x1 -Algebren und auere Mae De nition.

x1 -Algebren und auere Mae

Denition. Sei X eine Menge. Eine Teilmenge A der Potenzmenge P(X) heit Algebra, falls gilt:

(i) ; 2 A,

(ii) fur jede Menge A 2 A ist A^C = XnA 2 A, (iii) fur alle A1; A2 2 A ist A1[ A2 2 A.

A heit -Algebra, falls A eine Algebra ist und falls gilt (iv) fur alle Aj 2 A, j 2 N, ist S₁

j=1A_j 2 A.

Bemerkung. (1) Ist A eine Algebra, so liegen die Vereinigung und der Durch- schnitt endlich vieler Mengen aus A wieder in A.

(2) Ist A eine -Algebra, so liegen die Vereinigung und der Durchschnitt abzahl- bar vieler Mengen aus A wieder in A.

Beispiel. A = P(X) heit die diskrete -Algebra in X und A = fX; ;g ist die triviale -Algebra.

Proposition 1.1. Sei O P(X). Dann gibt es eine kleinste -Algebra AO in P(X), die alle Mengen aus O enthalt; AO heit auch die von O erzeugte - Algebra.

Beweis. Sei F die Familie aller -Algebren in X, die O enthalten. Es ist F 6= ;, da die diskrete -Algebra O enthalt. Wir denieren

A_O =\

fA : A 2 Fg:

Dann ist AO eine -Algebra: es gilt ; 2 AO, und aus A 2 AO folgt A^C 2 AO. Seien auerdem Aj 2 AO fur alle j 2 N. Dann ist Aj 2 A fur alle A 2 F und alle j 2 N, woraus S

jA_j 2 A fur alle A 2 F folgt. Also gilt auchS

jA_j 2 A_O. Oensichtlich ist AO auch die kleinste -Algebra mit O AO.

Denition. Sei O P(Rⁿ) die Menge aller oenen Mengen des Rⁿ. Dann heit Bn = B die kleinste -Algebra im Rⁿ, die O enthalt, die Borel--Algebra. Die Mengen in Bn heien auch Borel-Mengen.

Folgerung. (1) Jede oene und jede abgeschlossene Menge im Rⁿ liegt in B_n. Insbesondere wird B auch von der Menge aller abgeschlossenen Mengen des Rⁿ erzeugt.

(2) Jede Menge E vom Typ F, d.h.

E = [1 j=1

Fj; Fj Rⁿ abgeschlossen;

ist eine Borel-Menge. (Der Buchstabe "F\ steht fur "ferme\, franzosisch fur abgeschlosssen, der Buchstabe "\ fur "abzahlbar viele\.)

(3) Jede Menge E vom Typ G, d.h.

E =

\1 j=1

Gj; Gj Rⁿ oen;

ist eine Borel-Menge. (Der Buchstabe "G\ steht fur das deutsche Wort Gebiet, der Buchstabe "\ fur "Durchschnitt\.)

(4) Jedes halboene Intervall R = (a; b] = (a1; b1] (an; bn] mit a = (a₁; : : : ; a_n) 2 Rⁿ, b = (b₁; : : : ; b_n) 2 Rⁿ, a_j b_j, j = 1; : : : ; n, liegt in B.

Im Fall aj = bj fur ein j sei R = ;.

Denition. Sei R = R [ f 1g [ f+1g = [ 1; +1]. Als Rechenregel in R legen wir fest: fur alle c 2 R gelte

1 + c = 1; (1)c = (1)sgn c;

insbesondere gelte in der Matheorie immer 1 0 = 0:

(1) Sei A eine -Algebra auf einer Menge X. Eine Mengenfunktion : A ! R heit Ma, falls gilt:

(i) (;) = 0,

(ii) (A) 0 fur alle A 2 A,

(iii) (-Additivitat) Fur jede Folge paarweise disjunkter Mengen Aj 2 A, j 2 N, gilt

[¹

j=1

A_j

=X¹

j=1

(A_j):

In diesem Fall heit (X; A; ) ein Maraum.

(2) Eine Mengenfunktion : A ! [0; 1] heit -subadditiv, falls fur beliebige Mengen Aj 2 A, j 2 N, gilt

[¹

j=1

Aj

X1 j=1

(Aj):

Proposition 1.2. Sei (X; A; ) ein Maraum.

(1) Fur A; B 2 A mit A B gilt

(A) (B); (Monotonie)

(BnA) = (B) (A); falls (A) < 1:

(2) Fur A; B 2 A gilt

(A [ B) = (A) + (B) (A \ B); falls (A \ B) < 1:

(3) ist -subadditiv.

(4) Seien Mengen A_j 2 A, j 2 N gegeben.

(a) Falls A₁ A₂ ; gilt lim

j!1(A_j) = [¹

j=1

A_j (b) Falls A1 A2 und (A1) < 1; gilt lim

j!1(Aj) = \¹

j=1

Aj

:

Bemerkung. Wir erinnern an die folgenden Denitionen, die wir allerdings nicht benotigen werden:

lim sup

j!1 Aj =

\1 n=1

[1 j=n

Aj = fx 2 X : x liegt in abzahlbar vielen Ajg;

lim inf

j!1 A_j = [1 n=1

\1 j=n

A_j = fx 2 X : es gibt n 2 N; so dass x 2 A_j fur alle j ng:

Beweis von Prop. 1.2. Die Aussagen (1) und (2) folgen aus den trivialen Bezie- hungen

B = A _[ (BnA); (BnA) 0 und A [ B = A _[ (Bn(A \ B));

wobei " _[\ immer eine disjunkte Vereinigung bezeichnet. Die Aussage (3) kann mit Hilfe von (2) und der -Additivitat gezeigt werden, indem man S

A_j als paarweise disjunkte Vereinigung der Mengen

A₁ _[ _[

j2

A_jn [

1ij 1

A_i schreibt und die -Additivitat von benutzt.

Fur den Beweis der Aussage (4 a) sei B1 = A1 und Bn = AnnAn 1, n 2.

Dann ist A_n = B₁ _[ _[ Bn und es folgt (An) =

Xn j=1

(Bj) ^n!1! X1

j=1

(Bj) = _[

j

Bj

= [¹

n=1

An

:

Insbesondere ist hierbei der Fall S₁

n=1An

= 1 zugelassen.

Um die zweite Behauptung in (4) zu zeigen, denieren wir Cn = A1nAn fur alle n 2 N. Dann gilt, da (A_n) (A₁) < 1;

C1 C2 ; (Cn) = (A1) (An) und [

n

Cn = A1n \

n

An

:

Die vorherige Aussage liefert schlielich (A1) lim

n (An) = lim

n (Cn) = [

n

Cn

=

A1n\

n

An

= (A1) \

n

An

und damit auch die Behauptung (4 b).

Beispiel. (1) Sei A = f;; Xg die triviale -Algebra auf X und (;) = 0, (X) = 1. Dann ist ein Ma.

(2) Sei A die diskrete -Algebra auf X, d.h. A = P(X), und sei x 2 X fest gewahlt. Wir denieren

(A) =

(1; falls x 2 A;

0; falls x 62 A:

Dann ist ein Ma, das sog. Dirac-Ma (delta-Ma) = _x. (3) Sei X beliebig und sei

(A) =

(#A fur A endlich;

1 fur A unendlich

das "abzahlende Ma\ auf X; dabei ist #A = cardA 2 N [ f1g die Kar- dinalitat der Menge A X. Dann ist ein Ma auf A = P(X).

(4) Sei z.B. X = R, An= 0;_n¹

\ Q, n 2 N, und das abzahlende Ma auf X.

Dann ist (An) = 1. Auerdem gilt A₁ A₂ ; \

n

A_n = f0g und \

n

A_n

= 1:

Folglich erhalten wir

(A_n) 6 ! \

n

A_n :

Dies steht jedoch nicht im Widerspruch zu Proposition 1.2(4), da hier die Bedingung (A1) < 1 verletzt ist.

(5) Sei (X; A; ) ein Maraum und B 2 A fest gewahlt. Wir denieren A_B = fA \ B : A 2 Ag und _B = j_AB

durch _B(A \ B) = (A \ B) fur alle Mengen A 2 A. Dann ist B ein Ma auf AB.

Nun stellt sich die Frage, wie interessante Mae konstruiert werden konnen, z.B. als Fortsetzung des Jordan-Inhalts auf Rⁿ (siehe Riemann-Integral).

Denition. (1) Eine Mengenfunktion e : P(X) ! [0; 1] heit aueres Ma, falls gilt:

(i) _e(;) = 0, (ii) _e ist monoton, (iii) _e ist -subadditiv.

(2) Eine Uberdeckung U P(X) von X mit ; 2 U heit eine Uberdeckungs- klasse (sequential covering), falls es zu jedem E X eine Folge (U_j) U gibt mit E S₁

j=1Uj.

Wir werden in der folgenden Proposition zeigen, dass man sehr einfach aus einem elementaren Volumen- oder Mabegri ein aueres Ma auf P(X) erzeugen kann. Wesentlich schwieriger wird die Konstruktion einer geeigneten -Algebra zu einem gegebenem aueren Ma sein, s. Satz 2.1 von Caratheodory in x2.

Proposition 1.3. Sei U eine Uberdeckungsklasse von X und sei : U ! [0; 1]

eine Mengenfunktion mit (;) = 0. Dann ist e : P(X) ! [0; 1], deniert durch e(E) = infnX¹

j=1

(Uj) : Uj 2 U; E [1 j=1

Uj

o;

ein aueres Ma auf X mit der Eigenschaft

_e(U) (U) fur alle U 2 U:

Beweis. Oensichtlich gilt _e(E) 2 [0; 1] sowie _e(;) = 0, da ; 2 U und (;) = 0 ist. Auerdem ist e monoton und fur alle U 2 U gilt e(U) (U). Es bleibt nur die -Subadditivitat zu zeigen.

Seien dazu ohne Einschrankung Mengen En X mit e(En) < 1 gegeben (im Falle (E_j) = 1 fur ein j ist die Ungleichung S

jE_j

P

j(E_j) trivial).

Sei " > 0. Nach der Denition von e gibt es zu jedem j 2 N eine Folge von Mengen (U_jⁿ)j U mit

E_n[

j

U_jⁿ und X

j

(U_jⁿ) _e(E_n) + "

2ⁿ: Daraus folgt S

nEn S

n

S

jU_jⁿ und wir erhalten e

[

n

En

_Def:

X

n

X

j

(U_jⁿ) X

n

e(En) + "

2ⁿ

= " +X

n

e(En):

Da " > 0 beliebig gewahlt wurde, folgt nun die Behauptung.

Denition. Sei Rn die Menge aller halboenen beschrankten Rechtecke U = (a; b] = (a₁; b₁] (a_n; b_n] Rⁿ

und sei

(U) = vol_n(U) =Yⁿ

k=1

(b_k a_k); (;) = 0;

das klassische Volumen. Da R_n eine Uberdeckungsklasse von Rⁿ ist, denieren wir das auere Lebesgue-Ma auf Rⁿ durch

_e(E) = infn X

j

(U_j) : E [

j

U_j; U_j 2 R_no :

Bemerkung. Es stellt sich die Frage, warum man in obiger Denition halboe- ne Rechtecke gewahlt hat. Der wesentliche Grund ist die Tatsache, dass man ein halboenes Rechteck stets als paarweise disjunkte Vereinigung kleinerer halbof- fener Rechtecke schreiben kann (Verfeinerung einer Partition) und eine beliebige Menge im Rⁿ durch paarweise disjunkte halboene Rechtecke uberdecken kann.

Andererseits darf man ohne Weiteres statt der Uberdeckungsklasse R_n aus halboenen Rechtecken eine entsprechende Uberdeckungsklasse Rn aus abge- schlossenen beschrankten Rechtecken oder eine Uberdeckungsklasse R_n aus of- fenen beschrankten Rechtecken zur Denition des aueren Lebesgue-Maes ver- wenden. Zur Begrundung wahlen wir ; 6= U 2 Rn. Dann ndet man zu jedem

" > 0 endlich viele (sehr schmale) Rj 2 Rn mit @U S

jRj und Gesamtvolumen

P

j(R_j) < ". Deshalb besitzt @U das n-dimensionale Volumen (@U) = 0 im Sinne des Jordan-Inhalts, und man folgert aus der plausiblen Ungleichungskette

(U) (U) (U) = (U _[ @U) (U) + (@U) = (U) die Gleichung (U) = (U) = (U):

Beispiel. Sei f : R ! R monoton wachsend und rechtsseitig stetig, d.h., fur alle x 2 R gilt f(x) = f(x₊) = lim_y!x+f(y): Sei U die Uberdeckungsklasse

U = f(a; b) : 1 < a < b < 1g [ ; von R und

f(a; b) := f((a; b)) = f(b) f(a); f(;) = 0:

Wir denieren das auere Lebesgue-Stieltjes-Ma (erzeugt von f) durch _f;e(E) = infn X

j

_f(U_j) : E [

j

U_j; U_j 2 Uo : Dann ist

f;e((a; b]) = f(b) f(a);

da f in b rechtsseitig stetig ist. Dagegen gilt, falls f in b nicht linksseitig stetig ist, d.h., f(b ) < f(b),

_f;e((a; b)) = f(b ) f(a) < f(b) f(a) = _f(a; b):

Die echte Ungleichung _e(E) < (E) in Proposition 1.3 ist also moglich. Der Vollstandigkeit halber erwahnen wir noch

e;f(fbg) = f(b+) f(b ) = f(b) f(b );

einpunktige Mengen konnen also ein verschwindendes aueres Ma oder ein po- sitives aueres Ma haben.

Denition. ( Auere Hausdor-Mae auf Rⁿ) Fur " > 0 sei die Uberdeckungs- klasse U" des Rⁿ durch

U" =

E Rⁿ: diam E = sup

x;y2Ekx yk1< "

gegeben. Damit denieren wir fur > 0 die Mengenfunktion (E) = (diam E); (;) = 0;

sowie das auere Hausdor-Ma H;", " > 0, durch H;"(E) = infn X

j

(diam Ej) : E [

j

Ej; Ej 2 U"

o:

Es gilt H;" H;"⁰ fur "⁰ < ", da U"⁰ U" ist. Also kann man fur jedes E Rⁿ das auere Hausdor-Ma auf Rⁿ durch

H(E) = lim

"!0H;"(E) = sup

">0H;"(E) 2 [0; 1]

denieren.

Bemerkung. Deniert man U", H;" und H uber eine zu k k1 aquivalente Norm, erhalt man ein zu H "aquivalentes\ aueres Hausdor-Ma H^kk , d.h., es gibt Konstanten c1; c2 > 0 mit c1H^kk H c2H^kk .

Proposition 1.4. Fur jedes > 0 ist H ein aueres Ma auf Rⁿ und hat die folgenden Eigenschaften:

(1) Fur > n ist H 0.

(2) Aus H(E) < 1 folgt H(E) = 0 fur alle > , und aus H(E) > 0 folgt H(E) = 1 fur alle < .

(3) Fur E Rⁿ gilt Hn(E) = e(E), d.h., das auere Hausdor-Ma Hn ist gleich dem aueren Lebesgue-Ma auf dem Rⁿ.

Bemerkung. Zu E Rⁿ gibt es hochstens ein 2 (0; n] mit H(E) 2 (0; 1) (und folglich H(E) = 0 fur alle > ). Man deniert die Hausdor-Dimension dim_H einer Menge E Rⁿ durch

dimH(E) = inff > 0 : H(E) = 0g:

Beweis von Prop. 1.4. Wir zeigen nur die Eigenschaften (1)-(3), denn die Aussa- ge, dass H ein aueres Ma ist, ist trivial.

(1) Sei Q = [0; 1]ⁿ und " = ¹_k. Dann lasst sich Q durch (k + 1)ⁿ Wurfel Ej U_"

der Kantenlange kleiner als " = _k¹ uberdecken. Also ist H_;"(Q) (k + 1)ⁿ1

k

" ⁿ2ⁿ;

und es folgt H(Q) = lim"!0+H;"(Q) = 0, da > n ist. Oensichtlich gilt diese Aussage fur jeden achsenparallelen Wurfel mit Kantenlange 1.

Sei nun E Rⁿ beliebig. Dann gibt es abzahlbar viele Wurfel Qj der Kantenlange Eins mit E S

jQj. Die -Subadditivitat von H liefert in diesem Fall

H(E) H

[

j

Qj

X

j

H(Qj) = 0:

(2) Sei > und E S

jU_j mit U_j 2 U_". Dann gilt H_;"(E) X

j

(diam U_j) " X

j

(diam U_j): Da (U_j) U_" beliebig ist, erhalten wir

H;"(E) " H;"(E) " H(E):

Da H(E) < 1 beschrankt ist, folgt H(E) = 0.

(3) Ohne Einschrankung seien Hn(E) < 1 und e(E) < 1.

Wir zeigen zuerst Hn(E) e(E). Zu " > 0 gibt es halboene Rechtecke R_j 2 R_n mit

e(E) X

j

voln(Rj) ":

Jedes Rechteck Rj werde zerlegt in endlich viele disjunkte halboene Teil- wurfel Ujk der Kantenlange kleiner als " mit

Ujk 2 U"; Rj _[

k

Ujk; und X

k

voln(Ujk) voln(Rj) + "

2^j; j 2 N:

Daraus folgt

_e(E) X

j;k

vol_n(U_jk) 2" =X

j;k

(diam U_jk)ⁿ 2":

Da Ujk in U" liegt, erhalten wir Hn;"(E) X

j;k

(diam Ujk)ⁿ e(E) + 2":

Der Grenzubergang " ! 0 liefert nun die gewunschte Ungleichung.

Um e(E) Hn(E) zu zeigen, sei " > 0. Dann gibt es Ej 2 U", so dass E [

j

E_j und H_n;"(E) X

j

(diam E_j)ⁿ "

gilt. Ohne Einschrankung seien alle Ej halboene Wurfel der Kantenlange diam E_j, also E_j 2 R_n; tatsachlich gibt es zu jedem Ej mit diam E_j < "

einen halboenen Wurfel in U", der Ej enthalt. Wir erhalten e(E) X

j

volnEj =X

j

(diam Ej)ⁿ Hn;"(E) + ";

woraus nach dem Grenzubergang " ! 0 die Behauptung folgt.

Proposition 1.5. Seien E; F 2 Rⁿ mit

dist (E; F ) = inffkx yk : x 2 E; y 2 F g = > 0 gegeben. Dann gilt fur jedes > 0

H(E [ F ) = H(E) + H(F ):

Beweis. Wir mussen nur die Ungleichung "\ zeigen. Ohne Einschrankung sei H(E [ F ) < 1. Sei " < ₂. Dann gibt es Wurfel Q¹_j; Q²_k 2 U_" mit Q¹_j \ Q²_k = ; fur alle j; k und mit

E [

j

Q¹_j; F [

k

Q²_k; H;"(E [ F ) X

j

(diam Q¹_j)+X

k

(diam Q²_k) ":

Daraus folgt nach Denition von H_;"(E) und H_;"(F ) H;"(E [ F ) X

j

(diam Q¹_j)+X

k

(diam Q²_k) " H;"(E) + H;"(F ) ":

Der Grenzubergang " ! 0 liefert nun die Behauptung.