UNIVERSIT ¨AT DORTMUND Wintersemester 2007/2008
FACHBEREICH STATISTIK 13.11.2007
Prof. Dr. G. Trenkler Blatt 5
Dipl.-Stat. M. Arnold
Ubungen zur Vorlesung¨
Multivariate Statistik
Aufgabe 16
Rotationen in R2 k¨onnen durch orthogonale (2×2)-Matrizen dargestellt werden.
a) Berechnen Sie die MatrixA einer Drehung um den Ursprung um den Winkelθ∈[0,2π].
b) Zeigen Sie, dassA orthogonal ist.
c) Berechnen Sie die Determinante vonA.
d) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren vonA.
Aufgabe 17
Sei die Kovarianzmatrix des ZufallsvektorsX= (X1, . . . , Xn)0 gegeben durch
Σ =
1 ρ . . . ρ ρ . .. ... ...
... . .. ... ρ ρ . . . ρ 1
,
d.h., die Komponenten vonX sind ¨aquikorreliert.
a) Berechnen Sie Eigenwerte und Eigenr¨aume von Σ. (Hinweis: Stellen sie Σ und anschließend Σx f¨ur beliebige Vektorenx∈Rn mit Hilfe der Matrizen In und 1n10n dar.)
b) Welche Werte kommen f¨urρ in Frage?
Aufgabe 18
Die (2×2)-MatrixA habe die Eigenwerte λ1 > λ2 >0 mit zugeh¨origen normierten Eigenvektoren u1 undu2. Wir betrachten die quadratische Formx0Axmitx∈R2.
a) Da u1 und u2 eine Basis des R2 bilden, besitzt jeder Vektor x ∈ R2 die Darstellung x = α1u1+α2u2. Wie m¨ussenα1 und α2 gew¨ahlt werden, damit ||x||= 1 gilt?
b) Berechnen Siex0Axf¨ur beliebigesx in Abh¨angigkeit vonα1 und α2. c) F¨ur welche Wahl vonα1 und α2 wirdx0Axam gr¨oßten bzw. am kleinsten?
Aufgabe 19
Betrachten Sie nochmals die beiden Datens¨atze aus Aufgabe 5 mit den nationalen Bestzeiten ¨uber verschiedene Laufdistanzen. F¨uhren Sie f¨ur die Daten der M¨anner und Frauen jeweils zwei Haupt- komponentenanalysen durch - einmal mit den urspr¨unglichen Werten und einmal mit standardisier- ten Bestzeiten. Wieviele Hauptkomponenten w¨urden Sie ausw¨ahlen? Gibt es Unterschiede zwischen M¨annern und Frauen? Interpretieren Sie die Ergebnisse.
Abgabebis Montag, 19.11.2007, 14:00 Uhr, in den Briefkasten im Mathefoyer.
