, y) stetig part. diffbar und Cauchy-Riemann’sche DGLen erf¨ullt:

u_x(x, y) =v_y(x, y) undu_y(x, y) =−v_x(x, y)

Harmonische Funktionen

geg.:u(x, y); ges.:v(x, y) Pr¨ufe:u_xx=−u_yy v(x, y) =R

u_xdymit Konstanteg(x) vx=−u_y⇒gx(x) integrieregx(x)

Wichtige Algorithmen

Bruch als Bin¨arzahl a= 1

11; fori= 1 : 30;

ifa≥1 a=a−1;

x(i) = 1;

elsex(i) = 0;

end a= 2∗a;

end

Newton optimiert function [x,xvec]=

newtonopt(f,Df,Hf,x,TOL) weiter = 1;

xvec=[x];

while weiter deltax= Hf(x)\Df(x);

x=x-deltax;

xvec=[xvec x];

weiter = norm(deltax) > TOL;

end Housholdermatrix bestimmen function [Q,R,A] = householder(A) [m, n] =size(A);

Dimensionspruefung der Matrix A ifn > m

disp(’Matrix A muss mehr Zeilen als Spalten besitzen’) return

endAusgabe Initialisieren Q = eye(size(A));

V = zeros(size(A));

R = zeros(n);

for k = 1:n

Spiegelungsvektor v konstruieren x = A(k:m,k);

tmp = sign(x(1))*norm(x);

v = x;

v(1) = v(1) + tmp;

v = v/norm(v);

Spiegelung durchfuehren

A(k:end,k:end) = A(k:end,k:end) - 2*v*(v’*A(k:end,k:end));

Spiegelvektoren merken V(k:end,k) = v;

end Die Matrix Q berechnen. for k = n:-1:1 v = V(k:end,k);

Q(k:end,:) = Q(k:end,:) - 2*v*(v’*Q(k:end,:)); endR ist ja gerade der rechte obere Teil von AR = triu(A);

Jacobiverfahren

SOR-Verfahren

function [x,relerr,niter] = SOR (A,b,x0,w,tol,maxiter) relerr = inf;

niter = 1;

L=-tril(A,-1);

R=-triu(A,1);

D=diag(diag(A));

M = 1/w*D-L;

N = (1/w -1)*D+R;

while relerrqeqtol & niter < maxiter, x=M (b+N*x0);

relerr = norm( x-x0,inf )/norm( x,inf );

x0 = x;

niter = niter+1;

end

Bisektionsverfahren

function [tm,n]=bisection (f,t0,t1,TOL) f0=feval(f,t0);

f1=feval(f,t1);

n=0;

if (f0==0), tm=t0; return; end if (f1==0), tm=t1; return; end if (f0*f1>0)

error(’f hat bei t0 und t1 das gleiche Vorzeichen!’);

end while (1) tm=t0+0.5*(t1-t0);

if (t1-t0<TOL), break;end fm=feval(f,tm);

if (fm==0), break;end

if (f0*fm>0), t0=tm;f0=fm;else t1=tm;f1=fm;end n=n+1;

endend

Newtonverfahren

function [ x,xvec,deltax ] = newtonverf( f,Df,x,TOL) weiter = 1;

xvec=[];

while weiter deltax= Df(x)\f(x);

lS= Df(x)\f(x-deltax);

lS: linke Seite des natuerlichen Monotonietests x=x-deltax;

xvec=[xvec x];

weiter = norm(deltax) > TOL & norm(lS) < norm (deltax);

end

Ein-/Mehrschrittverfahren(Runge-Kutta) function aufgabe

h = 0.1;

x0 = 0;

y0 = 0.5;

x1 = 1.8;

Schrittweite Start an Stelle x0 = 0 Anfangswert y0 an Stelle x0 Stop an Stelle x1 = 1.8 u euler = y0;

u rk = y0;

for x=linspace(x0, x1-h, (x1-x0)/h)

u euler = u euler + h*f(x, u euler);Explizites Euler-Verfahren Klass. Runge-Kutta Verfahren

k1 = f(x, u rk);

k2 = f(x+h/2, u rk+h/2*k1);

k3 = f(x+h/2, u rk+h/2*k2);

k4 = f(x+h, u rk+h*k3);

u rk = u rk + h*(k1/6+k2/3+k3/3+k4/6);

endformat long

u exakt = x1 + 1/(2-x1) Ausgabe der Ergebnisse u euler

fehler euler = abs(u euler-u exakt) u rk

fehler rk = abs(u rk-u exakt) end

function f = f(x, y) f = 1 + (y-x)ˆ2;

end

Gradientenverfahren

function [x,xvec]=gradientenverf(f,Df,x,gamma,TOL) weiter = 1;

xvec=[x];

while weiter fx=f(x);

Dfx=Df(x);

h=1;

while (f(x-h*Dfx) > fx-gamma*h*Dfx’*Dfx) h=h/2;

end x=x-h*Dfx;

xvec=[xvec x];

weiter = norm(h*Dfx) > TOL;

end

Christian Obermaier und Tim Huber