Die Black-Scholes-Gleichung

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Die Black-Scholes-Gleichung

Franziska Merk

22.06.2012

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Outline

1

Optionen

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Wiener Prozess

3

Black-Scholes Gleichung

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Optionen

Eine Kaufoption ist ein Recht, eine Aktie zu einem heute (t=0) festgelegten Preis E an einem zuk¨ unftigen Zeitpunkt T zu kaufen.

S(t) = Preis der Aktie zum Zeitpunkt t σ = Volatilit¨ at der Aktie

r = risikoloser Zins

C(S,T) = Wert der Option zum Zeitpunkt T

C(S,T) = max(S-E, 0)

Problem: Preis f¨ ur dieses Recht heute?

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Wiener Prozess

Wie ver¨ andert sich S in einem kurzen Zeitintervall dt?

Annahmen:

Vergangenheit spiegelt sich in heutigem Preis S vollst¨ andig wieder, ohne Informationen f¨ ur die Zukunft zu geben

M¨ arkte reagieren sofort auf neue Informationen bzgl. der Aktie

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Wiener Prozess

dS

S =µdt + σdX hierbei ist

µ = durchschnittliche Wachstumsrate des Aktienpreises (hier ist µ konstant)

σ = Volatilit¨ at/Standardabweichung dX: Wiener Prozess

→ dX ist normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz dt

→ f¨ ur zwei verschiedene Zeitintervalle dt sind die Werte von dX

voneinander unabh¨ angig

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Wiener Prozess

dS

S l¨ asst sich Zerlegen in eine konstante ¨ Anderung und die durch

den Wiener Prozess hervorgerufene zuf¨ allige Bewegung.

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Dax-Kurs Simulierter Wiener Prozess

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Itˆ o´s Lemma

F¨ ur eine glatte Funktion f(S) und eine kleine Ver¨ anderung dS von S gilt (mit dS = µSdt + σSdX):

df = df

dS (σSdX + µSdt) + 1

2 σ

²

S

²

d

²

f dS

²

dt

⇔ df = σS df

dS dX + (µS df dS + 1

2 σ

²

S

²

d

²

f

dS

²

)dt (Itˆ o´s Lemma) F¨ ur eine Funktion f(S,t) gilt:

df = σS ∂f

∂S dX + (µS ∂f

∂S + 1

2 σ

²

S

²

∂

²

f

∂S

²

+ ∂f

∂t )dt

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Allgemeine Annahmen:

Aktienpreis folgt Wiener Prozess

risikoloser Zins r und Volatilit¨ at σ sind bekannt und konstant keine Transaktionskosten

keine Dividenden innerhalb der Optionslaufzeit keine Arbitrage-M¨ oglichkeiten

Leerverk¨ aufe sind erlaubt, Aktien sind beliebig teilbar

Handeln der Aktie uneingeschr¨ ankt erlaubt

(10)

Sei C(S,t) der Wert einer Option.

Aus Itˆ o´s Lemma folgt dann:

dC = σS ∂C

∂S dX + (µS ∂C

∂S + 1

2 σ

²

S

²

∂

²

C

∂S

²

+ ∂C

∂t )dt Sei π der Wert eines Portfolios bestehend aus einer Option und einer Anzahl ∆ zugrundeliegender Aktien.

Es gilt:

π = C + ∆S

⇒ d π = dC + ∆dS

(11)

Mit dS = µSdt + σSdX erh¨ alt man:

dπ = σS( ∂C

∂S + ∆)dX + (µS ∂C

∂S + 1

2 σ

²

S

²

∂

²

C

∂S

²

+ ∂C

∂t + µ∆S )dt W¨ ahle ∆ = − ∂C

∂S

⇒ d π = ( ∂C

∂t + 1

2 σ

²

S

²

∂

²

C

∂S

²

)dt

risikolose Anlage eines Betrags π zum Zins r ergibt eine Steigerung von π in dt um rπdt

⇒ rπdt = ( ∂C

∂t + 1

2 σ

²

S

²

∂

²

C

∂S

²

)dt

(12)

Black-Scholes Differentialgleichung

Zusammen mit π = C + ∆S und ∆ = − ∂C

∂S folgt : Black-Scholes Differentialgleichung

⇒ ∂C

∂t + 1

2 σ

²

S

²

∂

²

C

∂S

²

+ rS ∂C

∂S − rC = 0 mit den Randbedingungen

C(0,t) = 0

C(S,T) = max (S-E,0)

C(S,t) ≈ S f¨ ur S→ ∞

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L¨ osung

Variablentransformation ⇒ ∂u

∂τ = ∂

²

u

∂x

²

; −∞ < x < ∞, τ > 0 mit L¨ osung: u(x,τ ) = 1

2 √ πτ

∞

R

−∞

u

0

(s)e

−(x−s)² 4τ

ds erneute Variablentransformation liefert L¨ osung:

C(S,t) = SN(d

1

) − Ee

^−r(T−t)

N(d

2

)

d

₁

= log(S/E) + (r +

¹₂

σ

²

)(T − t) σ p

(T − t) d

₂

= d

₁

− σ √

T − t N(x) = 1

√ 2π Z

x

−∞

e

⁻¹²^y²

dy

(14)

Kritik an Black-Scholes Modell:

Renditen sind nicht stochastisch unabh¨ angig

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Renditen entspricht keiner Standardnormalverteilung

Volatilit¨ at σ ist nicht konstant

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Stochastische Volatilit¨ at σ _t

dS

_t

S

t

=µdt + σ

_t

dX

_t

→ σ

t