Berechenbarkeit und Komplexit¨at Vorlesung 8

Berechenbarkeit und Komplexit¨ at Vorlesung 8

Prof. Dr. Wolfgang Thomas Lehrstuhl Informatik 7

RWTH Aachen

21. November 2014

Erinnerung: Reduktion von Problemen

F¨ur Sprachen K,L⊆Σ^∗ wurde definiert:

K ≤Lgdw. ex. berechenbare Funktionf : Σ^∗ →Σ^∗ mit x∈K ⇔ f(x)∈L f¨ur alle x ∈Σ^∗

Wir haben gezeigt Satz

(a)K ≤Lund Lentscheidbar ⇒ K entscheidbar.

(b)K ≤L undL aufz¨ahlbar ⇒ K aufz¨ahlbar.

(c) F¨ur die Halteproblemsprache H gilt:

L≤H gdw. List aufz¨ahlbar

Ziel

Unser Ziel ist der Nachweis einer

“sehr unentscheidbaren” SpracheL:

WederLnoch das Komplement vonLsollen aufz¨ahlbar sein.

In anderen Worten:

Lsoll weder zur Sprachklasse RE noch zu co-RE geh¨oren.

Wir benutzen

Hε={hMi |M h¨alt auf leerem Band}

und die Tatsache, dassH_ε zwar aufz¨ahlbar ist, das KomplementH_ε aber nicht aufz¨ahlbar ist.

(Sonst w¨are Hε ja sogar entscheidbar.)

Jenseits von RE und co-RE

Wir zeigen Satz

Die Sprache H_total = {hMi | M h¨alt f¨ur jedes w} ist nicht aufz¨ahlbar, und das Komplement H_total ist ebenfalls nicht aufz¨ahlbar.

Zum Beweis nutzen wir Teil (b) des vorangehenden Satzes f¨ur die nicht-aufz¨ahlbare Sprache Hε. Es gen¨ugt zu zeigen:

Lemma 1 H_ε≤H_total Lemma 2 Hε≤Htotal

Lemma 2

Wir m¨ussen eine berechenbare Funktion f :{0,1}^∗ → {0,1}^∗ finden mit

(∗) u∈H_ε gdw. f(u)∈H_total

Beim Nachweis der Unentscheidbarkeit vonH_total haben wir bereits eine berechenbare Funktionf angegeben mit

u∈Hε gdw. f(u)∈H_total

Durch Negation beider Seiten wissen wir dann f¨ur dieselbe Funktionf, dass auch (∗) gilt.

Lemma 1

Wir m¨ussen eine berechenbare Funktion f :{0,1}^∗ → {0,1}^∗ finden mit:u ∈Hε gdw. f(u)∈Htotal

Beachte:u ∈Hε trifft zu, wenn u kein TM-Kode ist oder aber u=hMi f¨ur eine TM M gilt mit M :ε→ ∞

Wir konstruieren aus einer TMM eine TM M⁰ mit folgender Arbeitsweise:

F¨ur Eingabe w terminiert M⁰ mit Ausgabeε, wenn M auf εmindestens |w|Schritte l¨auft – wenn M vorher

terminiert, dann terminiert M⁰ f¨ur die Eingabe w nicht.

Dann gilt:

M :ε→ ∞

⇔f¨ur alle Schrittzahlen s l¨auftM aufεmindestens s Schritte

⇔M⁰ terminiert f¨ur jede Eingabew, d.h. hM⁰i ∈H_total

Beweis von Lemma 2

NebenM⁰ definieren wir noch eine feste TM M0, welche die Konstanteεberechnet, also eine totale Funktion:

M0 hat nur die Instruktionen q00/1/BqBN.

Definieref :{0,1}^∗→ {0,1}^∗ durch f(u) =hM₀i, fallsu kein TM-Kode ist, andernfalls (f¨ur u =hMi) sei f(u) =hM⁰i

f ist berechenbar. Wir zeigen:u∈Hε gdw. f(u)∈Htotal

F¨uru ∈Hε ist f(u)(=hM₀i) in H_total

F¨uru ∈H_ε ex. M mitu =hMi, sodassM :ε→stopp ins Schritten,

d.h.M⁰ terminiert nicht f¨ur Eingaben einer L¨ange≥s, alsof(u)∈H_total.

H

und der Existenzquantor

F¨urw ∈ {0,1}^∗ sei num(w) die nat¨urliche Zahl mit Bin¨ardarstellung w. (Es sei num(ε) = 0.)

Wir erinnern uns an die Definition vonH_ε. hMi ∈Hε ⇔

es existiert eine Schrittzahls, so dassM :ε→stoppins Schritten.

DefiniereH_ε⁰ als die Menge derjenigen W¨orteru#v, so dassu Kode einer TMM ist, die auf das Leere Band angesetzt in

≤num(v) Schritten stoppt.

H_ε⁰ ist entscheidbar!

u ∈H_ε ⇔ ∃v ∈ {0,1}^∗ :u#v ∈H_ε⁰.

Die aufz¨ahlbare Sprache H_ε ist also “einen Existenzquantor entfernt” von einer entscheidbaren Sprache.

Diese Idee gilt allgemein.

Logische Charakterisierung von RE

Satz

L⊆ {0,1}^∗ ist aufz¨ahlbar (also geh¨ort zu RE) gdw.

es gibt eine entscheidbare SpracheL0 ⊆ {0,1,#}^∗, so dass gilt (∗) u∈L ⇔ ∃v :u#v∈L₀.

Wir f¨uhren den Beweis mit “semi-entscheidbar” statt “aufz¨ahlbar”.

⇐:A_L0 entscheideL0, so dass (∗) gilt.

Folgender Algorithmus semi-entscheidetL:

F¨ur Eingabe u gehe die W¨orter v ∈ {0,1}in kanonischer Reihenfolge durch, teste mit A_L0 jeweils, ob u#v ∈L₀, und terminiere, sobald ein solches v gefunden ist.

⇒:Lwerde durch A_L semi-entschieden.

SetzeL0 :={u#v |AL stoppt aufu innerhalb num(v) Schritten}

Dann gilt (∗), wie zu zeigen war.

Logische Charakterisierung von co-RE

Die Anwendung der Negation auf die beiden Seiten von (∗) liefert folgenden Satz:

Satz

L⊆ {0,1}^∗ ist Komplement einer aufz¨ahlbaren Sprache gdw.

es gibt eine entscheidbare SpracheL0 ⊆ {0,1,#}^∗, so dass gilt (∗) u∈L ⇔ ∀v :u#v∈L0.

Zwei Quantoren

Bei der SpracheHtotal gen¨ugt weder ein einzelner Existenzquantor noch ein einzelner Allquantor f¨ur die “Anbindung” an eine

entscheidbare Sprache.

Man braucht zwei Quantoren:

hMi ∈Htotal gdw.

∀w ∈ {0,1}^∗∃v ∈ {0,1}^∗:M :w →stoppin ≤num(v) Schritten Die letzte Bedingung ist entscheidbar (inhMi,w,v).

Eine Wortfunktion heißefasttotal, wenn sie bis auf endlich viele Ausnahmenf¨ur alle W¨orter definiert ist.

Arithmetische Hierarchie

F¨ur die Beschreibung der Sprache

Hfasttotal ={hMi |M berechnet eine fasttotale Funktion}

braucht man drei Quantoren, um die Anbindung an eine entscheidbare Sprache zu erhalten:

“Es gibt ein`, sodass f¨ur alle w einer L¨ange ≥`eine Schrittzahls existiert mit:M auf w angesetzt stoppt in≤s Schritten”.

Auf diese Weise entsteht die “arithmetische Hierarchie”, eine Abstufung der unentscheidbaren Sprachen nach wachsender logischer Komplexit¨at.

Auf dern-ten Stufe sind Sprachen Lfolgender Form:

L={u | ∃v₁∀v₂∃v₃. . .∃/∀v_n:u#v₁#v₂#. . .#v_n∈L₀} wobeiL0 entscheidbar ist.