Aufgabe A6.1: Die Binomialverteilung

Grundlagen der Quantenmechanik und Statsitik SoSe 17 Vorlesung: Dr. Bj¨ orn Eichmann

Ubungen: Dr. Fabian Bos ¨

Anwesenheits¨ ubung A6 Datum: 11.07.2017

Aufgabe A6.1: Die Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt multiple Ausf¨ uhrungen von Versuchen, die diskret zwei Ergebnisse liefern k¨ onnen. Die Wahrscheinlichkeit bei n Ereignisssen k Treffer nachzuweisen ist

P (k) = n!

k!(n − k)! p

(1 − p)

, (1) mit der Effizienz p. Es l¨ asst sich zeigen, dass der Mittelwert der Binomialverteilung ist

hki =

n

X

k=0

k · P (k) = n · p. (2)

Betrachten Sie als Beispiel die Detektion eines Myons. Eine Nachweiskammer bestehe aus n = 10 hin- tereinander aufgebauten Geigerz¨ ahlern. Ein Myon gilt als nachgewiesen, wenn es k dieser n Kammern angesprochen haben.

(a) Wie hoch ist die Effizienz, wenn k = 8 Kammern angesprochen werden? Berechnen sie auch die Wahrscheinlichkeit.

(b) * Leiten Sie die Gleichung (2) her.

Aufgabe A6.2: Die Normal- oder Gauß-Verteilung

Mit der Normal-Verteilung (auch Gauß-Verteilung genannt) werden sowohl zuf¨ allige Messfehler, als auch Fertigungsfehler beschrieben. Nach dem zentralen Grenzwertsatz wird eine ¨ Uberlagerung einer großen Anzahl von kleinen Fehlern ebenfalls durch eine Normal-Verteilung beschrieben. Die Wahrschein- lichkeitsdichte hat die Form

f (x) = 1 σ √

2π exp

− (x − µ)

2σ

, (3)

mit dem Erwartungswert µ und der Varianz σ

= V (X) = E ((X − µ)

) [Standardabweigung ist σ = p

V (X)]. Im Folgenden sollen die Eigenschaften der Normal-Verteilung untersucht werden.

(a) Bestimmen Sie das Maximum und die Wendepunkte der Wahrscheinlichkeitsdichte.

(b) Die Kenngr¨ oße FWHM (Full Width at Half Maximum ) hat eine große praktische Bedeutung zum Beispiel in der Optik und bei Antennen. Berechnen Sie die FWHM f¨ ur die Normal-Verteilung in Abh¨ angigkeit von σ.

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