GS - 23.10.05 - potenz_02_Hyperbeln.mcd
Potenzfunktionen mit negativem Exponenten
- Hyperbeln -
1. Zuordnungsvorschrift:
Definition: Eine Funktion f x( ) =x−n mit x ∈∈∈∈ IR und n ∈∈∈∈ IN heißt Potenzfunktion vom Grade n.
Schreibweise für negative Exponenten: x−n 1 xn
=
Da nun beim Funktionsterm x im Nenner steht, dürfen nicht mehr alle x-Werte eingesetzt werden.
Vor dem x-Term kann ein negativer Koeffizient a stehen. Deshalb:
Allgemeine Zuordnungsvorschrift: f x( ) a 1 xn
= ⋅ Definitionsmenge: ID = IR \ {0} :
2. Graphische Darstellung:
Die Stelle x0=0 darf als Definitionslücke nicht eingesetzt werden, deshalb untersucht man das ...
Verhalten der Funktionswerte bei Annäherung an die Definitionslücke x0
Nähert man sich der Definitionslücke beliebig an, so hat man dafür die symbolische Schreibweise:
x --> x0+ bedeutet: x nähert sich von rechts.
x --> x0- bedeutet: x nähert sich von links.
Um diese Werte charakterisieren zu können, benutzt man auch hier das "Limes-Symbol" : für die linksseite Ännäherung:
x0 x
f x( ) lim −
→
und für die rechtsseite Ännäherung:
x0 x
f x( ) lim +
→
∞∞
∞∞ x
f x( ) lim
→
→0
∞∞
∞∞ x −
f x( ) lim
→
→0 Verhalten für x →∞∞∞∞:
0 x
f x( ) lim +
→
∞∞
∞∞
→ 0
x
f x( ) lim −
→
∞∞
∞∞
− Verhalten an der Definitionslücke: →
Symmetrie→"punktsymmetrisch"
Monotonie→"smofa für x<0 und smofa für x>0"
gemeinsamePunkte
"Punkt"
"P"
"Q"
"x-Wert"
−1 1
"y-Wert"
−1 1
→ Eigenschaften:
3 2 1 0 1 2 3
3 2 1 1 2 3 Hyperbeln n≡1
a≡1
f2 x( ) 1 x3 f x( ) 1 →
x Funktionsterme: →
n = 1 oder n = 2 a = 1 oder a = -1
Wähle:
Ergebnis 1:
Die Funktionswerte nähern sich bei allen möglichen Hyperbeln für x →∞∞∞∞ der x-Achse an, Man sagt, sie besitzen einen Grenzwert.
Ergebnis 2:
Der Funktionsgraph nähert sich für x →x0 bei allen möglichen Hyperbeln der y-Achse beliebig an.
Die Funktionswerte wachsen bei Annäherung an die Definitionslücke x0 über alle Grenzen.
Bezeichnung:
Eine Gerade, der sich eine Kurve f beliebig annähert, ohne sie jedoch zu berühren, heißt Asymptote des Graphen der Funktion f. (Aus dem Griechischen: nicht zusammenfallend)
Folgerung 1: Die x-Achse ist also horizontale Asymptote für die Hyperbeln f x( ) 1 xn
= .
Folgerung 2: Die y-Achse ist also vertikale Asymptote für die Hyperbeln f x( ) 1 xn
= .
0 x
fu( )x lim +
→
∞∞
∞∞ Annäherung von rechts: →
0 x
fg( )x lim +
→
∞∞
∞∞ Annäherung von rechts: →
0 x
fu( )x lim −
→
∞∞
∞∞
− Annäherung von links: →
0 x
fg( )x lim −
→
∞∞
∞∞ Annäherung von links: →
Verhalten der Funktionswerte bei Annäherung an die Definitionslücke x0
∞∞
∞∞ x
fu( )x lim
→
→ 0
∞∞
∞∞ x −
fu( )x lim
→
→0
∞∞
∞∞ x
fg( )x lim
→
→ 0
∞∞
∞∞ x −
fg( )x lim
→
→0
Verhalten der Funktionswerte für wachsende Werte von IxI
Gf ist streng monoton fallend für x<0 und Gf ist streng monoton fallend für x>0 . Gf ist streng monoton steigend für x<0 und
Gf ist streng monoton fallend für x>0 .
Monotonie
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.
Achsensymmetrie zur y-Achse.
Symmetrie
ungerader Exponent (Index "u"):
gerader Exponent (Index "g"):
3 2 1 0 1 2 3
3 2 1 1 2 3
n = 1 n = 3
gemeinsame Punkte a > 0 und n ist ungerade
3 2 1 0 1 2 3
3 2 1 1 2 3
n = 2 n = 4
gemeinsame Punkte a > 0 und n ist gerade 3.1 Koeffizient a > 0:
3. Eigenschaften der Funktionsgraphen:
0 x
fu( )x lim +
→
∞∞
∞∞
− Annäherung von rechts: →
0 x
fg( )x lim +
→
∞∞
∞∞
− Annäherung von rechts: →
0 x
fu( )x lim −
→
∞∞
∞∞ Annäherung von links: →
0 x
fg( )x lim −
→
∞∞
∞∞
− Annäherung von links: →
Verhalten der Funktionswerte bei Annäherung an die Definitionslücke x0
∞∞
∞∞ x
fu( )x lim
→
→ 0
∞∞
∞∞ x −
fu( )x lim
→
→0
∞∞
∞∞ x
fg( )x lim
→
→ 0
∞∞
∞∞ x −
fg( )x lim
→
→0
Verhalten der Funktionswerte für wachsende Werte von IxI
Gf ist streng monoton steigend für x<0 und Gf ist streng monoton fallend für x>0 . Gf ist streng monoton fallend für x<0 und
Gf ist streng monoton steigend für x>0 .
Monotonie
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.
Achsensymmetrie zur y-Achse.
Symmetrie
ungerader Exponent (Index "u"):
gerader Exponent (Index "g"):
3 2 1 0 1 2 3
3 2 1 1 2 3
n = 1 n = 3
gemeinsame Punkte a < 0 und n ist ungerade
3 2 1 0 1 2 3
3 2 1 1 2 3
n = 2 n = 4
gemeinsame Punkte a < 0 und n ist gerade 3.2 Koeffizient a < 0: