TECHNISCHE UNIVERSIT ¨AT DORTMUND Wintersemester 2007/2008
FAKULT ¨AT STATISTIK 22.01.2008
Prof. Dr. G. Trenkler Blatt 13
Dipl.-Stat. M. Arnold
Ubungen zur Vorlesung¨
Multivariate Statistik
Aufgabe 46
Sei f¨ur eine positiv definite Matrix A∈Rd×d der gewichtete Abstand der i-ten Beobachtungyi zu B0xi definiert als
d2i(B) :=
³
yi−B0xi
´0 A
³
yi−B0xi
´ .
Dabei istxi diei-te Zeile der spaltenregul¨aren MatrixX. Zeigen Sie, dass f¨ur jedes A die Summe dieser Abst¨ande ¨uber alle Beobachtungen, Pn
i=1d2i(B), bez¨uglich B minimiert wird durch Bb = (X0X)−1X0Y.
Hinweis: Zeigen Sie zun¨achstPn
i=1d2i(B) = tr h
A(Y −XB)0(Y −XB) i
.
Aufgabe 47
Die Datei Luft.txt enth¨alt Messungen von Windgeschwindigkeit, Sonneneinstrahlung, Stickdioxid- gehalt und Ozongehalt in der Luft zur Mittagszeit in Los Angeles an verschiedenen Tagen.
a) Sch¨atzen Sie ein multivariates Regressionsmodell f¨ur den Stickdioxidgehalt und den Ozongehalt in Abh¨angigkeit von Windgeschwindigkeit und Sonneneinstrahlung. Interpretieren Sie die Parame- tersch¨atzungen.
b) Berechnen Sie ein 95%-Prognoseintervall f¨ur den Stickdioxidgehalt bei einer Windgeschwindig- keit von 10 und einer Sonneneinstrahlung von 80.
c) Berechnen Sie ein 95%-Prognoseintervall f¨ur den Ozongehalt bei einer Windgeschwindigkeit von 10 und einer Sonneneinstrahlung von 80.
Aufgabe 48
Derp-dimensionale ZufallsvektorX= (X10 |X20)0 sei partitioniert in einenp1-dimensionalen Zufalls- vektor X1 und einen p2-dimensionalen Zufallsvektor X2, wobei p1+p2 =p. Die Kovarianzmatrix von X sei entsprechend partitioniert:
Cov(X) = Σ =
Σ11 Σ12 Σ21 Σ22
.
Dann ist die partielle Kovarianzmatrix vonX1 bei konstantem X2 gegeben durch Σ11·2= Σ11−Σ12Σ−122Σ21.
Sie beschreibt die Kovarianz der Komponenten von X1, nachdem der gemeinsame Einfluss der Komponenten vonX2 auf die Komponenten von X1 konstant gehalten wurde. Die entsprechende partielle Korrelationsmatrix erh¨alt man aus der partiellen Kovarianzmatrix durch die ¨ubliche Stan- dardisierung.
Berechnen Sie f¨ur die Laufrekorde der M¨anner die partielle Korrelationsmatrix der Distanzen 100m, 200m, 5000m, 10000m sowie Marathon unter Konstanthaltung der ¨ubrigen Distanzen 400m, 800m sowie 1500m. Vergleichen Sie die partiellen Korrelationen mit den ¨ublichen Korrelationen.
Aufgabe 49
Zur Untersuchung des Anlageerfolgs von Investmentbankern wurden von 25 Portfoliomanager 3 Variablen erhoben. Dabei bezeichnet die erste Variable die durchschnittlich erzielte Rendite eines Managers, die zweite Variable misst auf einer aufsteigenden Skala von 1 (sehr konservativ) bis 5 (sehr risikant) die Risikobereitschaft und die dritte Variable gibt die Erfahrung des Managers in Jahren an. Eine Auswertung der Daten liefert die folgende Stichprobenkorrelationsmatrix:
R=
1 −0,35 0,82
−0,35 1 −0,6 0,82 −0,6 1
.
a) Interpretieren Sie die Korrelationen.
b) Berechnen Sie die partielle Korrelation zwischen Rendite und Risikobereitschaft bei konstanter Erfahrung und interpretieren Sie das Ergebnis.
Abgabebis Montag, 28.01.2008, 14:00 Uhr, in den Briefkasten im Mathefoyer.
