L osungsvorschlag Theoretische Physik A ¨ Zw¨ olftes ¨ Ubungsblatt
Prof. Dr. Sch¨ on und Dr. Eschrig
Wintersemester 2004/2005
Aufgab e 42 4 Punkte
a.)
Wir betrachten zur besseren ¨Ubersicht folgende Zeichnung:
2 Punkte
F¨ur das Volumenelement ergibt sich:
dV = dr·rdϑ·rsinϑdϕ=r2sinϑdrdϑdϕ
b.)
Das Volumen der Kugel ergibt sich durch Integration ¨uberr∈[0;R], ϕ∈[0; 2π] undϑ∈[0;π]:
V = Z Z Z
r<R
r2sinϑdrdϑdϕ=
2π
Z
0
dϕ
π
Z
0
sinϑdϑ
R
Z
0
r2dr= 2π·[−cosϑ]π0· r3 3
¯
¯
¯
¯
R
0
=
= 2π·2·R3 3 = 4
3πR3
2 Punkte
Aufgabe 43 11 Punkte
a.)
Wir erhalten das Gravitationspotential durch die angegebene Integration in Kugelkoordinaten:
U(~r) =−G̺·
Z 1
|~r−~r′|d3~r′=−G̺
R
Z
0 π
Z
0 2π
Z
0
r′2sinϑ′
√r2+r′2−2rr′cosϑ′dϕ′dϑ′dr′ 1 Punkt
Dies gilt, da
|~r−~r′|=p
(~r−~r′)·(~r−~r′) =p
r2+r′2−2~r·~r′ =p
r2+r′2−2rr′cosϑ′
wobeiϑ′der Winkel zwischen~rund~r′ist. Zur Berechnung des Integrals machen wir die Substitution cosϑ′ =u,
−sinϑ′dϑ′ = du:
U(~r) =−2π̺G·
+1
Z
−1
du
R
Z
0
dr′ r′2
√r2+r′2−2rr′u=
=−2π̺G
R
Z
0
dr′ r′2 rr′ ·hp
r2+r′2+ 2rr′−p
r2+r′2−2rr′i
=
=−2π̺G
R
Z
0
dr′r′
r ·(|r+r′| − |r−r′|)
2 Punkte
Da im Außenraum der Kugelr > R gilt, ist immerr > r′, also |r+r′| − |r−r′|=r+r′−(r−r′) = 2r′ und somit folgt weiter:
U(~r) =U(r) =−2π̺G r
R
Z
0
dr′r′2= −4
3πR3·̺·G
r 1 Punkt
Mit der Masse der KugelM =̺·43πR3k¨onnen wir dies alsU(r) =−G·Mr schreiben. Das heißt, das Potential ist dasselbe wie das einer Punktmasse beir= 0 mitM =̺·V.
b.)
Wir berechnen nun das Potential im Innern der Kugel. Das Integral muss dazu in zwei Anteile aufgespalten werden, n¨amlich in einen mit 0< r′ < rund einen zweiten mitr < r′< R. Zuerst bedenken wir:
a.) 0< r′< r:|r+r′| − |r−r′|=r+r′−(r−r′) = 2r′ 0,5 Punkte b.) r < r′ < R:|r+r′| − |r−r′|=r+r′+ (r−r′) = 2r 0,5 Punkte Damit ergibt sich also:
U(r) =−2π̺G
r
Z
0
dr′r′
r ·(r+r′−r+r′) +
R
Z
r
dr′r′
r ·(r+r′−r′+r)
=
=−4π̺G
r
Z
0
dr′r′2 r +
R
Z
r
dr′r′
=−4π̺G
·r2
3 +R2−r2 2
¸
= −2π̺GR2+2π̺Gr2 3
2 Punkte
c.)
Das gesamte Gravitationspotential sieht also folgendermaßen aus:
1 Punkt
2
d.)
Die Kraft, die ein sich im Gravitationspotential U(r) befindender K¨orper der Masse m0 erf¨ahrt, ergibt sich durch Bildung des Gradienten des Potentials, alsoF~ =−m0∇~U(r). Wir unterscheiden zwei F¨alle:
1.) K¨orper der Masse m0befindet sich außerhalb der Kugel: r > R F~ =4
3πR3̺Gm0∇~ µ1
r
¶
=−4
3πR3̺Gm0·~er
r2 =−M m0G~er
r2 1 Punkt
2.) K¨orper der Masse m0befindet sich innerhalb der Kugel:r < R F~ =−2π̺Gm0
3 ∇~(r2) =−4
3π̺Gm0r~er 1 Punkt
e.)
F¨ur den zweiten Fall, also r < R, k¨onnen wirF~ noch weiter umformen:
F~ =−4
3πr3̺Gm0
~er
r2 =−MrGm0·~er
r2 =−Mrm0G·~er
r2 1 Punkt
Mr= 43πr3̺ist hierbei die Masse einer Kugel vom Radiusrund −MrG
r das Potential einer PunktmasseMr
am Ursprung. Die restliche Masse f¨ur r > r′ tr¨agt nicht zur GravitationskraftF~ bei und verh¨alt sich also so, als bef¨ande sie sich im Unendlichen.
3
