Eﬃziente Algorithmen (SS2014) Kapitel 2 Flüsse Walter Unger

(1)

Kapitel 2 Flüsse

Walter Unger

Lehrstuhl für Informatik 1

(2)

Dinitz mit Propagation Spezielle Flüsse Mit Kostenfunktion

(2:2.3) <> Walter Unger 17.1.2015 17:50 SS2014 Z

Inhalt I

1

Dinitz mit Propagation Einleitung

Algorithmus und Beispiel Weiteres Beispiel Laufzeit

2

Spezielle Flüsse Mit Mindestfluss

Mit Alternativen

3

Mit Kostenfunktion Einleitung Idee Algorithmus

Verbesserung der Laufzeit

(3)

Situation

Die Berechnung des Sperrflusses auf einem Niveaunetzwerk Ziel: Suche besseren Algorithmus zur Sperrflussberechnung.

Idee: Fülle einen Knoten mit Fluss aus.

D.h. suche den Knoten v , der am wenigsten Fluss f

v

weiterleiten kann.

Propagiere dann diesen Fluss f

v

von v nach s und nach t.

D.h. mache: Forward-Backward-Propagation.

(4)

Einleitung (2:1.2) <> Walter Unger 17.1.2015 17:50 SS2014 Z

Situation

Die Berechnung des Sperrflusses auf einem Niveaunetzwerk Ziel: Suche besseren Algorithmus zur Sperrflussberechnung.

Idee: Fülle einen Knoten mit Fluss aus.

D.h. suche den Knoten v , der am wenigsten Fluss f

v

weiterleiten kann.

Propagiere dann diesen Fluss f

v

von v nach s und nach t.

D.h. mache: Forward-Backward-Propagation.

Im folgenden wird nur diese neue Sperrflussberechnung angegeben.

(5)

Situation

Die Berechnung des Sperrflusses auf einem Niveaunetzwerk Ziel: Suche besseren Algorithmus zur Sperrflussberechnung.

Idee: Fülle einen Knoten mit Fluss aus.

D.h. suche den Knoten v , der am wenigsten Fluss f

v

weiterleiten kann.

Propagiere dann diesen Fluss f

v

von v nach s und nach t.

D.h. mache: Forward-Backward-Propagation.

(6)

Situation

Die Berechnung des Sperrflusses auf einem Niveaunetzwerk Ziel: Suche besseren Algorithmus zur Sperrflussberechnung.

Idee: Fülle einen Knoten mit Fluss aus.

D.h. suche den Knoten v , der am wenigsten Fluss f

v

weiterleiten kann.

Propagiere dann diesen Fluss f

v

von v nach s und nach t.

D.h. mache: Forward-Backward-Propagation.

Im folgenden wird nur diese neue Sperrflussberechnung angegeben.

(7)

Situation

Die Berechnung des Sperrflusses auf einem Niveaunetzwerk Ziel: Suche besseren Algorithmus zur Sperrflussberechnung.

Idee: Fülle einen Knoten mit Fluss aus.

D.h. suche den Knoten v , der am wenigsten Fluss f

v

weiterleiten kann.

Propagiere dann diesen Fluss f

v

von v nach s und nach t.

D.h. mache: Forward-Backward-Propagation.

(8)

Situation

Die Berechnung des Sperrflusses auf einem Niveaunetzwerk Ziel: Suche besseren Algorithmus zur Sperrflussberechnung.

Idee: Fülle einen Knoten mit Fluss aus.

D.h. suche den Knoten v , der am wenigsten Fluss f

v

weiterleiten kann.

Propagiere dann diesen Fluss f

v

von v nach s und nach t.

D.h. mache: Forward-Backward-Propagation.

Im folgenden wird nur diese neue Sperrflussberechnung angegeben.

(9)

Situation

Die Berechnung des Sperrflusses auf einem Niveaunetzwerk Ziel: Suche besseren Algorithmus zur Sperrflussberechnung.

Idee: Fülle einen Knoten mit Fluss aus.

D.h. suche den Knoten v , der am wenigsten Fluss f

v

weiterleiten kann.

Propagiere dann diesen Fluss f

v

von v nach s und nach t.

D.h. mache: Forward-Backward-Propagation.

(10)

Situation

Die Berechnung des Sperrflusses auf einem Niveaunetzwerk Ziel: Suche besseren Algorithmus zur Sperrflussberechnung.

Idee: Fülle einen Knoten mit Fluss aus.

D.h. suche den Knoten v , der am wenigsten Fluss f

v

weiterleiten kann.

Propagiere dann diesen Fluss f

v

von v nach s und nach t.

D.h. mache: Forward-Backward-Propagation.

Im folgenden wird nur diese neue Sperrflussberechnung angegeben.

(11)

Definitionen

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

N

in

(v ) = {(w , v ) | (w , v ) ∈ E

_f⁰

}.

N

out

(v ) = {(v , w ) | (v , w ) ∈ E

_f⁰

}.

pot(e) = rest

f

(e) ist das Potential einer Kante e.

pot(v ) = min{ P

e∈N_in(v)

pot(e), P

e∈N_out(v)

pot(e)} ist das Potential eines

Knoten v .

(12)

Definitionen

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

N

in

(v ) = {(w , v ) | (w , v ) ∈ E

_f⁰

}.

N

out

(v ) = {(v , w ) | (v , w ) ∈ E

_f⁰

}.

pot(e) = rest

f

(e) ist das Potential einer Kante e.

pot(v ) = min{ P

e∈N_in(v)

pot(e), P

e∈N_out(v)

pot(e)} ist das Potential eines

Knoten v .

(13)

Definitionen

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

N

in

(v ) = {(w , v ) | (w , v ) ∈ E

_f⁰

}.

N

out

(v ) = {(v , w ) | (v , w ) ∈ E

_f⁰

}.

pot(e) = rest

f

(e) ist das Potential einer Kante e.

pot(v ) = min{ P

e∈N_in(v)

pot(e), P

e∈N_out(v)

pot(e)} ist das Potential eines

Knoten v .

(14)

Definitionen

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

N

in

(v ) = {(w , v ) | (w , v ) ∈ E

_f⁰

}.

N

out

(v ) = {(v , w ) | (v , w ) ∈ E

_f⁰

}.

pot(e) = rest

f

(e) ist das Potential einer Kante e.

pot(v ) = min{ P

e∈N_in(v)

pot(e), P

e∈N_out(v)

pot(e)} ist das Potential eines

Knoten v .

(15)

Definitionen

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

N

in

(v ) = {(w , v ) | (w , v ) ∈ E

_f⁰

}.

N

out

(v ) = {(v , w ) | (v , w ) ∈ E

_f⁰

}.

pot(e) = rest

f

(e) ist das Potential einer Kante e.

pot(v ) = min{ P

e∈N_in(v)

pot(e), P

e∈N_out(v)

pot(e)} ist das Potential eines

Knoten v .

(16)

Definitionen

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

N

in

(v ) = {(w , v ) | (w , v ) ∈ E

_f⁰

}.

N

out

(v ) = {(v , w ) | (v , w ) ∈ E

_f⁰

}.

pot(e) = rest

f

(e) ist das Potential einer Kante e.

pot(v ) = min{ P

e∈N_in(v)

pot(e), P

e∈N_out(v)

pot(e)} ist das Potential eines

Knoten v .

(17)

Idee (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Lege auf v einen Überschuss von pot(v ), d.h. Setze U(v ) = pot(v ).

4

Setze U(w ) = 0 für alle Knoten w ∈ V \ {v }.

5

Solange es einen Knoten v

⁰

gibt mit U(v

⁰

) > 0, verschiebe den Überfluss auf die Nachfolger aus N

out

(v

⁰

).

6

Verwende, um gute Laufzeit zu erreichen, dazu eine Schlange.

(18)

Algorithmus und Beispiel (2:3.2) <> Walter Unger 17.1.2015 17:50 SS2014 Z

Idee (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Lege auf v einen Überschuss von pot(v ), d.h. Setze U(v ) = pot(v ).

4

Setze U(w ) = 0 für alle Knoten w ∈ V \ {v }.

5

Solange es einen Knoten v

⁰

gibt mit U(v

⁰

) > 0, verschiebe den Überfluss auf die Nachfolger aus N

out

(v

⁰

).

6

Verwende, um gute Laufzeit zu erreichen, dazu eine Schlange.

(19)

Idee (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Lege auf v einen Überschuss von pot(v ), d.h. Setze U(v ) = pot(v ).

4

Setze U(w ) = 0 für alle Knoten w ∈ V \ {v }.

5

Solange es einen Knoten v

⁰

gibt mit U(v

⁰

) > 0, verschiebe den Überfluss auf die Nachfolger aus N

out

(v

⁰

).

6

Verwende, um gute Laufzeit zu erreichen, dazu eine Schlange.

(20)

Idee (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Lege auf v einen Überschuss von pot(v ), d.h. Setze U(v ) = pot(v ).

4

Setze U(w ) = 0 für alle Knoten w ∈ V \ {v }.

5

Solange es einen Knoten v

⁰

gibt mit U(v

⁰

) > 0, verschiebe den Überfluss auf die Nachfolger aus N

out

(v

⁰

).

6

Verwende, um gute Laufzeit zu erreichen, dazu eine Schlange.

(21)

Idee (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Lege auf v einen Überschuss von pot(v ), d.h. Setze U(v ) = pot(v ).

4

Setze U(w ) = 0 für alle Knoten w ∈ V \ {v }.

5

Solange es einen Knoten v

⁰

gibt mit U(v

⁰

) > 0, verschiebe den Überfluss auf die Nachfolger aus N

out

(v

⁰

).

6

Verwende, um gute Laufzeit zu erreichen, dazu eine Schlange.

(22)

Idee (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Lege auf v einen Überschuss von pot(v ), d.h. Setze U(v ) = pot(v ).

4

Setze U(w ) = 0 für alle Knoten w ∈ V \ {v }.

5

Solange es einen Knoten v

⁰

gibt mit U(v

⁰

) > 0, verschiebe den Überfluss auf die Nachfolger aus N

out

(v

⁰

).

6

Verwende, um gute Laufzeit zu erreichen, dazu eine Schlange.

(23)

Idee (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Lege auf v einen Überschuss von pot(v ), d.h. Setze U(v ) = pot(v ).

4

Setze U(w ) = 0 für alle Knoten w ∈ V \ {v }.

5

Solange es einen Knoten v

⁰

gibt mit U(v

⁰

) > 0, verschiebe den Überfluss auf die Nachfolger aus N

out

(v

⁰

).

6

Verwende, um gute Laufzeit zu erreichen, dazu eine Schlange.

(24)

Algorithmus (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Setze U(v ) = pot(v ) und ∀w ∈ V \ {v } setze U(w ) = 0.

4

Enqueue(v, Q).

5

Solange Q nicht leer ist, mache:

1

v = Dequeue(Q).

2

Solange U(v ) > 0 mache:

1

Für jedes e = (v , w ) ∈ V

out

(v ):

2

f

⁰⁰

(e) = min{pot(e), U(v )}

3

U(v) = U(v ) − f

⁰⁰

(e)

U(w ) = U(w ) + f

⁰⁰

(e)

(25)

Algorithmus (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Setze U(v ) = pot(v ) und ∀w ∈ V \ {v } setze U(w ) = 0.

4

Enqueue(v, Q).

5

Solange Q nicht leer ist, mache:

1

v = Dequeue(Q).

2

Solange U(v ) > 0 mache:

(26)

Algorithmus (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Setze U(v ) = pot(v ) und ∀w ∈ V \ {v } setze U(w ) = 0.

4

Enqueue(v, Q).

5

Solange Q nicht leer ist, mache:

1

v = Dequeue(Q).

2

Solange U(v ) > 0 mache:

1

Für jedes e = (v , w ) ∈ V

out

(v ):

2

f

⁰⁰

(e) = min{pot(e), U(v )}

3

U(v) = U(v ) − f

⁰⁰

(e)

U(w ) = U(w ) + f

⁰⁰

(e)

(27)

Algorithmus (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Setze U(v ) = pot(v ) und ∀w ∈ V \ {v } setze U(w ) = 0.

4

Enqueue(v, Q).

5

Solange Q nicht leer ist, mache:

1

v = Dequeue(Q).

2

Solange U(v ) > 0 mache:

(28)

Algorithmus (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Setze U(v ) = pot(v ) und ∀w ∈ V \ {v } setze U(w ) = 0.

4

Enqueue(v, Q).

5

Solange Q nicht leer ist, mache:

1

v = Dequeue(Q).

2

Solange U(v ) > 0 mache:

1

Für jedes e = (v , w ) ∈ V

out

(v ):

2

f

⁰⁰

(e) = min{pot(e), U(v )}

3

U(v) = U(v ) − f

⁰⁰

(e)

U(w ) = U(w ) + f

⁰⁰

(e)

(29)

Algorithmus (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Setze U(v ) = pot(v ) und ∀w ∈ V \ {v } setze U(w ) = 0.

4

Enqueue(v, Q).

5

Solange Q nicht leer ist, mache:

1

v = Dequeue(Q).

2

Solange U(v ) > 0 mache:

(30)

Algorithmus (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Setze U(v ) = pot(v ) und ∀w ∈ V \ {v } setze U(w ) = 0.

4

Enqueue(v, Q).

5

Solange Q nicht leer ist, mache:

1

v = Dequeue(Q).

2

Solange U(v ) > 0 mache:

1

Für jedes e = (v , w ) ∈ V

out

(v ):

2

f

⁰⁰

(e) = min{pot(e), U(v )}

3

U(v) = U(v ) − f

⁰⁰

(e)

U(w ) = U(w ) + f

⁰⁰

(e)

(31)

Algorithmus (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Setze U(v ) = pot(v ) und ∀w ∈ V \ {v } setze U(w ) = 0.

4

Enqueue(v, Q).

5

Solange Q nicht leer ist, mache:

1

v = Dequeue(Q).

2

Solange U(v ) > 0 mache:

(32)

Algorithmus (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Setze U(v ) = pot(v ) und ∀w ∈ V \ {v } setze U(w ) = 0.

4

Enqueue(v, Q).

5

Solange Q nicht leer ist, mache:

1

v = Dequeue(Q).

2

Solange U(v ) > 0 mache:

1

Für jedes e = (v , w ) ∈ V

out

(v ):

2

f

⁰⁰

(e) = min{pot(e), U(v )}

3

U(v) = U(v ) − f

⁰⁰

(e)

U(w ) = U(w ) + f

⁰⁰

(e)

(33)

Algorithmus (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Setze U(v ) = pot(v ) und ∀w ∈ V \ {v } setze U(w ) = 0.

4

Enqueue(v, Q).

5

Solange Q nicht leer ist, mache:

1

v = Dequeue(Q).

2

Solange U(v ) > 0 mache:

(34)

Algorithmus (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Setze U(v ) = pot(v ) und ∀w ∈ V \ {v } setze U(w ) = 0.

4

Enqueue(v, Q).

5

Solange Q nicht leer ist, mache:

1

v = Dequeue(Q).

2

Solange U(v ) > 0 mache:

1

Für jedes e = (v , w ) ∈ V

out

(v ):

2

f

⁰⁰

(e) = min{pot(e), U(v )}

3

U(v) = U(v ) − f

⁰⁰

(e)

U(w ) = U(w ) + f

⁰⁰

(e)

(35)

Algorithmus (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Setze U(v ) = pot(v ) und ∀w ∈ V \ {v } setze U(w ) = 0.

4

Enqueue(v, Q).

5

Solange Q nicht leer ist, mache:

1

v = Dequeue(Q).

2

Solange U(v ) > 0 mache:

(36)

Algorithmus (Forward Propagation)

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Bestimme v ∈ V mit: pot(v ) > 0 und ∀w ∈ V : pot(v ) 6 pot(w).

3

Setze U(v ) = pot(v ) und ∀w ∈ V \ {v } setze U(w ) = 0.

4

Enqueue(v, Q).

5

Solange Q nicht leer ist, mache:

1

v = Dequeue(Q).

2

Solange U(v ) > 0 mache:

1

Für jedes e = (v , w ) ∈ V

out

(v ):

2

f

⁰⁰

(e) = min{pot(e), U(v )}

3

U(v) = U(v ) − f

⁰⁰

(e)

U(w ) = U(w ) + f

⁰⁰

(e)

(37)

kleines Beispiel (Dinitz)

s

a b c

d e f t

6 5

6 5 6 4

6 5

6 5 6 4 6 5 6 5

6 3 6 3 6 2 6 1 6

1

(38)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1a)

s d

a

e b

f c

t 6 5

6 5

6 5 6 1

6 4 6 1 6 5

6 1 6 5 6 1 6 4

6 5 6 5

6 5

(39)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1a)

s d

a

e b

f c

t 6 5

6 5 6 4

6 1 6 5

6 5 6 1 6 4

6 5

(40)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1a)

s d

a

e b

f c

t 6 5

6 5

6 3 6 1

6 4 6 1 6 5

6 5 6 1 6 5 6 1 6 4

6 5 3 6 5

6 5

(41)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1a)

s d

a

e b

f c

t 6 5

6 5

6 6 4 6 1 6 5

6 6 5

6 1 6 4

5 6 5

6 5

(42)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1a)

s d

a

e b

f c

t 6 5

6 5

3 6

5 6 1

6 4 6 1 6 5

6 1 6 5 6 1 6 4

3 6 5 6 5

6 5

(43)

Iterierte Propagation

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Solange kein Sperrfluss berechnet ist, wiederhole:

1

Führe eine Propagationsphase aus.

2

Solange es saturierte Kanten und Knoten gibt, entferne diese.

Lemma (Anzahl der Iterationen)

Nach spätestens n − 1 Propagationsphasen ist in dem Niveaunetzwerk ein

(44)

Iterierte Propagation

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Solange kein Sperrfluss berechnet ist, wiederhole:

1

Führe eine Propagationsphase aus.

2

Solange es saturierte Kanten und Knoten gibt, entferne diese.

Lemma (Anzahl der Iterationen)

Nach spätestens n − 1 Propagationsphasen ist in dem Niveaunetzwerk ein Sperrfluss bestimmt.

Beweis: In jeder Iteration wird mindestens ein Knoten saturiert.

(45)

Iterierte Propagation

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Solange kein Sperrfluss berechnet ist, wiederhole:

1

Führe eine Propagationsphase aus.

2

Solange es saturierte Kanten und Knoten gibt, entferne diese.

Lemma (Anzahl der Iterationen)

Nach spätestens n − 1 Propagationsphasen ist in dem Niveaunetzwerk ein

(46)

Iterierte Propagation

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Solange kein Sperrfluss berechnet ist, wiederhole:

1

Führe eine Propagationsphase aus.

2

Solange es saturierte Kanten und Knoten gibt, entferne diese.

Lemma (Anzahl der Iterationen)

Nach spätestens n − 1 Propagationsphasen ist in dem Niveaunetzwerk ein Sperrfluss bestimmt.

Beweis: In jeder Iteration wird mindestens ein Knoten saturiert.

(47)

Iterierte Propagation

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Solange kein Sperrfluss berechnet ist, wiederhole:

1

Führe eine Propagationsphase aus.

2

Solange es saturierte Kanten und Knoten gibt, entferne diese.

Lemma (Anzahl der Iterationen)

Nach spätestens n − 1 Propagationsphasen ist in dem Niveaunetzwerk ein

(48)

Iterierte Propagation

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Solange kein Sperrfluss berechnet ist, wiederhole:

1

Führe eine Propagationsphase aus.

2

Solange es saturierte Kanten und Knoten gibt, entferne diese.

Lemma (Anzahl der Iterationen)

Nach spätestens n − 1 Propagationsphasen ist in dem Niveaunetzwerk ein Sperrfluss bestimmt.

Beweis: In jeder Iteration wird mindestens ein Knoten saturiert.

(49)

Iterierte Propagation

1

Sei G

_f⁰

= (V , E

_f⁰

, s , t, c

⁰

) ein Niveaunetzwerk.

2

Solange kein Sperrfluss berechnet ist, wiederhole:

1

Führe eine Propagationsphase aus.

2

Solange es saturierte Kanten und Knoten gibt, entferne diese.

Lemma (Anzahl der Iterationen)

Nach spätestens n − 1 Propagationsphasen ist in dem Niveaunetzwerk ein

(50)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1b)

s d

a

e b

f c

t 6 5

6 5

3 6

5 6 1

6 4 6 1 6 5

6 1 6 5 6 1 6 4

3 6 5 6 5

6 5

(51)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1b)

s d

a

e b

f c

t 6 5

6 5

3 6 4 6 1 6 5

6 5 6 1 6 4

6 5

(52)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1b)

s d

a

e b

f c

t 6 5

6 5

3 6

5 6 1

6 4 6 1 6 5

6 1 6 5 6 1 6 4

3 6 5 1 6 5

6 5

(53)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1b)

s d

a

e b

f c

t 6 5

1 6 5

3 1 6 4 6 1 6 5

6 5 6 1 6 4

6 5

(54)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1b)

s d

a

e b

f c

t 6 5

1 6 5

3 6

5 6 1

1 6 4 6 1 6 5

1 6 1 6 5

6 1 6 4

4 6 5 6 5

6 5

(55)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1c)

s d

a

e b

f c

t 6 5

1 6 5

3 1 6 4 6 1 6 5

6 5 6 1 6 4

6 5

(56)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1c)

s d

a

e b

f c

t 6 5

1 6 5

3 6

5 6 1

1 6 4 6 1 6 5

1 6 1 6 5

6 1 6 4

4 6 5 6 5

6 5

(57)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1c)

s d

a

e b

f c

t 6 5

1 6 5

3 1 6 4 6 1 6 5

1 6 5

6 1 6 4

1 6 5

6 5

(58)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1c)

s d

a

e b

f c

t 6 5

1 6 5

1 3 6

5 1 6 1

1 6 4 6 1 6 5

1 6 1 1 6 5 6 1 6 4

4 6 5 1 6 5

6 5

(59)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1c)

s d

a

e b

f c

t 6 5

1 6 5

4 1 6 4 6 1 6 5

1 6 5 6 1 6 4

1 6 5

6 5

(60)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1d)

s d

a

e b

f c

t 6 5

1 6 5

4 6

5 1 6 1

1 6 4 6 1 6 5

1 6 1 1 6 5 6 1 6 4

4 6 5 1 6 5

6 5

(61)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1d)

s d

a

e b

f c

t 6 5

1 6 5

4 1 6 4 6 1 6 5

1 6 5 6 1 6 4

1 6 5

6 5

(62)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1d)

s d

a

e b

f c

t 6 5

1 6 5

4 6

5 1 6 1

1 6 4 6 1 6 5

1 6 1 3 1 6 5

6 1 6 4

4 6 5 3 1 6 5

6 5

(63)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1d)

s d

a

e b

f c

t 6 5

3 1 6 5

4 3 1 6 4

6 1 6 5

4 6 5 6 1 6 4

4 6 5

6 5

(64)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1d)

s d

a

e b

f c

t 6 5

4 6 5

4 6

5 1 6 1

4 6 4 6 1 6 5

1 6 1 4 6 5 6 1 6 4

4 6 5 4 6 5

6 5

(65)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1e)

s d

a

e b

f c

t 6 5

4 6 5

4 4 6 4 6 1 6 5

4 6 5 6 1 6 4

4 6 5

6 5

(66)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1e)

s d

a

e b

f c

t 6 5

4 6 5

4 6

5 1 6 1

4 6 4 6 1 6 5

1 6 1 4 6 5 6 1 6 4

4 6 5 4 6 5

6 5

(67)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1e)

s d

a

e b

f c

t 6 5

4 6 5

4 4 6 4 6 1 1 6 5

4 6 5 6 1 1 6 4

4 6 5 1

6 5

(68)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1e)

s d

a

e b

f c

t 6 5

1 4 6 5

4 6

5 1 6 1

4 6 4 1 6 1

6 5

1 6 1 4 6 5 6 1 1 6 4

4 6 5 4 6 5

1 6

5

(69)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1e)

s d

a

e b

f c

t 6 5

5 6 5

4 4 6 4 1 6 1

6 5

4 6 5 6 1 1 6 4

4 6 5 1 6

5

(70)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1f)

s d

a

e b

f c

t 6 5

5 6 5

4 6

5 1 6 1

4 6 4 1 6 1

6 5

1 6 1 4 6 5 6 1 1 6 4

4 6 5 4 6 5

1 6

5

(71)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1f)

s d

a

e b

f c

t 6 5

5 6 5

4 4 6 4 1 6 1

6 5

4 6 5 6 1 1 6 4

4 6 5 1 6

5

(72)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1f)

s d

a

e b

f c

t 6 5

5 6 5

4 6

5 1 6 1

4 6 4 1 6 1

6 5

1 6 1 4 6 5 6 1 1 6 4

4 6 5 1 4 6 5

1 6

5

(73)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1f)

s d

a

e b

f c

t 6 5 1

5 6 5

4 4 6 4 1 6 1

1 6 5

4 6 5 1

6 1 1 6 4

5 6 5 1 6

5

(74)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1f)

s d

a

e b

f c

t 1 6 5

5 6 5

4 6

5 1 6 1

4 6 4 1 6 1 1 6 5

1 6 1 4 6 5 1 6

1 1 6 4

4 6 5 5 6 5

1 6

5

(75)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1g)

s d

a

e b

f c

t 1 6 5

5 6 5

4 4 6 4 1 6 1 1 6 5

4 6 5 1 6

1 1 6 4

5 6 5 1 6

5

(76)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1g)

s d

a

e b

f c

t 1 6 5

5 6 5

4 6

5 1 6 1

4 6 4 1 6 1 1 6 5

1 6 1 4 6 5 1 6

1 1 6 4

4 6 5 5 6 5

1 6

5

(77)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1g)

s d

a

e b

f c

t 1 6 5

5 6 5

4 4 6 4 1 6 1 1 6 5

4 6 5 1 6

1 3 1 6 4

5 6 5 3

1 6

5

(78)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1g)

s d

a

e b

f c

t 1 6 5 3

5 6 5

4 6

5 1 6 1

4 6 4 1 6 1

3 1 6 5

1 6 1 4 6 5 1 6

1 4 6 4

4 6 5 5 6 5

4 6

5

(79)

kleines Beispiel (Niveaunetzwerk 1g)

s d

a

e b

f c

t 4 6 5

5 6 5

4 4 6 4 1 6 1 4 6 5

4 6 5 1 6

1 4 6 4

5 6 5 4 6

5

(80)

Weiteres Beispiel (2:14.1) <> Walter Unger 17.1.2015 17:50 SS2014 Z

schönes Beispiel (Dinitz)

s

a

b

c

e

f

g

h

k

l

m

t 6 8

6 5 6 1

6 7

6 6 6 7 6 4

6 5 6 4 6 4

6 6 6 4

6 4 6 4

6 5 6 3

6 4 6 2 6 6

6 3 6 1 6 3

6 1

6 4

6 6

(81)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1a)

s

a

b

c

e

f

g

k

l

m

t 6 8

6 5 6 1

6 6 4 6 6 6 4 6 4

6 5 6 3

6 2 6 6

6 1

6 4

(82)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1a)

s

a

b

c

e

f

g

h

k

l

m

t 6 8

6 5 6 1

6 7

6 5 6 4

6 6 6 4 6 4

6 5 6 3

6 2 6 6

6 1

6 4

6 6

(83)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1a)

s

a

b

c

e

f

g

k

l

m

t 6 8

6 5 6 1

6 6 4 6 6 6 4 6 4

6 5 6 3

6 2 6 6

6 1

6 4

(84)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1a)

s

a

b

c

e

f

g

h

k

l

m

t 6 8

6 5 6 1

6 7

6 5 6 4

6 6 6 4 6 4

6 5 6 3

6 2 6 6

6 1

6 4

6 6

(85)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1a)

s

a

b

c

e

f

g

k

l

m

t 6 8

6 5 6 1

6 7

6 4 6 6 6 4 6 4

6 5 6 3

6 2 6 6

6 1 6 4 6 4

6

(86)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1a)

s

a

b

c

e

f

g

h

k

l

m

t 6 8

6 5

1 6 1

6 7 1

6 5 6 4

6 6 6 4 6 4

6 5 6 3

6 2 6 6

6 1

6 4

1 6 6

(87)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1a)

s

a

b

c

e

f

g

k

l

m

t 6 8

6 5 1 6 1

6 6 4 6 6 6 4 6 4

6 5 6 3

6 2 6 6

6 1 6 4 6 4

6

(88)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1b)

s

a

b

c

e

f

g

h

k

l

m

t 6 8

6 5 1 6 1

6 7 1

6 5 6 4

6 6 6 4 6 4

6 5 6 3

6 2 6 6

6 1

6 4

1 6 6

(89)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1b)

s

a

b

c

e

f

g

k

l

m

t 6 8

6 5 1 6 1

6 6 4 6 6 6 4 6 4

6 5 6 3

6 2 6 6

6 1 6 4 6 4

6

(90)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1b)

s

a

b

c

e

f

g

h

k

l

m

t 6 8

6 5 1 6 1

6 7 1

6 5 6 4

6 6 6 4 6 4

6 5 6 3

6 2 6 6

1 6 1

6 4

1 6 6

(91)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1b)

s

a

b

c

e

f

g

k

l

m

t 6 8 1

6 5 1 6 1

6 6 4 6 6 6 4

1 6 4

6 5 6 3

6 2 1 6 6

1 6 1 6 4 6 4

6

(92)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1b)

s

a

b

c

e

f

g

h

k

l

m

t 1 6 8

6 5 1 6 1

6 7 1

6 5 6 4

6 6 6 4 1 6 4

6 5 6 3

6 2 1 6 6

1 6

1 6 4

6 4

1 6 6

(93)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1c)

s

a

b

c

e

f

g

k

l

m

t 1 6 8

6 5 1 6 1

6 6 4 6 6 6 4 1 6 4

6 5 6 3

6 2 1 6 6

1 6 1 6 4 6 4

6

(94)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1c)

s

a

b

c

e

f

g

h

k

l

m

t 1 6 8

6 5 1 6 1

6 7 1

6 5 6 4

6 6 6 4 1 6 4

6 5 6 3

6 2 1 6 6

1 6

1 6 4

6 4

1 6 6

(95)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1c)

s

a

b

c

e

f

g

k

l

m

t 1 6 8

6 5 1 6 1

6 6 4 6 6 6 4 1 6 4

6 5 6 3 2

6 2 1 6 6

1 6 1

2 6 4 6 4

6

(96)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1c)

s

a

b

c

e

f

g

h

k

l

m

t 1 6 8 2

6 5 1 6 1

6 7 1

6 5 6 4

6 6 6 4

2 1 6 4

6 5 6 3

2 6 2 1 6 6

1 6 1 2 6 4

6 4

1 6 6

(97)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1c)

s

a

b

c

e

f

g

k

l

m

t 3 6 8

6 5 1 6 1

6 6 4 6 6 6 4 3 6 4

6 5 6 3

2 6 2 1 6 6

1 6 1 2 6 4

6 4

6

(98)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1d)

s

a

b

c

e

f

g

h

k

l

m

t 3 6 8

6 5 1 6 1

6 7 1

6 5 6 4

6 6 6 4 3 6 4

6 5 6 3

2 6 2 1 6 6

1 6 1 2 6 4

6 4

1 6 6

(99)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1d)

s

a

b

c

e

f

g

k

l

m

t 3 6 8

6 5 1 6 1

6 6 4 6 6 6 4 3 6 4

6 5 6 3

2 6 2 1 6 6

1 6 1 2 6 4

6 4

6

(100)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1d)

s

a

b

c

e

f

g

h

k

l

m

t 3 6 8

6 5 1 6 1

6 7 1

6 5 6 4

6 6 6 4 3 6 4

6 5 6 3

2 6 2 1 6 6

1 6 1

2 2 6 4

6 4

1 6 6

(101)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1d)

s

a

b

c

e

f

g

k

l

m

t 3 6 8

2 6 5 1 6 1

6 6 4 2 6 6 6 4 3 6 4

6 5 2 6 3 2 6 2 1 6 6

1 6 1 4 6 4

6 4

6

(102)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1d)

s

a

b

c

e

f

g

h

k

l

m

t 3 6 8

2 6 5

1 6 1

6 7 1

6 5 6 4 2 6 6 6 4 3 6 4

6 5 2 6 3 2 6 2 1 6 6

1 6 1 4 6 4

6 4

1 6 6

(103)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1e)

s

a

b

c

e

f

g

k

l

m

t 3 6 8

2 6 5

1 6 1 6

6 4 2 6 6 6 4 3 6 4

6 5 2 6 3 2 6 2 1 6 6

1 6 1 4 6 4

6 4

6

(104)

schönes Beispiel (Niveaunetzwerk 1e)

s

a

b

c

e

f

g

h

k

l

m

t 3 6 8

2 6 5

1 6 1

6 7 1

6 5 6 4 2 6 6 6 4 3 6 4

6 5 2 6 3 2 6 2 1 6 6

1 6 1 4 6 4

6 4

1 6 6

(105)