Kapitel 3 Fourieranalyse

Kapitel 3 Fourieranalyse

§ 1 Fourierreihen

Zur Erinnerung:

Definition. Eine Funktion f : R → C heißt periodisch mit Periode T , falls T > 0 ist und f¨ ur alle t ∈ R gilt:

f(t + T ) = f (t).

Beispiele.

1. Die Funktionen sin(t) und cos(t) haben die Periode 2π, der Tangens hat die Periode π.

2. Die Eulerfunktion e

= cos(t) + j sin(t) hat die Periode 2π.

3. Eine konstante Funktion f(t) ≡ c hat jedes T ∈ R als Periode.

Die Menge Per(f ) aller Perioden der Funktion f bildet einen Modul, d.h. es gilt:

T

, T

∈ Per(f) = ⇒ T

± T

∈ Per(f ).

Hat also f die Periode T , so sind auch 2T, 3T, . . . Perioden von f.

Wie das letzte Beispiel zeigt, kann der Periodenmodul Per(f ) aus ganz R bestehen.

Ist f allerdings nicht konstant und hat f auf einem Periodenintervall h¨ ochstens endlich viele Unstetigkeitsstellen, so kann man zeigen, daß f eine kleinste positive Periode T

besitzt. Dann besteht Per(f) aus allen ganzzahligen Vielfachen von T

. Z.B. ist die Zahl 2π die kleinste (positive) Periode beim Sinus.

Ein typisches Beispiel ist die harmonische Schwingung f (t) := A · sin(ωt + ϕ).

Dabei heißt |A| die Amplitude, ω die Frequenz und ϕ die Anfangsphase. f hat die Periode T = (2π)/ω und erf¨ ullt offensichtlich die DGL y

+ ω

y = 0.

Wendet man das Additionstheorem an, so erh¨ alt man die Darstellung f(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt),

mit a = A sin(ϕ) und b = A cos ϕ.

Hat f die Periode T , so hat F (t) := f(

· t) die Periode 2π, denn es ist

F (t + 2π) = f ( T

2π (t + 2π))

= f ( T

2π · t + T )

= f ( T

2π · t) = F (t).

Deshalb ist es keine Einschr¨ ankung der Allgemeinheit, wenn wir nur Funktionen mit der Periode 2π betrachten. Wenn nichts anderes gesagt wird, bedeutet hier k¨ unftig

” periodisch“ stets

” periodisch mit Periode 2π“. Das muß allerdings nicht in jedem Fall die kleinste Periode sein.

Ist nun I = [a, a + 2π] und f eine Funktion auf I mit f(a + 2π) = f(a), so kann man f periodisch auf ganz R fortsetzen:

π 2π

1

- π

s

a

s

a + 2π Dabei spielt es keine Rolle, mit welchem Intervall (der L¨ ange 2π) man begonnen hat, es kommt immer die gleiche Funktion heraus. Wir verwenden hier meistens das Intervall

I = [−π, +π], manchmal aber auch das Intervall [0, 2π].

Wichtigstes Beispiel sind die sogenannten trigonometrischen Polynome T

(t) = a

2 +

N

X

n=1

a

cos(nt) + b

sin(nt) . Sie haben alle die Periode 2π.

Es sei S

(I) die Menge der st¨ uckweise stetigen Funktionen auf I. Bei diesen Funk- tionen existiert in jedem x ∈ I der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert, allerdings brauchen die beiden Grenzwerte nicht ¨ ubereinzustimmen. Es sind end- lich viele solcher Sprungstellen erlaubt, aber keine schlimmeren Unstetigkeiten.

Sei I = [a, b], mit b − a = 2π. Mit R(I) bezeichnen wir die Menge aller Funktionen f : I → C , die h¨ ochstens endlich viele Unstetigkeitsstellen haben und f¨ ur die das (eventuell uneigentliche) Integral

Z

f (t) dt = Z

a

Re(f (t)) dt + j Z

a

Im(f (t)) dt

existiert. Wir sprechen vom Raum der integrierbaren Funktionen.

Offensichtlich ist S

(I) ⊂ R(I). Ein Element f ∈ R(I) heißt absolut integrierbar, falls das Integral

Z

|f (t)| dt = Z

a

(Re f(t))

+ (Im f (t))

dt

existiert. Man beachte, daß stets |Re f (t)| ≤ |f (t)| und |Im f (t)| ≤ |f(t)| ist. Aus der absoluten Integrierbarkeit folgt also auch im Komplexen die gew¨ ohnliche In- tegrierbarkeit. Ist f absolut integrierbar und g beschr¨ ankt und integrierbar, so ist auch f · g absolut integrierbar.

Mit P (I ) bezeichnen wir die Menge aller Funktionen f ∈ R(I), f¨ ur die gilt:

f(a) = f(b).

Das sind diejenigen integrierbaren Funktionen auf I, die sich periodisch auf ganz R fortsetzen lassen. Da wir aber unsere Funktionen problemlos in einem einzelnen Punkt ab¨ andern k¨ onnen, spielt die Zusatzbedingung ¨ uber die Randwerte eigentlich keine Rolle.

Alle betrachteten Funktionenmengen sind (komplexe) Vektorr¨ aume. P (I ) ist ein Untervektorraum von R(I) und P(I) ∩ S

(I) ist ein Untervektorraum von S

(I).

Definition. Eine Funktion f ∈ R(I) heißt quadratintegrabel, falls |f |

integrier- bar ist. Die Zahl

kf k

:=

Z

|f(t)|

dt

nennt man die L

-Norm von f . Beispiele.

1. Jede st¨ uckweise stetige Funktion ist quadratintegrabel.

2. Die Funktion f(t) := 1

√ t liegt in R([0, 1]), ist aber nicht quadratintegrabel.

1.1 Summe und Produkt von quadratintegrablen Funktionen. f

, f

sei- en quadratintegrabel. Dann ist f

± f

quadratintegrabel und f

· f

absolut integrier- bar. Außerdem ist

Z

|f

(t) · f

(t)| dt ≤ 1 2

(kf

k

)

+ (kf

k

)

] und es gilt die Schwarzsche Ungleichung:

1

Das sind nicht die im Riemannschen Sinne integrierbaren Funktionen (die unendlich viele

Unstetigkeitsstellen haben k¨ onnten) und es sind auch nicht bloß die st¨ uckweise stetigen Funktio-

nen, denn sie d¨ urfen unbeschr¨ ankt sein.

Z

f

(t) · f

(t) dt

≤ kf

k

· kf

k

. Beweis: Es ist

0 ≤ (|f

| − |f

|)

= |f

|

− 2|f

· f

| + |f

|

, also

|f

· f

| ≤ 1

2 · (|f

|

+ |f

|

).

Das liefert die erste Ungleichung und die absolute Integrierbarkeit von f

f

. Wegen |f

|

= |f

|

ist auch f

quadratintegrabel und damit Re(f

·f

) integrierbar.

F¨ ur λ ∈ C haben wir außerdem die Gleichung

|f

+ λf

|

= (f

+ λf

) · (f

+ λf

) = |f

|

+ 2 Re(λf

· f

) + |λ|

|f

|

. Das zeigt, daß f

+ λf

quadratintegrabel ist.

Weiter gilt : 0 ≤

Z

|f

+ λf

|

dt = Z

a

|f

|

dt + λ Z

a

f

f

dt + λ Z

a

f

f

dt + |λ|

Z

a

|f

|

dt.

Mit A := R

a

|f

|

dt, B := R

a

f

f

dt und C := R

a

|f

|

dt liefert das die Ungleichung A + Bλ + Bλ + C|λ|

≥ 0 (f¨ ur alle λ ∈ C ).

Ist C 6= 0, so setze man λ := −B/C. Dann erh¨ alt man die Ungleichung AC − 2BB + |B|

≥ 0, also |B|

≤ AC.

Ist C = 0 und A 6= 0, argumentiert man analog. Ist C = A = 0, so setze man λ = −B. Dann erh¨ alt man −2BB ≥ 0, also auch B = 0. Damit ist die Schwarzsche Ungleichung bewiesen.

Es folgt, daß die quadratintegrablen Funktionen auf I einen C -Vektorraum Q

bilden.

Definition. F¨ ur quadratintegrable Funktionen f, g auf I = [a, b] sei

<f , g> :=

Z

f (t)g(t) dt.

Das ” Skalarprodukt“ <f , g> ist R -bilinear, und es gilt:

<f , g> = <g , f >.

F¨ ur c ∈ C ist <c · f , g> = c · <f , g>, aber <f , c · g> = c · <f , g>. Es liegt also ein hermitesches Skalarprodukt vor. Außerdem ist

kf k

= <f , f >

.

Bei einem richtigen Skalarprodukt m¨ ußte eigentlich noch gelten: Ist kf k

= 0, so ist f = 0. Das ist hier nicht der Fall, f kann ja in endlich vielen Punkten einen Wert 6= 0 haben. Diese Schwierigkeit tritt ¨ ubrigens nicht auf, wenn man nur mit stetigen Funktionen arbeitet.

1.2 Eigenschaften der L

-Norm.

1. kc · f k

= |c| · kf k

.

2. kf + gk

≤ kf k

+ kgk

(Dreiecksungleichung).

3. |<f , g>| ≤ kfk

· kgk

(Schwarzsche Ungleichung).

Beweis: 1) ist trivial.

3) Die Schwarzsche Ungleichung haben wir oben schon bewiesen.

2) Die Dreiecksungleichung folgt wie ¨ ublich aus der Schwarzschen Ungleichung:

(kf + gk

)

= <f + g , f + g>

= <f , f > + <f , g> + <g , f > + <g , g>

= (kfk

)

+ (kgk

)

+ 2 Re <f , g>

≤ (kfk

)

+ (kgk

)

+ 2|<f , g>|

≤ (kfk

)

+ (kgk

)

+ 2kf k

· kgk

= (kfk

+ kgk

)

.

Definition. Zwei Funktionen f, g ∈ Q

heißen orthogonal zueinander, falls

<f , g> = 0 ist.

Im Folgenden bezeichne k. . .k die L

− N orm.

1.3 Satz des Pythagoras. Ist <f , g> = 0, so ist kf + gk

= kfk

+ kgk

. Der Beweis erfolgt fast genauso wie im Falle des euklidischen Skalarproduktes im R

:

kf + gk

= <f + g , f + g>

= <f , f > + <f , g> + <g , f > + <g , g>

= kfk

+ 2 · Re <f , g> + kgk

= kfk

+ kgk

.

Definition. Eine (abz¨ ahlbare) Teilmenge S = {ϕ

, ϕ

, ϕ

, . . .} ⊂ Q

heißt ein ON-System, falls gilt:

1. <ϕ

, ϕ

> = 0 f¨ ur n 6= m.

2. kϕ

k = 1 f¨ ur alle n.

Es sei daran erinnert, daß eine unendliche Teilmenge B eines Vektorraumes V linear unabh¨ angig heißt, wenn jede beliebige endliche Auswahl von Elementen von B linear unabh¨ angig ist.

1.4 Orthonormalsysteme sind linear unabh¨ angig. Ist S ⊂ Q

ein ON- System, so ist S linear unabh¨ angig.

Beweis: Sei J ⊂ N endlich und 0 = X

j∈J

c

ϕ

. Dann folgt:

0 = < X

j∈J

c

ϕ

, ϕ

> = X

j∈J

c

<ϕ

, ϕ

> = X

j∈J

c

δ

= c

,

f¨ ur j ∈ J. Damit ist die lineare Unabh¨ angigkeit gezeigt.

Wir werden jetzt einige Beispiele von ON-Systemen betrachten.

1.5 Das trigonometrische System (T). Sei I = [−π, π]. Dann bilden die Funktionen

g

(t) := 1

√ 2π , g

(t) := 1

√ π · cos(nt) f¨ ur n ≥ 1 und h

(t) := 1

√ π · sin(nt) f¨ ur n ≥ 1 ein ON-System in Q

.

Beweis: Wir betrachten zun¨ achst die Funktionen 1, cos(nt) und sin(nt). Dabei benutzen wir die Additionstheoreme

sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) und cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β).

1) Es ist < 1, 1 > = Z

−π

dt = 2π.

2) < 1, cos(nt) > = Z

−π

cos(nt) dt = sin(nt) n

π

−π

= 0.

3) < 1, sin(nt) > = Z

−π

sin(nt) dt = − cos(nt) n

π

−π

= 0.

4) Wegen sin(α) cos(β) =

[sin(α + β) + sin(α − β)] ist

< sin(nt), cos(mt) > = Z

−π

sin(nt) cos(mt) dt

= 1 2

Z

−π

sin((n + m)t) dt + 1 2

Z

−π

sin((n − m)t) dt

= 0 f¨ ur beliebiges n und m.

5) Wegen cos(α) cos(β) =

[cos(α + β) + cos(α − β)] ist

< cos(nt), cos(mt) > = Z

−π

cos(nt) cos(mt) dt

= 1

2 Z

−π

cos((n + m)t) dt + 1 2

Z

−π

cos((n − m)t) dt

=

π falls n = m 0 sonst.

6) Wegen sin(α) sin(β) =

[cos(α − β) − cos(α + β)] ist

< sin(nt), sin(mt) > = Z

−π

sin(nt) sin(mt) dt

= 1 2

Z

−π

cos((n − m)t) dt − 1 2

Z

−π

cos((n + m)t) dt

=

π falls n = m 0 sonst.

Das gew¨ unschte Ergebnis kann man nun direkt ablesen.

1.6 Das komplexe trigonometrische System (E). Sei I = [−π, π]. Dann bilden die Funktionen

f

(t) := 1

√ 2π · e

, n ∈ Z , ein ON-System in Q

.

Beweis: Es ist

< e

, e

>=

Z

−π

e

dt =

2π falls n = m, 0 sonst.

Das Rechnen im Komplexen ist erheblich einfacher!

Sei I = [a, b], V := Q

und F := (f

)

ein ON-System in V . F¨ ur eine end-

liche Teilmenge J ⊂ N sei V

der von den Funktionen f

, i ∈ J, aufgespannte

Untervektorraum von V .

Ist f ∈ V beliebig und i ∈ N , so nennt man f(i) := b <f , f

>

den i-ten (formalen) Fourierkoeffizienten von f bez¨ uglich F . Das Element p

(f) := X

i∈J

f b (i) · f

∈ V

nennt man die orthogonale Projektion von f auf V

. 1.7 Eigenschaften der orthogonalen Projektion.

1. kf − p

(f)k

= kfk

− kp

(f)k

(Pythagoras).

2. kf − p

(f)k ≤ kf − gk f¨ ur alle g ∈ V

. 3. kp

(f )k

= X

i∈J

| f b (i)|

≤ kf k

.

Beweis: Es sei c

:= f b (i), f¨ ur i ∈ N . Dann gilt f¨ ur j ∈ J :

<f − p

(f) , f

> = <f , f

> − X

i∈J

c

<f

, f

>

= c

− X

i∈J

c

δ

= = c

− c

= 0.

s

0

f r

p

(f)

g V

g − f

Also ist <f − p

(f) , h> = 0 f¨ ur alle Elemente h ∈ V

, insbesondere

<f − p

(f ) , p

(f)> = 0.

Nach dem Satz von Pythagoras ist also

kf k

= kf − p

(f)k

+ kp

(f )k

und kp

(f )k

≤ kf k

. F¨ ur g ∈ V

ist außerdem

<f − p

(f ) , p

(f ) − g> = 0,

also kf − gk

= k(f − p

(f )) + (p

(f ) − g)k

= kf − p

(f )k

+ kp

(f) − gk

.

Das bedeutet, daß kf − p

(f)k ≤ kf − gk f¨ ur g ∈ V

ist.

Schließlich ist

kp

(f)k

= <p

(f) , p

(f )>

= < X

i∈J

c

f

, X

j∈J

c

f

>

= X

i,j

c

c

<f

, f

>

= X

i∈J

|c

|

.

Der Satz besagt, daß f unter allen Elementen von V

durch p

(f) am besten appro- ximiert wird (in der L

-Norm). Man nennt p

(f) daher auch die Bestapproximation von f in V

.

Aus den obigen Absch¨ atzungen folgt insbesondere:

1.8 Besselsche Ungleichung. Ist c

= f(i) b f¨ ur i ∈ N , so ist

∞

X

i=1

|c

|

≤ kf k

.

Das bedeutet insbesondere, daß die Reihe

∞

X

i=1

|c

|

konvergiert und die Folge (c

) gegen Null konvergiert.

Definition. Eine Folge von Funktionen f

∈ Q

konvergiert im quadratischen Mittel gegen eine (quadratintegrable) Funktion f, wenn gilt:

n→∞

lim kf − f

k

= 0.

Dies ist ein neuer Grenzwertbegriff, und er ist mit Vorsicht zu genießen. Ist fast

¨

uberall f = g , so ist kg − f

k

= k(f − f

) + (g − f )k

= kf − f

k

. Das hat zur Folge, daß der Grenzwert einer (im quadratischen Mittel) konvergenten Folge nicht eindeutig bestimmt ist.

F¨ ur f ∈ Q

und ein vorher festgelegtes ON-System F = (f

) sei k¨ unftig S

(f ) :=

n

X

i=1

f(i) b · f

=

n

X

i=1

<f , f

> · f

.

Die Reihe S

:=

∞

X

i=1

f b (i) · f

nennt man die (formale) Fourier-Reihe von f . Man

interessiert sich daf¨ ur, unter welchen Umst¨ anden und auf welche Art f = S

ist.

Definition. Sei F = (f

) ein ON-System in Q

. F heißt vollst¨ andig, falls f¨ ur alle f ∈ Q

gilt:

n→∞

lim kf − S

(f )k = 0,

wenn also die formale Fourier-Reihe S

immer im quadratischen Mittel gegen f konvergiert.

1.9 Charakterisierung vollst¨ andiger ON-Systeme. Sei F ein ON-System in Q

. Dann sind folgende Eigenschaften ¨ aquivalent:

1. Alle f ∈ Q

erf¨ ullen die Parsevalsche Gleichung:

kf k

=

∞

X

i=1

|<f , f

>|

.

2. F ist vollst¨ andig.

Beweis: Sei f ∈ Q

beliebig vorgegeben und c

:= <f , f

> f¨ ur i ∈ N . Dann ist kf − S

(f)k

= kfk

− kS

(f )k

(Pythagoras)

= kfk

−

n

X

i=1

|c

|

.

Also konvergiert kf − S

(f )k genau dann gegen Null, wenn kfk

=

∞

X

i=1

|c

|

ist.

1.10 Die Vollst¨ andigkeit des trigonometrischen Systems. Das trigonome- trische System (T) der Funktionen

g

(t) := 1

√ 2π , g

(t) := 1

√ π · cos(nt) und h

(t) := 1

√ π · sin(nt), f¨ ur n ≥ 1, ist vollst¨ andig.

Den Beweis k¨ onnen wir hier leider nicht ausf¨ uhren.

Unmittelbar folgt jetzt, daß auch das komplexe trigonometrische System (E) vollst¨ andig ist.

Wir betrachten nun Fourierreihen. Beginnen wir mit dem System (T) : g

(t) := 1

√ 2π , g

(t) := 1

√ π · cos(nt) und h

(t) := 1

√ π · sin(nt), f¨ ur n ≥ 1.

Aus historischen Gr¨ unden setzt man

a

:= 1 π

Z

−π

f (t) dt = r 2

π · < f, g

> , a

:= 1

π Z

−π

f (t) cos(nt) dt = 1

√ π · < f, g

>

und b

:= 1 π

Z

−π

f (t) sin(nt) dt = 1

√ π · < f, h

> . Dann hat die formale Fourierreihe S

die Gestalt

S

(x) = < f, g

> g

(x) +

∞

X

n=1

( < f, g

> g

(x)+ < f, h

> h

(x) )

= r π

2 a

· 1

√ 2π +

∞

X

n=1

( √

πa

) · 1

√ π cos(nx) + ( √

πb

) · 1

√ π sin(nx)

, es ist also

S

(x) = a

2 +

∞

X

n=1

(a

cos(nx) + b

sin(nx)).

Man beachte, daß die Koeffizienten a

, b

hier nicht mit den zuvor definierten for- malen Fourierkoeffizienten ¨ ubereinstimmen. Aus historischen Gr¨ unden nennt man a

, a

und b

dennoch die Fourierkoeffizienten von f (bzgl. (T) ).

Wir kommen jetzt zum System (E):

Setzt man c

:= 1

2 (a

− jb

) und c

:= 1

2 (a

+j b

) = ¯ c

, f¨ ur n ≥ 1, sowie c

:= a

2 , so folgt:

∞

X

n=−∞

c

e

= c

+

∞

X

n=1

(c

e

+ c

e

)

= c

+

∞

X

n=1

((c

+ c

) cos(nt) + j (c

− c

) sin(nt))

= a

2 +

∞

X

n=1

(a

cos(nt) + b

sin(nt)).

Damit haben wir die komplexe Form der Fourierreihe von f gefunden:

S

(x) =

∞

X

n=−∞

c

e

.

Die komplexen Fourierkoeffizienten c

kann man ¨ ubrigens auch direkt berechnen,

ohne den Umweg ¨ uber die a

und b

. Es ist n¨ amlich

c

= 1 2π

Z

−π

f (t) dt und c

= 1

2π Z

−π

f (t)e

dt (f¨ ur n ≥ 1).

Da (T) (und damit auch (E)) vollst¨ andig ist, konvergiert die Fourierreihe S

im quadratischen Mittel gegen f , und es gilt die Parsevalsche Gleichung:

|< f, g

>|

+

∞

X

n=1

(|< f, g

>|

+ |< f, h

>|

) = kfk

, also

| r π

2 a

|

+

∞

X

n=1

| √

πa

|

+ | √ πb

|

= Z

−π

|f(t)|

dt.

Das heißt:

1 2 a

+

∞

X

n=1

(a

+ b

) = 1 π

Z

−π

|f(t)|

dt oder (mit den komplexen Fourierkoeffizienten)

∞

X

−∞

|c

|

= 1 2π

Z

−π

|f (t)|

dt .

Bei der harmonischen Analyse versucht man, eine periodische Bewegung in ih- re harmonischen Bestandteile zu zerlegen. Ein guter Kandidat ist die Fouriersche Reihe, deren Koeffizienten wir ja schon bestimmen k¨ onnen. Wir m¨ ussen jetzt al- lerdings wissen, wann eine Funktion tats¨ achlich durch ihre Fourierreihe dargestellt wird, wann die Reihe also zumindest punktweise gegen die Funktion konvergiert.

Man nennt das auch das Konvergenzproblem.

Ist die Funktion f (auf einem beschr¨ ankten Intervall) st¨ uckweise stetig, so ist sie bis auf endlich viele Stellen stetig, und als Unstetigkeiten kommen h¨ ochstens Sprung- stellen vor. Ist a eine solche Sprungstelle, so existieren die einseitigen Grenzwerte

f (a−) = lim

x→a−

f(x) und f (a+) = lim

x→a+

f(x).

Wir setzen

M

(a) := 1

2 (f(a−) + f(a+)).

Ist f in a stetig, so ist M

(a) = f (a). An den Sprungstellen ist M

gerade der

Mittelwert der beiden einseitigen Grenzwerte.

Um die Konvergenz der Fourierreihe gegen die Funktion beweisen zu k¨ onnen, m¨ ussen wir st¨ arkere Bedingungen an die Glattheit der Funktion stellen. Dazu noch eine Bemerkung ¨ uber Differenzierbarkeit in Unstetigkeitsstellen:

Ist eine Funktion f : [a, b] → R zwar nicht in x stetig, existiert aber der rechtsseitige Grenzwert f (x+), so heißt f in x rechtsseitig differenzierbar, wenn der Grenzwert

f

(x+) := lim

t→0 t>0

f(x + t) − f(x+) t

existiert. Analog definiert man die linksseitige Differenzierbarkeit und die linkssei- tige Ableitung f

(x−).

Definition. Eine Funktion f : [a, b] → R heißt st¨ uckweise glatt, wenn sie bis auf endlich viele Ausnahmen stetig differenzierbar ist, und wenn in den Ausnahmepunk- ten die einseitigen Grenzwerte f (x−) und f(x+) und die einseitigen Ableitungen f

(x−) und f

(x+) existieren.

Ist f st¨ uckweise glatt, so ist f

st¨ uckweise stetig, also insbesondere integrierbar. Ist f sogar stetig, so ist f Stammfunktion von f

. Ist f st¨ uckweise glatt und stetig und g stetig differenzierbar, so gilt die Regel von der partiellen Integration:

Z

f

(t)g(t) dt = (f (t)g(t))

b a

−

Z

f (t)g

(t) dt.

Bemerkungen.

1. Sei f : [a, b] → C stetig. Dann gibt es zu jedem ε > 0 eine st¨ uckweise glatte und stetige Funktion g : [a, b] → C , so daß gilt:

|f(x) − g(x)| < ε f¨ ur a ≤ x ≤ b.

2. Sei f : [a, b] → C absolut integrierbar. Dann gibt es zu jedem ε > 0 eine st¨ uckweise glatte und stetige Funktion g : [a, b] → C , so daß gilt:

Z

|f(x) − g(x)| dx < ε.

3. Ist S

(I) der Raum der st¨ uckweise glatten Funktionen auf I , so gilt:

S

(I) ⊂ S

(I) ⊂ Q(I) ⊂ R(I).

1.11 Hauptsatz der harmonischen Analyse. Die Funktion f sei st¨ uckweise glatt und periodisch. Dann konvergiert die Fourierreihe von f punktweise gegen den Mittelwert M

.

Auf den Beweis m¨ ussen wir hier verzichten.

Wir betrachten ein besonders wichtiges Beispiel:

Sei f

(x) :=







π − x

2 f¨ ur 0 < x < 2π,

0 f¨ ur x = 0 und x = 2π.

π 2π

1

- π - 2π

- 1 s

s s

Wir wollen die Fourierkoeffizienten von f

berechnen. Es ist Z

0

cos(nx) dx = Z

0

sin(nx) dx = 0, und

Z

x cos(nx) dx = x sin(nx) n

2π

0

−

Z

sin(nx)

n dx = cos(nx) n

2π 0

= 0, sowie

Z

x sin(nx) dx = − x cos(nx) n

2π

0

+

Z

cos(nx)

n dx

= − 2π

n − sin(nx) n

2π 0

= − 2π n . Also ergibt sich:

a

= 1 π

Z

π − x

2 dx = 1

2π (πx − 1 2 x

)

2π 0

= 0, a

= 1

2π Z

0

(π − x) cos(nx) dx = 0 und b

= 1

2π Z

0

(π − x) sin(nx) dx = − 1 2π

Z

x sin(nx) dx = 1 n . Die Fourierreihe von f

hat also die Gestalt

S

(x) =

∞

X

n=1

sin(nx)

n .

Weil f

st¨ uckweise glatt ist, konvergiert S

(x) ¨ uberall gegen M

.

Wir wollen jetzt etwas genauer untersuchen, wie gut die Fourierreihe konvergiert.

Daf¨ ur sind einige Vorbereitungen n¨ otig.

Sei I ⊂ R ein Intervall und (f

) eine Folge von (reell- oder komplexwertigen) Funktionen auf I.

Definition. Die Funktionenfolge (f

) konvergiert auf I gleichm¨ aßig gegen eine Funktion f, wenn gilt:

∀ ε > 0 ∃ n

∈ N , s.d. f¨ ur n ≥ n

und alle x ∈ I gilt: |f

(x) − f(x)| < ε.

Ist f reellwertig, so k¨ onnen wir die gleichm¨ aßige Konvergenz noch anschaulicher deuten: Die Menge

U

(f) := {(x, y) ∈ R

: x ∈ I und f (x) − ε < y < f (x) + ε}

kann man als ε-Schlauch um G

bezeichnen. Die gleichm¨ aßige Konvergenz bedeutet, daß in jedem ε-Schlauch die Graphen fast aller Funktionen f

liegen.

1.12 Satz. Ist eine Funktionenreihe auf I normal konvergent, so konvergiert die Folge ihrer Partialsummen gleichm¨ aßig auf I .

Beweis: Wir betrachten die Funktionenreihe P

n=1

f

. Daß die Reihe normal konvergiert, bedeutet: Die Reihe konvergiert punktweise gegen eine Funktion f, und es gibt reelle Zahlen a

, so daß P

n=1

a

konvergiert und |f

(x)| ≤ a

auf ganz I gilt.

Sei S

(x) =

N

X

n=1

f

(x) die N -te Partialsumme.

Zu vorgegebenem ε > 0 gibt es ein n

, so daß P

n=k+1

a

< ε f¨ ur k ≥ n

ist. Dann gilt f¨ ur x ∈ I und m > k :

|

m

X

n=k+1

f

(x)| ≤

m

X

n=k+1

|f

(x)| ≤

m

X

n=k+1

a

< ε.

L¨ aßt man m gegen ∞ gehen, so bleibt f¨ ur k ≥ n

die Absch¨ atzung

|f (x) − S

(x)| = |

∞

X

n=k+1

f

(x)| ≤ ε.

Das ergibt die gleichm¨ aßige Konvergenz.

1.13 Hilfssatz.

F¨ ur x 6= 2kπ ist 1 2 +

N

X

n=1

cos(nx) = sin(N +

)x 2 sin

.

Beweis: Sei D

(x) :=

N

X

n=−N

e

. Dann gilt:

(e

− 1)D

(x) =

N

X

n=−N

e

−

N

X

n=−N

e

= e

− e

. Multiplikation mit e

ergibt:

(e

− e

) · D

(x) = e

− e

, also

D

(x) = sin(N +

)x

sin

f¨ ur x 6= 2kπ.

Daraus folgt:

1 2 +

N

X

n=1

cos(nx) = 1

2 · 1 +

N

X

n=1

2 cos(nx)

!

= 1

2 · 1 +

N

X

n=1

(e

+ e

)

!

= 1

2 ·

N

X

n=−N

e

= sin(N +

)x 2 sin

.

Bemerkung. Die Gleichung bleibt auch f¨ ur x = 2kπ richtig, wie man durch Anwendung von de l’Hospital auf der rechten Seite sehen kann. Der Wert ist dann

= N +

. Die Funktion

D

(x) :=

N

X

n=−N

e

= sin(N +

)x

sin

= 1 + 2

N

X

n=1

cos(nx)

heißt (N–ter) Dirichlet–Kern.

1.14 Hilfssatz. Es ist

D

(−x) = D

(x) und

Z

D

(x) dx = π.

Beweis: Die erste Aussage ist trivial, und weil D

(x) = 1 + 2 ·

N

X

n=1

cos(nx) ist, folgt:

Z

D

(x) dx = π + 2 ·

N

X

n=1

1

n sin(nx)

π 0

= π.

Wir betrachten noch einmal die Funktion f

(x) :=







π − x

2 f¨ ur 0 < x < 2π,

0 f¨ ur x = 0 und x = 2π.

Sie hat die Fourierreihe S

(x) =

∞

X

n=1

sin(nx)

n .

Behauptung: Die Fourierreihe von f

konvergiert gleichm¨ aßig auf jedem Intervall [ε, 2π − ε].

Beweis dazu: Es sei

R

(x) := T

(x) − f (x) =

N

X

n=1

sin(nx)

n − 1

2 (π − x) f¨ ur ε ≤ x ≤ 2π − ε und kleines ε > 0. Dann ist

R

(x) =

N

X

n=1

Z

cos(nt) dt + 1 2

Z

dt

= Z

π

"

1 2 +

N

X

n=1

cos(nt)

# dt

= 1 2

Z

D

(t) dt = Z

π

sin(N +

)t 2 sin

dt.

Man kann zeigen:

|R

(x)| ≤ 2

(2N + 1) sin

≤ 2

(2N + 1) sin

f¨ ur ε ≤ x ≤ 2π − ε.

Das bedeutet aber, daß (R

) f¨ ur N → ∞ gleichm¨ aßig gegen Null konvergiert, und damit (T

) gleichm¨ aßig gegen f

.

In der N¨ ahe von x = 0 ist die Konvergenz nicht mehr gleichm¨ aßig. Wie macht sich das bemerkbar?

Wir m¨ ussen die Werte der Partialsummen T

(x) =

N

X

n=1

sin(nx)

n in der N¨ ahe von x = 0 absch¨ atzen. Um etwaige Maxima zu ermitteln, berechnen wir die erste Ab- leitung:

T

(x) =

N

X

n=1

cos(nx) = sin(N +

)x 2 sin

− 1

2 . Also ist

T

(x) = 0 ⇐⇒ sin(N + 1

2 )x = sin x 2 . Bei festem N kann x so klein gew¨ ahlt werden, daß

0 < x

2 < (N + 1

2 )x < π

ist. Da der Sinus zwischen 0 und π jeden Wert (zwischen 0 und 1 ) genau zweimal annimmt, und zwar symmetrisch zu x =

, tritt die erste positive Nullstelle von T

genau dort auf, wo

x

2 + (N + 1

2 )x = π ist, also bei x = x

:= π N + 1 .

Da T

(0) = 0 und T

(x

) > 0 ist und dazwischen kein Extremwert liegt, muß T

in x

ein Maximum besitzen. Wir wollen den Wert von T

in diesem Maximum berechnen:

T

(x

) = T

(x

) − T

(0) = Z

0

T

(t) dt

= 1 2

Z

0

sin(N +

)t

sin

dt − x

2 . F¨ ur großes N und 0 ≤ t ≤ x

ist sin(

) <

, also

T

(x

) >

Z

0

sin(N +

)t

t dt − x

2 . Mit der Substitution u = u(t) = (N + 1

2 )t ist Z

0

sin(N +

)t

t dt =

Z

sin(u)

u du

mit ε

:= 1 2N + 2 .

L¨ aßt man N gegen Unendlich gehen, so strebt ε

gegen Null und

gegen Null.

Also n¨ ahert sich T

(x

) f¨ ur großes N einem Wert, der ¨ uber der festen Zahl Z

0

sin(u)

u du = 1.85193705 . . . liegt, w¨ ahrend

x→0+

lim f(x) = π

2 = 1.570 . . .

ist. Die Partialsummen der Fourierreihe schießen in der N¨ ahe der Unstetigkeitsstelle um einen unangenehm hohen Betrag ¨ uber das Ziel hinaus, und die Approximation wird um so schlechter, je gr¨ oßer das N ist. Dieses Verhalten wird das Gibbs’sche Ph¨ anomen genannt, und es ist bei allen unstetigen st¨ uckweise glatten periodischen Funktionen zu beobachten.

Betrachten wir noch zwei Partialsummen im Bild:

π 2π

1

- π - 2π

- 1

s s

s

T

(x)

π 2π

1

- π - 2π

- 1

s s

s

T

(x)

1.15 Satz ¨ uber gleichm¨ aßige Konvergenz von Fourierreihen.

Die Funktion f sei st¨ uckweise glatt, periodisch und zus¨ atzlich stetig. Dann konver- giert die Fourierreihe von f gleichm¨ aßig gegen f.

Beweis:

Sei S

(x) = a

2 +

∞

X

n=1

(a

cos(nx) + b

sin(nx)).

Die Funktion g := f

ist st¨ uckweise stetig, also kann man formal auch ihre Forier-

reihe bilden:

S

(x) = c

2 +

∞

X

n=1

(c

cos(nx) + d

sin(nx)).

Weil f stetig und st¨ uckweise glatt ist, kann man partielle Integration anwenden:

c

= 1 π

Z

−π

f

(t) cos(nt) dt

= 1

π (f (t) cos(nt))

π

−π

+ 1 π

Z

−π

f (t)n sin(nt) dt

= n · b

und

d

= 1 π

Z

−π

f

(t) sin(nt) dt

= 1

π (f(t) sin(nt))

π

−π

− 1 π

Z

−π

f (t)n cos(nt) dt

= −n · a

. Außerdem ist

c

= 1 π

Z

−π

f

(t) dt = 1 π f (t)

π

−π

= 0.

Nun erinnern wir uns an die Besselsche Ungleichung:

∞

X

n=1

(c

+ d

) ≤ 1 π

Z

−π

f(t)

dt.

Daraus folgt, daß die Reihe

∞

X

n=1

(c

+ d

) konvergent ist. Andererseits gilt:

0 ≤

|c

| − 1 n

= c

− 2|c

|

n + 1

n

und 0 ≤

|d

| − 1 n

= d

− 2|d

|

n + 1

n

. Also ist

|a

| + |b

| = |c

|

n + |d

| n ≤ 1

2 (c

+ d

+ 2 n

).

Damit besitzt S

(x) eine konvergente Majorante, und nach dem Weierstraß–

Kriterium ist S

(x) gleichm¨ aßig konvergent.

Im Beispiel der Reihe

∞

X

n=1

sin(nx)

n hatten wir etwas mehr herausbekommen, n¨ amlich

die gleichm¨ aßige Konvergenz auf jedem abgeschlossenen Intervall, das keine Uns-

tetigkeitsstelle enth¨ alt. Auch das ist ganz allgemein richtig:

1.16 Konvergenzverhalten außerhalb der Sprungstellen. Ist f st¨ uckwei- se glatt und periodisch und [a, b] ein abgeschlossenes Intervall, das keine der Un- stetigkeitsstellen von f enth¨ alt, so konvergiert die Fourierreihe S

(x) auf [a, b]

gleichm¨ aßig gegen f . Beweis: Sei ψ(x) :=

∞

X

n=1

sin(nx)

n die Funktion aus dem Beispiel. Dann hat ψ in [−π, +π] genau eine Sprungstelle der H¨ ohe π, n¨ amlich bei x = 0.

Sei x

∈ [−π, π] ein Punkt, h eine reelle Zahl. Dann hat die Funktion h

π ψ(x − x

) nur jeweils in den Punkten x

+ 2kπ eine Sprungstelle (von der H¨ ohe h ), und von diesen Stellen liegt nur x

selbst in [−π, π].

Hat jetzt f (x) in [−π, π] die Sprungstellen x

, x

, . . . , x

mit den H¨ ohen h

, h

, . . . , h

, so hat

F (x) := f (x) −

k

X

i=1

h

π ψ(x − x

)

¨

uberhaupt keine Sprungstellen mehr. Die Fourierreihe S

konvergiert ¨ uberall gleichm¨ aßig, und die Fourierreihe des Korrekturterms konvergiert auf jedem abge- schlossenen Intervall gleichm¨ aßig, das keine der Sprungstellen x

, x

, . . . , x

enth¨ alt.

Daraus folgt die Behauptung.

1.17 Fourierkoeffizienten gerader und ungerader Funktionen. S

(x) = a

2 +

∞

X

n=1

(a

cos(nx) + b

sin(nx)) sei die (formale) Fourierreihe einer st¨ uckweise stetigen Funktion f (x). Dann gilt:

1. Ist f gerade (also f(−x) = f(x) ), so ist b

= 0 f¨ ur n ≥ 1.

2. Ist f ungerade (also f (−x) = −f(x) ), so ist a

= 0 f¨ ur n ≥ 0.

Beweis: Ist f gerade, so ist f (x) sin(nx) f¨ ur jedes n ≥ 1 ungerade, und dann ist b

= 1

π Z

−π

f (t) sin(nt) dt = 0,

weil sich die positiven und die negativen Teile gerade wegheben.

Ist f ungerade, so ist a

= 0 und f (x) cos(nx) ungerade, also auch a

= 0 f¨ ur n ≥ 1.

Beispiele.

1. Wir beginnen mit einer Fourierreihe, zu der wir die passende Funktion suchen:

Sei F (x) :=

∞

X

n=1

cos(nx)

n

. Da die konvergente Reihe

∞

X

n=1

1

n

eine Majorante ist, konvergiert F (x) ¨ uberall gleichm¨ aßig, stellt also eine stetige Funktion dar.

Die gliedweise differenzierte Reihe

∞

X

n=1

− sin(nx)

n = x − π

2 konvergiert auf jedem Intervall I

= [ε, 2π − ε] gleichm¨ aßig. Auf solchen Intervallen ist also F

(x) = x − π

2 , d.h. F (x) =

x − π 2

+ C mit einer Konstanten C.

Die Gleichung gilt zun¨ achst nur außerhalb der Punkte 2nπ, aber da F (x) als gleichm¨ aßiger Limes von stetigen Funktionen selbst wieder stetig ist, gilt sie sogar ¨ uberall. Nun ist

Z

F (x) dx = Z

0

x − π 2

dx + 2πC

= (x − π)

12

2π

0

+2πC

= π

6 + 2πC

und andererseits wegen der gleichm¨ aßigen Konvergenz von F (x) Z

0

F (x) dx =

∞

X

n=1

Z

cos(nx) n

dx

=

∞

X

n=1

sin(nx) n

2π 0

= 0.

Also ist C = − π

12 und

∞

X

n=1

cos(nx) n

=

x − π 2

− π

12 . Der Fall x = 0 ergibt insbesondere die Formel

∞

X

n=1

1 n

= π

6 .

So liefert uns die Fouriertheorie den Grenzwert einer Reihe, deren Konvergenz uns schon lange bekannt ist.

2. Als n¨ achstes betrachten wir die Fourierreihe einer stetigen Funktion:

π 2π 1

2 3

- π - 2π

Wir definieren f (x) := |x| auf [−π, π] und setzen wie ¨ ublich periodisch fort.

Dann erhalten wir folgende Fourierkoeffizienten:

a

= 1 π

Z

−π

f (t) dt

= 2

π Z

0

t dt

= 1

π · t

π 0

= π, a

= 1

π Z

−π

f (t) cos(nt) dt

= 2

π Z

0

t cos(nt) dt

= 2

π

t · sin(nt) n

π 0

−

Z

sin(nt) n dt

= 2

π · cos(nt) n

π

0

= 2

n

π (cos(nπ) − 1)

= 2

n

π ((−1)

− 1) =

( 0 falls n gerade

− 4

n

π falls n ungerade und b

= 0, weil f eine gerade Funktion ist.

Also erhalten wir die Fourierreihe

S

(x) = π 2 − 4

π

∞

X

k=0

cos((2k + 1)x) (2k + 1)

= π

2 − 4

π (cos(x)+ cos(3x)

3

+ cos(5x)

5

+· · · ) .

Hier ist schon T

(x) eine gute Approximation:

π 2π 1

2 3

- π - 2π

Insbesondere ergibt sich f¨ ur x = 0:

0 = π 2 − 4

π

∞

X

k=0

1

(2k + 1)

, also

∞

X

k=0

1

(2k + 1)

= π

8 . 3. Schließlich betrachten wir noch einen typischen

” Rechteckimpuls“:

f (x) :=







−1 falls − π < x < 0, 0 f¨ ur x = 0,

1 falls 0 < x < π.

π 2π

1

- π - 2π

s s s

−1

Da f eine ungerade Funktion ist, ist a

= 0 f¨ ur alle n. Weiter gilt:

b

= 1 π

Z

−π

f(t) sin(nt) dt

= 2

π Z

0

sin(nt) dt

= − 2

π · cos(nt) n

π 0

= − 2

πn ((−1)

− 1)

=

( 0 falls n gerade, 4

πn falls n ungerade.

Die Fourierreihe hat also die Gestalt S

(x) = 4

π

∞

X

k=0

sin((2k + 1)x) 2k + 1 .

Wegen der Unstetigkeitsstellen tritt nat¨ urlich wieder das Gibbs’sche Ph¨ ano- men auf! Wir skizzieren das Polynom T

(x) :

π 2π

1

- π - 2π

s s s s s

−1

§ 2 Die Fouriertransformation

Im Falle einer periodischen Funktion f mit der Periode T setzen wir ω := 2π/T und erhalten die Fourierreihe

S

(t) =

+∞

X

k=−∞

c

e

,

mit den Koeffizienten c

= 1 T

Z

−T /2

f(s)e

ds = ω 2π

Z

−T /2

f (s)e

ds.

Will man von periodischen zu nicht-periodischen Funktionen ¨ ubergehen, so muss man T → ∞ gehen lassen, also ω → 0. Setzt man ω

:= kω, so ist

S

(t) = 1 2π

+∞

X

k=−∞

e

Z

−T /2

f (s)e

ds ω

k . Im Grenz¨ ubergang erh¨ alt man auf der rechten Seite den Ausdruck

1 2π

Z

−∞

e

Z

−∞

f(s)e

ds dω.

Dies ist allerdings nur eine heuristische Betrachtung.

Sei f : R → C eine st¨ uckweise stetige Funktion, so dass das uneigentliche Integral Z

−∞

|f(t)| dt

konvergiert. Dann kann man zeigen, dass das Integral F (ω) :=

Z

−∞

f (t)e

dt eine stetige Funktion auf R darstellt. Außerdem ist lim

ω→∞

F (ω) = 0. Ist sogar |t · f(t)|

¨

uber R absolut integrierbar, so ist F stetig differenzierbar und F

(ω) = −j ·

Z

−∞

t · f(t)e

dt.

Definition.

F (ω) :=

Z

−∞

f(t)e

dt heißt die Fourier-Transformierte von f .

Man schreibt auch F (ω) = f(ω) b oder F = F[f ].

f heißt Originalfunktion oder Urbildfunktion, F heißt Spektralfunktion oder Bild- funktion. Den Zusammenhang zwischen Originalfunktion und Bildfunktion macht man auch mit folgender Symbolik deutlich:

f (t) ◦−−• F (ω)

Bemerkung. Die Fourier-Transformierte f b ist wie folgt beschr¨ ankt:

| f b (ω)| = | Z

−∞

f (t)e

dt| ≤ Z

−∞

|f(t)| dt.

Die Funktionen f = f(t) sind im sogenannten Original- oder Zeitbereich angesie- delt. Man kann sich darunter irgendwelche eingehenden elektromagnetischen Si- gnale vorstellen. Mit Hilfe der Fourier-Transformation wird das Signal wie beim Empfang durch eine Antenne als kontinuierliche ¨ Uberlagerung von harmonischen Schwingungen dargestellt. Die im Bild- oder Frequenzbereich angesiedelte Fourier- Transformierte F = F (ω) beschreibt, welchen Beitrag die verschiedenen Frequen- zen leisten.

Beispiele.

1. Wir beginnen mit dem

” Rechteck-Impuls“

π(t) :=

1 f¨ ur |t| ≤ 1 0 f¨ ur |t| > 1.

s s

−1 1

1

Die Fourier-Transformierte F = F [π] ist gegeben durch F (ω) =

Z

−1

e

dt

= j

ω · e

1

−1

= j

ω · (e

− e

)

= 2

ω · sin(ω).

F¨ uhren wir die Schreibweise

si(x) := sin x x ein, so erhalten wir:

π(t) ◦−−• 2si(ω) .

2. Als n¨ achstes betrachten wir den symmetrisch abfallenden Impuls f (t) := e

.

f ist stetig und absolut integrierbar:

Z

−∞

|f(t)| dt = 2 Z

0

e

dt = 2 · e

−a

∞ 0

= 2

a . 1

t

Die Fourier-Transformierte ist gegeben durch F (ω) =

Z

−∞

e

e

dt

= Z

0

e

dt + Z

−∞

e

dt

= − 1

a + j ω e

∞

0

− 1

−a + j ω e

0

−∞

= 1

a + j ω − 1

−a + j ω

= −2a

−ω

− a

= 2a

ω

+ a

. Also haben wir:

e

◦−−• 2a a

+ ω

.

2/a

ω

Man beachte, dass man zu vielen Standard-Funktionen nicht die Fourier-Transformierte

bilden kann (z.B. Konstante, sin, cos usw.) !

2.1 Eigenschaften der Fourier-Transformation.

1. F [f

+ f

] = F [f

] + F [f

].

2. Ist α ∈ C , so ist F[α · f] = α · F [f ].

3. f(t − c) ◦−−• f(ω)e b

. 4. f(at) ◦−−• 1

|a| · f b ω a

.

Beweis: (1) und (2) sind trivial.

Zu (3):

Z

−∞

f (t − c)e

dt = Z

−∞

f (s)e

ds = e

Z

−∞

f(s)e

ds.

Zu (4):

Sei ϕ(t) := at. Im Endlichen gilt : Z

α

g(at) dt = 1 a

Z

g(ϕ(t))ϕ

(t) dt

= 1

a Z

aα

g(s) ds

= 1

|a| · Z

|a|α

g(s) ds.

Also gilt auch Z

−∞

f (at)e

dt = 1

|a|

Z

−∞

f(s)e

ds = 1

|a| f b ω a

.

Beispiele.

1. Wir betrachten einen etwas modifizierten Rechteck-Impuls:

π

:= A · π( 2 T t) =

A f¨ ur |t| ≤

0 f¨ ur |t| >

. Dann gilt:

π

◦−−• A · T · si( T

2 ω).

2. Als n¨ achstes untersuchen wir einen modifizierten und verschobenen Rechteck- Impuls:

f(t) := π( t − a T ) =

1 f¨ ur |t − a| ≤ T 0 f¨ ur |t − a| > T.

Wir gehen aus von der Beziehung π(t) ◦−−• 2si(ω).

Sei f

(t) := π(t − a

T ). Dann ist f (t) = π( 1 T t − a

T ) = f

( 1

T t). Damit folgt:

f

(t) ◦−−• b π(ω)e

= 2si(ω)e

und

f (t) ◦−−• T · f b

(T ω) = 2T · si(T ω)e

. 2.2 Translation im Bildbereich.

Wenn f (t) ◦−−• F (ω), dann e

f (t) ◦−−• F (ω − ω

).

Beweis: Es ist

F (ω − ω

) = Z

−∞

f(t)e

dt

= Z

−∞

f (t)e

e

dt.

Beispiel.

Wir berechnen die Fourier-Transformierte einer amplitudenmodulierten Cosinus- Schwingung:

f (t) := e

· cos(Ωt), Ω, a ∈ R , a > 0.

1

−1 π

2

t

Wir erinnern uns an die Formeln

e

= cos z + j sin z

und e

= cos z − j sin z.

Also ist cos z = 1

2 (e

+ e

) und f (t) = 1

2 e

(e

+ e

).

Nun haben wir:

e

◦−−• F (ω) = 2a a

+ ω

, also e

e

◦−−• F (ω − Ω) = 2a

a

+ (ω − Ω)

und e

e

◦−−• F (ω + Ω) = 2a

a

+ (ω + Ω)

, und damit e

cos(Ωt) ◦−−• a

a

+ (ω − Ω)

+ a

a

+ (ω + Ω)

.

−Ω Ω

2a a²+Ω²

ω

2.3 Die Fouriertransformierte der Ableitung. Sei f : R → C stetig und st¨ uckweise glatt. Außerdem seien f und f

¨ uber R absolut integrierbar. Dann gilt:

f

(t) ◦−−• j ω · f b (ω).

Beweis: Auf Grund der Voraussetzungen muss lim

f (x) = lim

f (x) = 0 sein. Außerdem kann man partielle Integration anwenden:

Z

−N

f

(t)e

dt = f(t)e

M

−N

− Z

−N

f(t)(−j ω)e

dt.

F¨ ur N, M → ∞ strebt der erste Summand auf der rechten Seite gegen 0 und der zweite gegen j ω · f b (ω).

Bemerkung. Bei h¨ oherer Differenzierbarkeit erh¨ alt man die Formel f

(t) ◦−−• (j ω)

· f b (ω).

Auf die Einzelheiten gehen wir hier nicht ein.

2.4 Die Ableitung der Fouriertransformierten. Sei f st¨ uckweise stetig. Die Funktionen f und t 7→ t · f(t) seien ¨ uber R absolut integrierbar.

Dann ist f b stetig differenzierbar, und es gilt:

t · f (t) ◦−−• j · f b

(ω).

Beweis: Auf Grund der Voraussetzungen existiert f b und ist stetig differenzier- bar. Außerdem gilt:

f b

(ω) = Z

−∞

f (t)(−j t)e

dt

= −j Z

−∞

t · f (t)e

dt

= −j · F[t · f (t)].

Daraus folgt die Behauptung.

Beispiel.

Sei f (t) := e

. Die Funktion ist stetig, ≥ 0 und ¨ uber R absolut integrierbar.

Also existiert die Fourier-Transformierte f (t) ◦−−• F (ω) =

Z

−∞

f(t)e

dt.

f ist sogar stetig differenzierbar, und f

(t) = −2t·e

= −2t·f (t) ist ebenfalls absolut integrierbar. Wir haben deshalb zwei Darstellungsm¨ oglichkeiten f¨ ur die Fourier-Transformierte von f

(t) :

f

(t) ◦−−• −2j F

(ω) (Ableitung der Fouriertransformierten) und f

(t) ◦−−• j ωF (ω) (Fouriertransformierte der Ableitung) Also ist

F

(ω) = − ω 2 F (ω) und F (0) = √

π.

Das ist eine gew¨ ohnliche DGL 1. Ordnung mit Anfangsbedingung. Die L¨ osung ist in diesem Fall einfach:

(ln F )

(ω) = F

(ω)

F (ω) = − ω 2 , also

ln F (ω) = − ω

4 + const., d.h. F (ω) = C · e

, und wegen der Anfangsbedingung ist C = √

π. Also haben wir:

f(t) = e

◦−−• F (ω) = √

πe

.