a) Berechnen Sie die KraftF⃗ auf die Probeladungqals Funktion des Ab- standsz

Prof. Dr. M. Wegener / Priv.-Doz. Dr. A. Naber

Ubungen zur Klassischen Experimentalphysik II (Elektrodynamik), SS 2015¨

UBUNGSAUFGABEN (III)¨ (Besprechung am Mittwoch, 6.5.15)

Aufgabe 1: (3 Punkte)

Gegeben sei ein homogenes elektrisches Feld E⃗ = (Ex, Ey, Ez) im Vakuum. Berechnen Sie das Integral!

AD d⃗ A⃗ uber die geschlossene Oberfl¨ache¨ Aeines W¨urfels mit der Kantenl¨angeL, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt und dessen Kanten entlang den Raum- richtungen x,y und z verlaufen. Wie ¨andert sich das Ergebnis, wenn ¨uber die nicht geschlossene Oberfl¨ache des halben W¨urfels (oberhalb der x-y-Ebene) integriert wird?

Aufgabe 2: (4 Punkte)

Eine Probeladungq bewegt sich entlang der Symmetriachse einer d¨unnen geladenen Kreisscheibe konstanter Fl¨achenladungsdichteσ =Q/(πR²) im Abstandzvon deren Mittelpunkt (vgl. Skizze).

a) Berechnen Sie die KraftF⃗ auf die Probeladungqals Funktion des Ab- standsz. Zerlegen Sie hierzu die KreisscheibeAin geeignete Fl¨achen- elemente dA und integrieren Sie die Kr¨afte dF⃗ der infinitesmalen Ladungsbeitr¨age dQ = σ dA auf die Probeladung. Nutzen Sie die Symmetrie der Anordnung zur Bestimmung der Richtung von dF⃗. b) N¨ahern Sie das Ergebnis f¨ur die beiden Grenzf¨allez≪R undz≫R

und interpretieren Sie die Resultate.

R q

z

!

Hinweis: Das auftretene Integral d¨urfen Sie

”nachschlagen“.¹

Aufgabe 3: (4 Punkte)

x y

z

-q2

q1

0 d

Eine elegante Methode zur L¨osung elektrostatischer Probleme be- ruht auf sogenanntenSpiegelladungen. Zur Ableitung des Prinzips betrachte man zwei ungleichnamige Punktladungen q1 und −q2, die auf der x-Achse bei x = 0 und bei x = d liegen und das elektrische Potential

Φ(⃗r) = 1 4πε0

"

q1

#x²+y²+z² − q2

#(x−d)²+y²+z²

$

erzeugen. F¨ur die Betr¨age der Ladungen gelte q2 > q1 >0.

a) Zeigen Sie, dass die ¨Aquipotentialfl¨ache mit Φ= 0 eine Kugeloberfl¨ache darstellt, und be- rechnen Sie Mittelpunkt P und RadiusR der Fl¨ache als Funktion von q1,q2 und d.

b) Begr¨unden Sie ausf¨uhrlich, warum das Potential Φ(⃗r) f¨ur |⃗r|≥R unge¨andert bleibt, wenn q1 durch eine geerdete, leitende Kugel mit RadiusR und Mittelpunkt in P ersetzt wird.

Folgerung: Die von einer Punktladung in eine leitende Kugelfl¨ache mit RadiusRinduzierte Ober- fl¨achenladungσ kann durch eine (virtuelle) Spiegelladung repr¨asentiert werden. Die ebene Leiter- fl¨ache ist ein Spezialfall (R→ ∞).

1z.B. beihttp://integrals.wolfram.com

Aufgabe 4: (4 Punkte)

r1 r2

L

Ein Koaxialkabel der L¨ange l bestehe aus einem leiten- den Vollzylinder mit Radius r1 und einem hiervon isolier- ten, koaxial angeordneten Hohlzylinder vernachl¨assigbarer Wandst¨arke mit Radius r2 > r1. Zwischen Innen- und Au- ßenleiter liege die Gleichspannung U an, der Außenleiter sei geerdet. Berechnen Sie die Kapazit¨at C des Kabels pro L¨angeneinheitLf¨url≫r2. Was ¨andert sich, wenn statt des Außenleiters der Innenleiter geerdet wird?

Anleitung: Verwenden Sie die 1. Maxwellsche Gleichung f¨ur den Grenzfall l → ∞ zur Ableitung des elektrischen Felds E.⃗

Zahlenwerte: r1= 0.5 mm, r2 = 2.5 mm,L= 1 m.