Prof. Dr. Benjamin Klopsch Wintersemester 2016–17
Spezielle Themen: Polyzyklische Gruppen – Blatt 4
Abgabe der L¨osungen am 15.11.2016 in der Vorlesung
Bitte bereiten Sie Aufgabe 4.1 f¨ur die ¨Ubungsstunde vor und geben Sie eine schriftliche L¨osung zu Aufgabe 4.2 ab; weitere Informationen auf
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/PolyzyklischeGruppen_WS1617/
Aufgabe 4.1
Begr¨unden Sie genau: IstH eine Gruppe undZi ∶=ζiH f¨uri∈N0, so istZi+1/Zi isomorph zu einer Untergruppe von Hom(H/H′, Zi/Zi−1), f¨ur alle i∈N.
Aufgabe 4.2 (4 Punkte)
Sei G eine Gruppe, A⊴G ein abelscher Normalteiler und H≤G ein Komplement von A inG, d.h. HA=Gund H∩A=1.1
(i) Zeigen Sie: IstK≤Gein beliebiges weiteres Komplement von AinG, so kann man jedes h ∈H eindeutig in der Form h =khah mit kh ∈K und ah ∈A schreiben und die Zuordnung
δK∶H→A, h↦a−1h
definiert eine Derivation vonHnachA(wobeiHaufAdurch Konjugation operiert).
(ii) Zeigen Sie: Die Zuordnung K ↦δK vermittelt eine Bijektion zwischen der Menge der Komplemente von A in G und der Menge Der(H, A) der Derivationen von H nachA.
(iii) F¨ur c∈A, definiere
δc∶H→A, h↦ [h, c].
Zeigen Sie, dass δc f¨ur jedes c∈A eine Derivation ist, und dass die Menge Inn(H, A) ∶= {δc∣c∈A} ⊆Der(H, A)
eine Untergruppe von Der(H, A)ist.2
Zusatz:Zeigen Sie, dass die in (ii) betrachtete ZuordnungK ↦δK eine Bijektion zwischen der Menge der Konjugationsklassen von Komplementen von A in G und der Gruppe Der(H, A)/Inn(H, A) induziert.
1Gist also ein semidirektes Produkt vonH undA.
2Hierbei ist die Verkn¨upfung auf Der(H, A) die punktweise Addition: h(δ1+δ2) = (hδ1)(hδ2) f¨ur δ1, δ2∈Der(H, A)undh∈H.
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