dannist candidate korrektfürassoziatives ⊕ aufbeliebigemTyp. [( Zero , ) One , Two ( , Zero ) ] und candidate ( ⊕ ) istkorrektaufjederListederForm [( Zero , ) One ( , Zero ) ( , Two ) ] candidate ( ⊕ ) korrektaufjederListederForm ⊕ ZeroOneTwoZeroZeroOneTw

(1)

Wie? So!

Es seien

⊕¹ Zero One Two Zero Zero One Two One One Two Two Two Two Two Two

und

⊕² Zero One Two Zero Zero One Two One One One Two Two Two One Two Istcandidate (⊕1) korrekt auf jeder Liste der Form

[(Zero,)^∗ One(,Zero)^∗ (,Two)^∗] undcandidate (⊕²)ist korrekt auf jeder Liste der Form

[(Zero,)^∗ One,Two (,Zero)^∗]

dann istcandidate korrekt für assoziatives⊕auf beliebigem Typ.

(2)

Ein Knuth-ähnliches 0-1-2-Prinzip

Gegeben: scanl1:: (α→α→α)→[α]→[α]

scanl1(⊕) (x :xs) =go x xs where go x [ ] = [x]

go x (y :ys) =x :go (x⊕y) ys candidate:: (α→α→α)→[α]→[α]

dataThree=Zero |One|Two

Theorem: Wenn für jedesxs:: [Three]und assoziatives (⊕) ::Three→Three→Three,

candidate (⊕) xs = scanl1(⊕) xs, dann gilt das Gleiche für jeden Typτ,xs:: [τ], und assoziatives(⊕) ::τ →τ →τ.

(3)

Verwendung des Theorem-Generators

Eingabe: candidate :: (a -> a -> a) -> [a] -> [a]

Ausgabe: forall t1,t2 in TYPES, f :: t1 -> t2.

forall p :: t1 -> t1 -> t1.

forall q :: t2 -> t2 -> t2.

(forall x :: t1. forall y :: t1.

f (p x y) = q (f x) (f y))

==> (forall z :: [t1].

map f (candidate p z)

= candidate q (map f z))

(4)

Anders ausgedrückt

Für jede Wahl von Typenτ1, τ2 und Funktionen f ::τ1 →τ2, (⊗) ::τ1 →τ1 →τ1 und (⊕) ::τ2→τ2 →τ2:

τ₁×τ₁ τ1 [τ1] [τ1]

= ⇒ =

τ2×τ2 τ₂ [τ2] [τ2]

⊗ f × f

⊕

f

candidate(⊗)

mapf map f

candidate(⊕)

(5)

Ein Knuth-ähnliches 0-1-2-Prinzip

Gegeben: scanl1:: (α→α→α)→[α]→[α]

scanl1(⊕) (x :xs) =go x xs where go x [ ] = [x]

go x (y :ys) =x :go (x⊕y) ys candidate:: (α→α→α)→[α]→[α]

dataThree=Zero |One|Two

Theorem: Wenn für jedesxs:: [Three]und assoziatives (⊕) ::Three→Three→Three,

candidate (⊕) xs = scanl1(⊕) xs, dann gilt das Gleiche für jeden Typτ,xs:: [τ], und assoziatives(⊕) ::τ →τ →τ.

(6)

Dekomponieren des 0-1-2-Prinzips

Aussage 1:Wenncandidate(⊕¹)korrekt ist für jede Liste der Form[(Zero,)^∗ One(,Zero)^∗ (,Two)^∗]undcandidate (⊕2) korrekt ist für jede Liste der Form[(Zero,)^∗ One,Two (,Zero)^∗], dann gilt für jedesn≥0,

candidate(++) [[k]|k ←[0..n]] = [[0..k] |k←[0..n]] (*).

Aussage 2:Wenn (*) für jedesn≥0 gilt, dann ist candidate korrekt für assoziatives⊕auf beliebigem Typ.

(7)

Dekomponieren des 0-1-2-Prinzips

Aussage 2:Wenn (*) für jedesn≥0 gilt, dann istcandidate korrekt für assoziatives⊕auf beliebigem Typ.

(8)

Dekomponieren des 0-1-2-Prinzips

τ1×τ1 τ1 [τ1] [τ1]

= ⇒ =

τ₂×τ₂ τ₂ [τ2] [τ2]

⊗ f × f

⊕

f

candidate(⊗)

mapf map f

candidate(⊕)

(9)

Dekomponieren des 0-1-2-Prinzips

[Int]×[Int] [Int] [[Int]] [[Int]]

= ⇒ =

τ2×τ2 τ₂ [τ2] [τ2]

++

f × f

⊕

f

candidate(++)

mapf mapf

candidate(⊕) ::

[[k]|k ←[0..n]]

(10)

Formaler Beweis

Seixs :: [τ2]mit Länge (n+1).

Dann ist für f =foldl1(⊕) ◦ map (xs!!) die Vorbedingung von

= ⇒ =

τ₂×τ₂ τ2 [τ2] [τ2]

++

f × f

⊕

f

candidate(++)

mapf mapf

candidate(⊕) ::

[[k]|k ←[0..n]]

erfüllt, sofern⊕assoziativ. Also dann:

map f (candidate (++)[[k] |k←[0..n]])

= candidate(⊕) (mapf [[k]|k ←[0..n]])

= candidate(⊕) xs

(11)

Formaler Beweis

Seixs :: [τ2]mit Länge (n+1). Dann ist für f =foldl1(⊕) ◦ map (xs!!) die Vorbedingung von

= ⇒ =

τ₂×τ₂ τ2 [τ2] [τ2]

++

f × f

⊕

f

candidate(++)

mapf mapf

candidate(⊕) ::

[[k]|k ←[0..n]]

erfüllt, sofern⊕assoziativ. Also dann:

= candidate(⊕) xs

(12)

Formaler Beweis

= ⇒ =

τ₂×τ₂ τ2 [τ2] [τ2]

++

f × f

⊕

f

candidate(++)

mapf mapf

candidate(⊕) ::

[[k]|k ←[0..n]]

erfüllt, sofern⊕assoziativ.

Also dann:

= candidate(⊕) xs

(13)

Formaler Beweis

= ⇒ =

τ₂×τ₂ τ2 [τ2] [τ2]

++

f × f

⊕

f

candidate(++)

mapf mapf

candidate(⊕) ::

[[k]|k ←[0..n]]

Also dann:

map f (candidate (++)[[k] |k ←[0..n]])

= candidate(⊕) xs

(14)

Formaler Beweis

= ⇒ =

τ₂×τ₂ τ2 [τ2] [τ2]

++

f × f

⊕

f

candidate(++)

mapf mapf

candidate(⊕) ::

[[k]|k ←[0..n]]

Also dann:

map f (candidate (++)[[k] |k ←[0..n]])

= candidate(⊕) xs

(15)

Formaler Beweis

Aussage 2:Wenn für jedesn≥0,

candidate(++) [[k]|k ←[0..n]] = [[0..k]|k ←[0..n]], dann istcandidate korrekt für assoziatives⊕auf beliebigem Typ.

Beweis:

candidate (⊕) xs

= map f (candidate (++)[[k]|k ←[0..n]])

= map f [[0..k]|k ←[0..n]]

= map (foldl1(⊕)◦ map (xs!!)) [[0..k] |k←[0..n]]

= [foldl1(⊕) (map (xs!!) [0..k])|k ←[0..n]]

= [foldl1(⊕) (take (k+1) xs) |k ←[0..n]]

= scanl1(⊕) xs

(16)

Formaler Beweis

Beweis:

candidate (⊕) xs

= map f [[0..k]|k ←[0..n]]

= [foldl1(⊕) (map (xs!!) [0..k])|k ←[0..n]]

= [foldl1(⊕) (take (k+1) xs) |k ←[0..n]]

= scanl1(⊕) xs

(17)

Formaler Beweis

Beweis:

candidate (⊕) xs

= map f [[0..k]|k ←[0..n]]

= [foldl1(⊕) (map (xs!!) [0..k])|k ←[0..n]]

= [foldl1(⊕) (take (k+1) xs) |k ←[0..n]]

= scanl1(⊕) xs

(18)

Formaler Beweis

Beweis:

candidate (⊕) xs

= map f [[0..k]|k ←[0..n]]

= map (foldl1(⊕)◦ map (xs!!)) [[0..k] |k ←[0..n]]

= [foldl1(⊕) (map (xs!!) [0..k])|k ←[0..n]]

= [foldl1(⊕) (take (k+1) xs) |k ←[0..n]]

= scanl1(⊕) xs

(19)

Formaler Beweis

Beweis:

candidate (⊕) xs

= map f [[0..k]|k ←[0..n]]

= [foldl1(⊕) (map (xs!!) [0..k])|k ←[0..n]]

= [foldl1(⊕) (take (k+1) xs) |k ←[0..n]]

= scanl1(⊕) xs

(20)

Formaler Beweis

Beweis:

candidate (⊕) xs

= map f [[0..k]|k ←[0..n]]

= [foldl1(⊕) (map (xs!!) [0..k])|k ←[0..n]]

= [foldl1(⊕) (take (k+1) xs) |k ←[0..n]]

= scanl1(⊕) xs

(21)

Formaler Beweis

Beweis:

candidate (⊕) xs

= map f [[0..k]|k ←[0..n]]

= [foldl1(⊕) (map (xs!!) [0..k])|k ←[0..n]]

= [foldl1(⊕) (take (k+1) xs) |k ←[0..n]]

= scanl1(⊕) xs

(22)

Formaler Beweis

Aussage 1:Wenncandidate(⊕¹)korrekt ist für jede Liste der Form. . . undcandidate (⊕2) korrekt ist für jede Liste der Form . . ., dann gilt für jedes n≥0,

candidate(++) [[k]|k ←[0..n]] = [[0..k] |k←[0..n]].

Beweis:

Wir wissen, für allep,q,r≥0:

map (foldl1(⊕¹) ◦ map ([(Zero,)^p One(,Zero)^q (,Two)^r] !!)) (candidate(++)[[k]|k ←[0..(p+q+r)]])

= [(Zero,)^p (One,)^q+1 (Two,)^r] und:

map (foldl1(⊕2) ◦ map ([(Zero,)^p One,Two(,Zero)^q] !!)) (candidate(++)[[k]|k ←[0..(p+q+1)]])

= [(Zero,)^p One(,Two)^q+1] . . .

Detailliert in [V. 2008], sowie in einem Theorembeweiser formalisiert [Böhme,http://afp.sf.net/entries/MuchAdoAboutTwo.shtml].

(23)

Formaler Beweis

candidate(++) [[k]|k ←[0..n]] = [[0..k] |k←[0..n]]. Beweis:

Wir wissen, für allep,q,r ≥0:

map (foldl1(⊕¹) ◦ map([(Zero,)^p One(,Zero)^q (,Two)^r] !!)) (candidate(++)[[k]|k ←[0..(p+q+r)]])

= [(Zero,)^p One(,Two)^q+1] . . .

(24)

Formaler Beweis

= [(Zero,)^p (One,)^q+1 (Two,)^r]

und:

= [(Zero,)^p One(,Two)^q+1] . . .

(25)

Formaler Beweis

= [(Zero,)^p One(,Two)^q+1] . . .

(26)

Formaler Beweis

= [(Zero,)^p One(,Two)^q+1]

. . .

(27)

Formaler Beweis

= [(Zero,)^p One(,Two)^q+1] . . .

(28)

Formaler Beweis

Beweis:

map (foldl1(⊕²) ◦ map ([(Zero,)^p One,Two(,Zero)^q] !!)) (candidate(++)[[k]|k ←[0..(p+q+1)]])

= [(Zero,)^p One(,Two)^q+1] . . .

(29)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

source view

s v

s^′ v^′

get

(30)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

source view

s v

s^′ v^′

get

update

(31)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

source view

s v

s^′ v^′

get

put

update

(32)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

source view

s v

s^′ v^′

get

put

update

(33)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

source view

s v

s^′ v^′

get

put

update

(34)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

Beispiel: get=flat

View-Update:

(35)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

Beispiel: get=flat View-Update:

‘a’ ‘b’ ‘a’ ‘c’

“abac”

‘a’ ‘b’ ‘x’ ‘c’

“abxc”

flat

(36)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

‘a’ ‘b’ ‘a’ ‘c’

“abac”

‘a’ ‘b’ ‘x’ ‘c’

“abxc”

flat

update

(37)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

‘a’ ‘b’ ‘a’ ‘c’

“abac”

‘a’ ‘b’ ‘x’ ‘c’

“abxc”

flat

flat⁻¹

update

(38)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

source view

s v

s^′ v^′

get

put

update

(39)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

source view

s v

get

=

Acceptability / GetPut

(40)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

source view

s v

get

put

=

Acceptability / GetPut

(41)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

source view

s v

s^′ v^′

get

put

update

Consistency / PutGet

(42)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

source view

s v

s^′ v^′

get

put

update

get

Consistency / PutGet

(43)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

source view

s v

s^′ v^′

get

put

update

(44)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

Beispiel 1:

halve:: [α]→[α]

halve as =take (lengthas ‘div‘ 2) as

halve⁻¹:: [α]→[α]→[α]

halve⁻¹ as as⁰ | lengthas⁰==n

=as⁰++dropn as

where n=lengthas ‘div‘ 2

(45)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

Beispiel 1:

halve:: [α]→[α]

halve as =take (lengthas ‘div‘ 2) as halve⁻¹:: [α]→[α]→[α]

halve⁻¹ as as⁰ | lengthas⁰==n

=as⁰++dropn as

where n=lengthas ‘div‘ 2

(46)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

Beispiel 2:

flat::Tree α→[α]

flat (Leaf a) = [a]

flat (Nodet1 t2) = (flatt1) ++(flatt2)

flat⁻¹ ::Tree α→[α]→Treeα flat⁻¹ s v =casego s v of (t,[ ])→t

where go (Leaf a) (b :bs) = (Leaf b,bs) go (Nodes₁ s₂) bs = (Nodet₁ t₂,ds)

where(t₁,cs) =go s₁ bs (t2,ds) =go s₂ cs

(47)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

Beispiel 2:

flat::Tree α→[α]

flat (Leaf a) = [a]

flat (Nodet1 t2) = (flatt1) ++(flatt2) flat⁻¹ ::Tree α→[α]→Treeα

flat⁻¹ s v =casego s v of (t,[ ])→t where go (Leaf a) (b:bs) = (Leaf b,bs)

go (Nodes₁ s₂) bs = (Nodet₁ t₂,ds) where(t₁,cs) =go s₁ bs

(t2,ds) =go s₂ cs

(48)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

Beispiel 3:

rmdups::Eq α⇒[α]→[α]

rmdups=List.nub

rmdups⁻¹ ::Eq α⇒[α]→[α]→[α]

rmdups⁻¹ s v | v ==List.nubv && lengthv ==lengths⁰

=map(fromJust◦flip lookup(zips⁰ v))s wheres⁰=List.nub s

(49)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

Beispiel 3:

rmdups::Eq α⇒[α]→[α]

rmdups=List.nub

rmdups⁻¹ ::Eq α⇒[α]→[α]→[α]

rmdups⁻¹ s v | v ==List.nubv && lengthv ==lengths⁰

=map(fromJust◦flip lookup(zips⁰ v))s wheres⁰=List.nub s

(50)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

source view

s v

s^′ v^′

get

put

update

(51)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

source view

s v

s^′ v^′

get

put

update

Syntaktische

Bidirektionalisierung

(52)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

source view

s v

s^′ v^′

get

put

update

Syntaktische Bidirektionalisierung

(53)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

source view

s v

s^′ v^′

get

put

update

?

Semantische Bidirektionalisierung

(54)

Eine weitere Anwendung: Bidirektionalisierung

source view

s v

s^′ v^′

get

put

update

X

Semantische Bidirektionalisierung

(55)

Semantische Bidirektionalisierung

Ziel: Schreibe eine Higher-Order Funktion bffso dass jeweils fürgetund bff get gilt: GetPut, PutGet, . . .

Beispiele:

†“ Bidirectionalization for free!”

(56)

Semantische Bidirektionalisierung

Ziel: Schreibe eine Higher-Order Funktion bff^† so dass jeweils fürgetund bff get gilt: GetPut, PutGet, . . .

Beispiele:

(57)

Semantische Bidirektionalisierung

Ziel: Schreibe eine Higher-Order Funktion bff^† so dass jeweils fürgetund bff get gilt: GetPut, PutGet, . . . Beispiele:

“abc” “bc”

“ade” “de”

tail

(58)

Semantische Bidirektionalisierung

“abc” “bc”

“ade” “de”

tail

update

(59)

Semantische Bidirektionalisierung

“abc” “bc”

“ade” “de”

tail

bff tail

update

(60)

Semantische Bidirektionalisierung

‘a’ ‘b’ ‘a’ ‘c’

“abac”

‘a’ ‘b’ ‘x’ ‘c’

“abxc”

flat

(61)

Semantische Bidirektionalisierung

‘a’ ‘b’ ‘a’ ‘c’

“abac”

‘a’ ‘b’ ‘x’ ‘c’

“abxc”

flat

update

(62)

Semantische Bidirektionalisierung

‘a’ ‘b’ ‘a’ ‘c’

“abac”

‘a’ ‘b’ ‘x’ ‘c’

“abxc”

flat

bff flat

update

(63)

Semantische Bidirektionalisierung

‘a’ ‘b’ ‘a’ ‘c’

“abc”

‘x’ ‘b’ ‘x’ ‘c’

“xbc”

nub◦flatten

(64)

Semantische Bidirektionalisierung

‘a’ ‘b’ ‘a’ ‘c’

“abc”

‘x’ ‘b’ ‘x’ ‘c’

“xbc”

nub◦flatten

update

(65)

Semantische Bidirektionalisierung

‘a’ ‘b’ ‘a’ ‘c’

“abc”

‘x’ ‘b’ ‘x’ ‘c’

“xbc”

nub◦flatten

bff (nub◦flatten)

update

(66)

Analyse spezifischer Aufrufe

Angenommen, es sei gegeben:

get:: [α]→[α]

Wie können wir, oderbff, die Funktion analysieren ohne Zugriff auf ihren Quellcode?

Idee:Wie wäre es damit,get für „irgendeine“ Eingabe aufzurufen? Etwa:

get [0..n] =











[1..n] ifget=tail

[n..0] ifget=reverse [0..(min 4 n)] ifget=take5

...

Dann, Übertragung der Erkenntnisse auf andere Listen als[0..n]!

(67)

Analyse spezifischer Aufrufe

get:: [α]→[α]

Idee:Wie wäre es damit,get für „irgendeine“ Eingabe aufzurufen? Etwa:

get [0..n] =











[1..n] ifget=tail

...

(68)

Analyse spezifischer Aufrufe

get:: [α]→[α]

Idee:Wie wäre es damit,get für „irgendeine“ Eingabe aufzurufen?

Etwa:

get [0..n] =











[1..n] ifget=tail

...

(69)

Analyse spezifischer Aufrufe

get:: [α]→[α]

Etwa:

get [0..n] =











[1..n] ifget=tail

[n..0] ifget=reverse [0..(min 4n)] ifget=take5

...

(70)

Analyse spezifischer Aufrufe

get:: [α]→[α]

Etwa:

get [0..n] =











[1..n] ifget=tail

[n..0] ifget=reverse [0..(min 4n)] ifget=take5

...

(71)

Verwendung eines freien Theorems

Für jedes

g:: [α]→[α]

gilt:

map f (gl) = g (map f l) für beliebigef undl.

(72)

Verwendung eines freien Theorems

Für jedes

g:: [α]→[α]

gilt:

Für eine beliebige Listes der Längen+1, setzeg=get,l = [0..n], f = (s!!), woraus sich ergibt:

map (s!!) (get [0..n]) = get (map (s!!) [0..n])

| {z }

= get s

(73)

Verwendung eines freien Theorems

Für jedes

g:: [α]→[α]

gilt:

Für eine beliebige Listes der Längen+1, setzeg=get,l = [0..n], f = (s!!), woraus sich ergibt:

map (s!!) (get [0..n]) = get (map (s!!) [0..n])

| {z }

= get s

(74)

Verwendung eines freien Theorems

Für jedes

g:: [α]→[α]

gilt:

Für eine beliebige Listes der Längen+1,

setzeg=get,l = [0..n], f = (s!!), woraus sich ergibt:

map (s!!) (get [0..n])

= get (map (s!!) [0..n])

| {z }

= get s

(75)

Verwendung eines freien Theorems

Für jedes

g:: [α]→[α]

gilt:

Für eine beliebige Listes der Längen+1,

setzeg=get,l = [0..n], f = (s!!), woraus sich ergibt:

gets = map (s!!) (get [0..n]) für jedesget:: [α]→[α].

(76)

Der „Constant-Complement“ Ansatz [Bancilhon & Spyratos 1981]

Allgemein, für

get::S →V

definiere einV^C und

compl::S →V^C so dass

λs →(get s,compls) injektiv ist und ein Inverses hat:

inv:: (V,V^C)→S Dann:

put::S →V →S

put s v⁰ =inv (v⁰,compls)

Wichtig:compl sollte so „nicht-injektiv“ wie möglich sein.

(77)

Der „Constant-Complement“ Ansatz [Bancilhon & Spyratos 1981]

Allgemein, für

get::S →V definiere einV^C und

compl::S →V^C

so dass

put::S →V →S

(78)

Der „Constant-Complement“ Ansatz [Bancilhon & Spyratos 1981]

Allgemein, für

λs →(get s,compls) injektiv ist

und ein Inverses hat:

put::S →V →S

(79)

Der „Constant-Complement“ Ansatz [Bancilhon & Spyratos 1981]

Allgemein, für

inv:: (V,V^C)→S

Dann:

put::S →V →S

(80)

Der „Constant-Complement“ Ansatz [Bancilhon & Spyratos 1981]

Allgemein, für

put::S →V →S

(81)

Der „Constant-Complement“ Ansatz [Bancilhon & Spyratos 1981]

Allgemein, für

put::S →V →S

(82)

Der „Constant-Complement“ Ansatz

Für unseren Fall,

get:: [α]→[α], was sollten wir wählen fürV^C und

compl:: [α]→V^C ???

Um

λs →(get s,compls)

injektiv zu kriegen, müssen Informationen festgehalten werden, welcheget verwirft.

Kandidaten:

1. Länge der ursprünglichen Liste 2. verworfene Listenelemente

Für den Augenblick, seien wir möglichst konservativ.

(83)

Der „Constant-Complement“ Ansatz

Für unseren Fall,

Um

Kandidaten:

(84)

Der „Constant-Complement“ Ansatz

Für unseren Fall,

Um

Kandidaten:

1. Länge der ursprünglichen Liste

2. verworfene Listenelemente

(85)

Der „Constant-Complement“ Ansatz

Für unseren Fall,

Um

Kandidaten:

(86)

Der „Constant-Complement“ Ansatz

Für unseren Fall,

Um

Kandidaten:

(87)

Die Komplement-Funktion

typeIntMap α= [(Int, α)]

compl:: [α]→(Int,IntMapα) compls =letn = (length s)−1

t = [0..n] g =zip t s

g⁰ =filter(λ(i,_)→notElemi (gett)) g in (n+1,g⁰)

Zum Beispiel:

get=tail compl “abcde” = (5,[(0,’a’)])

get=take3 compl “abcde” = (5,[(3,’d’),(4,’e’)]) get=reverse compl “abcde” = (5,[ ])

(88)

Die Komplement-Funktion

t = [0..n] g =zip t s

Zum Beispiel:

(89)

Die Komplement-Funktion

t = [0..n] g =zip t s

Zum Beispiel:

get=take3 compl “abcde” = (5,[(3,’d’),(4,’e’)])

get=reverse compl “abcde” = (5,[ ])

(90)

Die Komplement-Funktion

t = [0..n] g =zip t s

Zum Beispiel:

(91)

Ein Inverses zu λs → (get s , compl s)

inv:: ([α],(Int,IntMapα))→[α]

inv (v⁰,(n+1,g⁰)) =lett = [0..n]

h =assoc (get t) v⁰ h⁰ =h++g⁰

in seq h (map (λi →fromJust(lookupi h⁰))t)

Zum Beispiel:

get=tail inv (“bcde”,(5,[(0,’a’)])) =“abcde”

get=take3 inv (“xyz”,(5,[(3,’d’),(4,’e’)])) =“xyzde”

Formal zu beweisen:

• inv (get s,compl s) =s

• wenninv (v,c)definiert, dann get(inv (v,c)) =v

• wenninv (v,c)definiert, dann compl(inv(v,c)) =c

†Für den Moment, kann alszipangenommen werden.

(92)

Ein Inverses zu λs → (get s , compl s)

inv (v⁰,(n+1,g⁰)) =lett = [0..n]

h =assoc^† (gett) v⁰ h⁰ =h++g⁰

in seq h (map (λi →fromJust(lookupi h⁰))t)

Zum Beispiel:

Formal zu beweisen:

• wenninv (v,c) definiert, dann get(inv (v,c)) =v

• wenninv (v,c) definiert, dann compl(inv(v,c)) =c

(93)

Ein Inverses zu λs → (get s , compl s)

inv (v⁰,(n+1,g⁰)) =lett = [0..n]

in seq h (map (λi →fromJust(lookupi h⁰))t) Zum Beispiel:

get=take3 inv (“xyz”,(5,[(3,’d’),(4,’e’)])) =“xyzde” Formal zu beweisen:

(94)

Ein Inverses zu λs → (get s , compl s)

inv (v⁰,(n+1,g⁰)) =lett = [0..n]

Formal zu beweisen:

(95)

Ein Inverses zu λs → (get s , compl s)

inv (v⁰,(n+1,g⁰)) =lett = [0..n]

Formal zu beweisen:

• wenninv (v,c) definiert, dann get(inv(v,c)) =v