10. November 2010

(1)

10. November 2010

PD Dr. H. Kohler, C. Recher

Quantentheorie f¨ ur Nanoingenieure — ¨ Ubung 4

Abgabe: 17.11 2010

H8. Fouriertransformation

Die Fouriertransformierte ist definiert als f e (k) = 1

√ 2π Z

dxf(x)e ^−ikx , f(x) = 1

√ 2π Z

dk f e (k)e ^ikx (1) Beweisen Sie die folgenden Relationen zwischen einer Funktion und ihrer Fouriertrans- formierten

f(x + x 0 ) ←→ f e (k)e ^ikx

⁰

d

dx f (x) ←→ ik f e (k) 1

2π Z

dx ⁰ f (x − x ⁰ )g(x ⁰ ) ←→ f e (k) e g(k) (2)

H9. Ortsoperator im Impulsraum

Zeigen Sie, dass der Ortsoperator ˆ ~ x in der Impulsbasis die Darstellung

i ~ ∇ _k =





 i∂

∂k x

i∂

∂k _y i∂

∂k z







(3)

besitzt.

H10. Hermitesche Operatoren

Zeigen Sie, dass ein hermitescher Operator nur reelle Eigenwerte haben kann.

H11. Spinoperatoren

Die Spinoperatoren sind durch die drei Matrizen S ˆ x = ~

2 0 1

1 0

, S ˆ y = ~ 2

0 −i i 0

, S ˆ z = ~ 2

1 0 0 −1

(4)

(2)

beschrieben. Nur einer der drei Operatoren kann diagonal gew¨ ahlt werden, warum? In der Regel nimmt man den Operator ˆ S _z . Man bezeichnet die Eigenvektoren von ˆ S _z mit

| ↑i und | ↓i, so daß gilt S ˆ _z | ↑i = ~

2 | ↑i , S ˆ _z | ↓i = − ~

2 | ↓i (5)

Zeigen Sie: alle drei Operatoren haben dieselben Eigenwerte. Dr¨ ucken Sie die Eigen- vektoren von ˆ S _x und ˆ S _y durch | ↑i und | ↓i aus.

H12. Schr¨ odingers Katze

Schr¨ odingers Katze befindet sich in einer ¨ Uberlagerung der beiden Zust¨ ande |toti und

|lebendi

|ψ _Katze i = 1

√

10 |lebendi + 3

√

10 |toti . (6)

Jemand schaut nach wie es ihr geht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Katze danach noch lebt?

H13. δ-Distribution

In der Vorlesung war die wichtige Identit¨ at

∞

Z

−∞

dxe ^ikx = 2πδ(k) (7)

eingef¨ uhrt worden. Ein exakter Beweis dieser Indentit¨ at w¨ urde zu weit f¨ uhren. Man kann sie sich jedoch anschaulich klar machen. Betrachten Sie zu diesem Zweck das Integral

δ _N (k) = 1 2π

N

Z

−N

dxe ^ikx (8)

und drucken Sie das Ergebnis f¨ ur sehr großes N . Warum ist es plausibel, dass das Integral

10. November 2010

10. November 2010

PD Dr. H. Kohler, C. Recher

Quantentheorie f¨ ur Nanoingenieure — ¨ Ubung 4

Abgabe: 17.11 2010

H8. Fouriertransformation

Die Fouriertransformierte ist definiert als f e (k) = 1

√ 2π Z

dxf(x)e −ikx , f(x) = 1

√ 2π Z

dk f e (k)e ikx (1) Beweisen Sie die folgenden Relationen zwischen einer Funktion und ihrer Fouriertrans- formierten

f(x + x 0 ) ←→ f e (k)e ikx

d

dx f (x) ←→ ik f e (k) 1

2π Z

dx 0 f (x − x 0 )g(x 0 ) ←→ f e (k) e g(k) (2)

H9. Ortsoperator im Impulsraum

Zeigen Sie, dass der Ortsoperator ˆ ~ x in der Impulsbasis die Darstellung

i ~ ∇ k =













 i∂

∂k x

i∂

∂k y i∂

∂k z















(3)

besitzt.

H10. Hermitesche Operatoren

Zeigen Sie, dass ein hermitescher Operator nur reelle Eigenwerte haben kann.

H11. Spinoperatoren

Die Spinoperatoren sind durch die drei Matrizen S ˆ x = ~

2 0 1

1 0

, S ˆ y = ~ 2

0 −i i 0

, S ˆ z = ~ 2

1 0 0 −1

(4)

beschrieben. Nur einer der drei Operatoren kann diagonal gew¨ ahlt werden, warum? In der Regel nimmt man den Operator ˆ S z . Man bezeichnet die Eigenvektoren von ˆ S z mit

| ↑i und | ↓i, so daß gilt S ˆ z | ↑i = ~

2 | ↑i , S ˆ z | ↓i = − ~

2 | ↓i (5)

Zeigen Sie: alle drei Operatoren haben dieselben Eigenwerte. Dr¨ ucken Sie die Eigen- vektoren von ˆ S x und ˆ S y durch | ↑i und | ↓i aus.

H12. Schr¨ odingers Katze

Schr¨ odingers Katze befindet sich in einer ¨ Uberlagerung der beiden Zust¨ ande |toti und

|lebendi

|ψ Katze i = 1

√

10 |lebendi + 3

√

10 |toti . (6)

Jemand schaut nach wie es ihr geht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Katze danach noch lebt?

H13. δ-Distribution

In der Vorlesung war die wichtige Identit¨ at

∞

Z

−∞

dxe ikx = 2πδ(k) (7)

eingef¨ uhrt worden. Ein exakter Beweis dieser Indentit¨ at w¨ urde zu weit f¨ uhren. Man kann sie sich jedoch anschaulich klar machen. Betrachten Sie zu diesem Zweck das Integral

δ N (k) = 1 2π

N

Z

−N

dxe ikx (8)

und drucken Sie das Ergebnis f¨ ur sehr großes N . Warum ist es plausibel, dass das Integral

N lim →∞

∞

Z

dxf(x)e ^−ikx , f(x) = 1

dk f e (k)e ^ikx (1) Beweisen Sie die folgenden Relationen zwischen einer Funktion und ihrer Fouriertrans- formierten

f(x + x 0 ) ←→ f e (k)e ^ikx

dx ⁰ f (x − x ⁰ )g(x ⁰ ) ←→ f e (k) e g(k) (2)

i ~ ∇ _k =

∂k _y i∂

beschrieben. Nur einer der drei Operatoren kann diagonal gew¨ ahlt werden, warum? In der Regel nimmt man den Operator ˆ S _z . Man bezeichnet die Eigenvektoren von ˆ S _z mit

| ↑i und | ↓i, so daß gilt S ˆ _z | ↑i = ~

2 | ↑i , S ˆ _z | ↓i = − ~

Zeigen Sie: alle drei Operatoren haben dieselben Eigenwerte. Dr¨ ucken Sie die Eigen- vektoren von ˆ S _x und ˆ S _y durch | ↑i und | ↓i aus.

|ψ _Katze i = 1

dxe ^ikx = 2πδ(k) (7)

δ _N (k) = 1 2π

dxe ^ikx (8)