Wiener Prozess

BrownscheBeweguu.gg

Wiener Prozess

Diffusions _prozess

÷

-

-

Xz

^Xotsz

Zj

5=1

Zj :{ ^!

^{9=12 PE}

Xo

_Amplitude

- E

( Zj

Zj ⁾

-

Xy

(

^Zzt

Zt

F-

( Xt ⁾

^O

Var

( _Xt )

gz2.tn

DE

1

a) for

Varcxt )

geht ^{also nicht}

b)

^? JE

^Sinnvolle

Restriktion

92 ^{? =} Dt ^.

52

DZ ⁼ 5 ^.

27

• t → 0

Daraus

folgt

Var

#

(

^TEE ) ^? tz

^? _tpg

Eigensten

i )

XH )

Nlojr

⁾

ii )

unabhängige ^Zuwächse

t . <

tz

tn

Xltn

Xltn

)

Xltn

_Xltn

e)

Xltz

₎

unabhängig

Definition

stochastischer

Prozess

{

)

} heißt

Brown

Bewegung

i ) X (

01=0

Ii ⁾

Hlt

#

)

und

unabhängige

iii )

für ^jedes

verteilt ^{mit F-}

[ XHD

Var

[

^]

- Für ^{5 =} t heißt ^der

Prozess

Standard ^-

Browns

Bewegung ^BLH

Es

gilt ^XCT

^{BH )}

-

iÄ

^{" "}

With

drift

)

✓

www.ot-t

XH ) ⁼ µ ^.tt BH ) ^{. 5} _, konstanter

drift

XH

allgemein

~

Moute-Carlosimnlah.CI

Drift

-

Xttgz

^Xz

AXT

with

Xo

( Startwert )

- DX ₊ ^~

Nest

⁵² )

DX ₊ ^- at ^. N

- 2- ^{+= -} i Z ^-

NCO ;D

VI.

DX ₊ ⁼ Z ;

Tot

Damit

ergibt

-

Xt-sEXtm@t.p--FsF.o.Zt )

t ⁼

(

, 3 _{At . . . .}

)

- Generell : µ ^{lt )}

× _tust ⁼ Xt ^{+ Dt .} _µ ^{' lt ) +}

VII.

Hausaufgaben

I. Simuliere ^einen

Wiener ^- Prozess ^{mit einem}

linearenvon

Intervall

drift _µ

µ ^{= 0.5 .} Wiederhole ^die

Simulation für ^{6=0 . 0T ,}

D= ^0,5 und ^{6 = t . 0 .}

Verwende Dt ⁼ 5ms ^{. .}

Stelle den Prozess

grafisch

2 ^{. Ein Seil besitzt die}

Länge

0=1 ^{m . Am Seil wird ein}

schwerer

Gegenstand befestigt

dabei reißt ^{es , Die} Bruchstelle

× ^sei gleich verteilt ^{in [0/-1] .}

Man ist ^am Verhältnis ^{der beiden}

Seil fragmenten ^{× und l - X}

interessiert ^{R =}

¥×

F- ( ^{R )} per ^Simulation , ^{d. h ,}

Schätze ^diesen

Erwartungswert

E

klappt

?