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Klausurvorbereitungskurs Analysis I

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Academic year: 2022

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Klausurvorbereitungskurs Analysis I

Stetigkeit / Differenzierbarkeit

Tristan Alex (alex@mathematik.tu-darmstadt.de) Miroslav Vržina (vrzina@mathematik.tu-darmstadt.de)

Definitionen

• Folgenkriterium: für jedeFolge xn→x gilt f(xn)→ f(x).

• Unstetigkeit in x0: finde eine Folge xn → x0, so dass f(xn) nicht gegen f(x0) kon- vergiert.

• "-δ-Kriterium: ∀" >0∃δ >0 . . .

• Unstetigkeit: finde ein", zu dem es kein passendesδ gibt.

• Differenzenquotient für Differenzierbarkeit

• Gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit

Eigenschaften stetiger Funktionen

• f:I →Rstetig, I beschränkt und abgeschlossen⇒ f nimmt Max und Min an!

• f:I →Rstetig, I beschränkt und abgeschlossen⇒ f gleichmäßig stetig.

• Zwischenwertsatz

Eigenschaften differenzierbarer Funktionen

• Differenzierbar⇒stetig, nicht umgekehrt.

• Ableitung= beste lineare Approximation =Steigung.

• Mittelwertsatz

Sorten von Stetigkeit

• Lipschitz ⇒gleichmäßig⇒stetig.

• Ist f differenzierbar mit|f0(x)| beschränkt⇒ f Lipschitz.

• Häufiger Trick für gleichmäßige Stetigkeit: Ableitung außerhalb eines kompakten In- tervalls beschränkt.

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