www.strobl-f.de/uebw10.pdf
Ubungsaufgaben weitere Themen (alter LP) ¨ W
Nahtstellen 10
1. Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) =
(
− x
2+ 6x − 7 f¨ur x ≤ 2
2
x
f¨ur x > 2
Pr¨ufen Sie die Differenzierbarkeit an der Nahtstelle und bestimmen Sie gegebenenfalls
den Knickwinkel!
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L¨osungen weitere Themen (alter LP) W
Nahtstellen 10
1.
Auch wenn nur die Differenzierbarkeit zu untersu- chen ist, muss bei Anwendung des Schemas aus grundw10.pdf trotzdem zuerst die Stetigkeit gepr¨uft werden (denn w¨are die Funktion unstetig, so w¨are sie automatisch nicht differenzierbar).
Die Funktion ist stetig, denn f (2) = 1, lim
x→2−0
= 1, lim
x→2+0
= 1.
(f¨ur2−0obere Zeile des gegebenen Funktionsterms, f¨ur2 + 0untere Zeile).
Pr¨ufung der Diffbarkeit:
f
0(x) =
(
− 2x + 6 f¨ur x < 2
− 2x
−2f¨ur x > 2
x→2−0
lim f
0(x) = 2, lim
x→2+0
f
0(x) = −
12. Die Funktion ist an x
0= 2 nicht diffbar.
Da an der Stellex0= 2keine eindeutige Steigung vor- liegt, kann an dieser Stelle auch die Ableitungf0(x) nicht definiert werden; daher steht oben bewusst nur
”f¨urx <2“ und nicht
”f¨urx≤2“.