Anosov–Fl¨usse und das Theorem von Wojtkowski

Anosov–Fl¨ usse und das Theorem von Wojtkowski

Seminar ¨ uber Dynamische Systeme und Ergodentheorie

Gundula Meckenh¨ auser

15. September 2008

1 Hyperbolizit¨ at und Anosov-Fl¨ usse

Im folgenden bezeichne (M, g) eine kompakte, glatte Mannigfaltigkeit mit Riemannscher Metrikg.

Lokal k¨onnen dynamische Systeme durch lineare Abbildung approximiert werden, durch ihr Differential. Besitzt das Differential eine kontrahierende und eine expandierende Richtung, dann spricht man von Hyperbolizit¨at. Dieser Begriff wird hier n¨aher erkl¨art und in Zusammenhang mit (geod¨atischen) Fl¨ussen auf Mannigfaltigkeiten gestellt.

Definition. Seif :M →M ein Diffeomorphismus. Eine kompakte, f–invariante Teil- menge Λ⊂M heißt hyperbolisch, falls es f¨ur alle p∈Λ einedpf–invariante Spaltung

T_pM =E^s_p⊕E_p^u und Konstantenk >0 und 0< ρ <1< µ gibt, so dass:

kd_pfⁿ(v)k ≤kρⁿkvk ∀n≥0, v∈E_p^s kd_pf⁻ⁿ(v)k ≤kµ⁻ⁿkvk ∀n≥0, v∈E_p^u Ist Λ =M, dann heißtf Anosov Diffeomorphismus.

Beispiel. Betrachte den durch L:=

2 1 1 1

induzierten Diffeomorphismus FL:T² →T², (x, y) := (2x+y, x+y) mod 1

Die lineare Abbildungd_(0,0)F_L:T_(0,0)T² →T_(0,0)T² hat die Eigenwerte λ₁ = ³⁺

√ 5 2 >1 undλ2= ³⁻

√5

2 ∈(0,1) und es gilt

T_(0,0)T² = Eig(d_(0,0)F_L, λ₂)⊕Eig(d_(0,0)F_L, λ₁)

Diese Spaltung ist offensichtlichd_(0,0)F_L–invariant und f¨urv∈Eig(d_(0,0)F_L, λ₂) folgt:

d_(0,0)FL(v) =λ2v ⇒ k d_(0,0)FL

n

(v)k=λⁿ₂kvk Ebenso erhalten wir f¨urv∈Eig(d_(0,0)FL, λ1):

d_(0,0)FL(v) =λ1v ⇒ d_(0,0)FL

−1

(v) =λ⁻¹₁ v ⇒ k d_(0,0)FL

−n

(v)k=λ⁻ⁿ₁ kvk Nun betrachten wirt_p :T² →T²,v7→p+v. Das Differentiald_(0,0)t_p :T_(0,0)T² →T_pT² ist ein linearer Isomorphismus und damit erhalten wir f¨ur alle anderen Punktep ∈T² folgende Spaltung des Tangentialraumes:

TpT² =d_(0,0)tp(Eig(d_(0,0)FL, λ2))⊕d_(0,0)tp(Eig(d_(0,0)FL, λ1))

Definition. Sei φ^t : M → M der Fluss eines Vektorfeld X auf M. Eine kompakte, φ^t–invariante Teilmenge Λ ⊂ M heißt hyperbolisch, falls es f¨ur alle p ∈ Λ eine dpφ^t– invariante Spaltung

T_pM =E_p⁰⊕E_p^s⊕E_p^u

mitE_p⁰=RX(p) und Konstantenk >0 und 0< ρ <1< µ gibt, so dass:

kd_pφ^t(v)k ≤kρ^tkvk ∀t≥0, v∈E_p^s (1) kd_pφ^−t(v)k ≤kµ^−tkvk ∀t≥0, v∈E_p^u (2) Ein Flussφt:M →M heißt Anosov, falls ganz M eine hyperbolische Menge ist.

Bemerkung. In [2] wird gezeigt: Der geod¨atische Fluss einer kompakten, Riemann- schen Mannigfaltigkeit mit negativer Schnittkr¨ummung ist Anosov. Als Anwendung des folgenden Theorems von Wojtkowski werden wir dies f¨ur den Fall dimM = 2 beweisen.

2 Theorem von Wojtkowski

Bemerkung. Seiφ^t:M →M der Fluss eines VektorfeldX auf M. Dann gilt:

d_pφ^t(X(p)) =X(φ^t(p))∀p∈M

Betrachte den QuotientenvektorraumTb_pM :=T_pM/RX(p) mit kanonischer Projektion π : TpM → TbpM. Dann ist π ◦dpφ^t : TpM → Tb_φ^t_(p)M eine lineare Abbildung mit RX(p) ⊂ kerπ◦dpφ^t. Also gibt es nach der universellen Eigenschaft des Quotienten- vektorraumes genau eine lineare Abbildung A^t_p : Tb_pM → Tb_φ^t_(p)M, so dass folgendes Diagramm kommutiert:

T_pM ^dpφ

t//

π

T_φ^t_(p)M

π

Tb_pM

A^t_p

// bT_φ^t_(p)M

Mit der Flusseigenschaftφ^t+s=φ^t◦φ^s erhalten wir A^t+s_p =A^t_φs(p)◦A^s_p

Satz. Sei φ^t : M → M ein Fluss zum Vektorfeld X. Dann gilt: φ^t ist genau dann Anosov, falls es f¨ur alle p ∈ M eine A^t_p–invariante Spaltung Tb_pM = Eb_p^s ⊕Eb_p^u und Konstantenc, λ >0 gibt, so dass f¨ur alle t≥0 gilt:

kA^t_p(v)k ≤ce^−λtkvk ∀v∈Eb_p^s (3) kA^−t_p (v)k ≤ce^−λtkvk ∀v∈Eb_p^u (4)

Beweis. Eine Richtung ist einfach: Sei φ^tAnosov. Dann gilt:

TbpM =TpM/RX(p) = (E_p⁰⊕E_p^s⊕E_p^u)/RX(p)∼=Eb_p^s⊕Eb_p^u

wobei Eb_p^s := π(E_p^s) und Eb_p^u := π(E_p^u). Diese Spaltung ist offensichtlich A^t_p–invariant:

Sei ˆv∈Eb^s_p undv∈E_p^s so dass π(v) = ˆv, dann gilt:

A^t_p(ˆv) =A^t_p◦π(v) =π◦dpφ^t(v)

| {z }

∈E_p^s

∈Eb_p^s

Außerdem gilt:

kA^t_p(ˆv)k=kπ◦dpφ^t(v)k ≤ kd_pφ^t(v)k ≤kρ^tkvk Mitλ_s :=−ln(ρ) und geeignetemc_s erhalten wir

kA^t_p(ˆv)k ≤c_se^−λstkˆvk

Analog zeigt man die Invarianz von Eb_p^u und mit c := max{c_s, c_u}, λ := min{λ_s, λ_u} folgen (3) und (4).

Nun zur anderen Richtung. Sei TbpM = Eb_p^s⊕Eb_p^u eine A^t_p–invariante Spaltung, die (3) und (4) erf¨ullt. Wir w¨ahlen eine Riemannsche Metrik g auf M, so dass f¨ur alle p ∈M gilt:kX(p)k= 1 und identifizierenTb_pM mit (RX(p))^⊥⊂T_pM. Es gilt:

d_pφ^t(v) =A^t_p(ˆv) +g d_pφ^t(v), X(φ^t(p))

·X(φ^t(p)) Wir setzen:

E_p^s:={v+λ(p, v)·X(p)|v∈Eb_p^s} wobeiλso gew¨ahlt werden muss, dass E_p^s invariant unter dpφ^t ist.

d_pφ^t(v+λ(p, v)·X(p)) =d_pφ^t(v) +λ(p, v)·X(φ^t(p))

=A^t_p(v) + λ(p, v) +g(d_pφ^t(v), X(φ_t(p)))

·X(φ^t(p)) Nach Voraussetzung giltA^t_p(v)∈Eb_φ^st(p), also fordern wir f¨ur die Invarianz:

λ(p, v) +g(d_pφ^t(v), X(φ^t(p)) =λ(φ^t(p), A^t_p(v)) (5) Definiere

u(p, v) :=−d

dt g(dpφ^t(v), X(φ^t(p)))

|_t=0

⇒u(φ^t(p), A^t_p(v)) =−d

ds g(dpφ^s(v), X(φ^s(p)))

|_s=t

Nun definieren wir:

λ(p, v) :=

Z ∞

0

u(φ^s(p), A^s_p(v))ds

Das Integral konvergiert undλerf¨ullt tats¨achlich (5):

λ(φ^t(p), A^t_p(v)) = Z ∞

0

u(φ^t+s(p), A^t+s_p (v))ds

= Z ∞

t

u(φ^r(p), A^r_p(v))dr

=λ(p, v)− Z t

0

u(φ^s(p), A^s_p(v))ds

=λ(p, v) +g d_pφ^s(v), X(φ^s(p))

|^t₀

=λ(p, v) +g d_pφ^t(v), X(φ^t(p))

Definiere analog E_p^u := {v+µ(p, v)·X(p)| v ∈ Eb_p^u} mit passendem µ. Offensichtlich erhalten wirRX(p)⊕E_p^s⊕E_p^u=T_pM. F¨urv_s∈E_p^sundv_u ∈E_p^u gilt f¨ur positive Zeiten

kd_pφ^t(vs)k=kA^t_p(ˆvs)k ≤ce^−λtk(ˆvs)k ≤kρ^tkv_sk kd_pφ^−t(v_u)k=kA^−t_p (ˆv_u)k ≤ce^−λtk(ˆv_u)k ≤kµ^−tkv_uk wobeiρ:=e^−λ,µ:=e^λ und k:=c .

Definition. Es sei Q : T M → R eine quadratische Form, d.h. f¨ur jedes p ∈ M ist Qp :TpM →Reine quadratische Form aufTpM mit folgenden Eigenschaften

1. Q ist stetig inp.

2. Q_p kann aufTb_pM projiziert werden, d.h. f¨ur alle p∈M,v∈T_pM unda∈Rgilt Q_p(v+aX(p)) =Q_p(v)

3. Q ist nicht ausgeartet auf T M.b

4. Die Lie–Ableitung vonQ in RichtungX L_XQ:T M →R (L_XQ)p(v) := d

dt|_t=0Q_φ^t_(p)(dpφt(v)) ist stetig.

Dann heißt φ^t : M → M strikt monoton bzgl. der quadratischen Form Q, falls die Projektion der Lie–Ableitung auf das Quotientenb¨undel T Mb positiv definit ist.

Theorem von Wojtkowski. Jeder strikt monotone Flussφ^t:M →M ist Anosov.

Beweis. Betrachte das B¨undel der positiven Kegel C := {v ∈T Mb | Q(v) ≥ 0}und das B¨undel der negativen Kegel C⁰ :={v ∈ T M|b Q(v)≤0} bzgl. der quadratischen Form Q. Mit C(p) bezeichnen wir den positiven Kegel am Punkt p∈M.

Die stetige Abbildung

L_XQ:SMb →R, (p, v)7→(L_XQ)_p(v)

nimmt aufSMb ihr Infimumc1 := inf{(L_XQ)p(v)|(p, v)∈SM}b an. Nach Voraussetzung istL_XQpositiv definit, also ist c1 >0. Wir erhalten:

(L_XQ)p(v)≥c1 ∀(p, v)∈SMb

⇒(L_XQ)p

v kvk

≥c1 ∀(p, v)∈T M, vb 6= 0

⇒(L_XQ)_p(v)≥c₁kvk² ∀(p, v)∈T Mb (6) Außerdem gibt es eine Konstantec₂>0 so dass gilt:

kQ_p(v)k ≤c₂kvk² ∀(p, v)∈T Mb (7) Denn seiQnicht ¨uberall verschwindend, sonst ist (7) trivial. Betrachte die stetige Ab- bildung

kQk:SMb →R, (p, v)7→ kQ_p(v)k

Sie nimmt ihr Supremumc2 := sup{kQ_p(v)k| (p, v)∈SMb }an, welches gr¨oßer als Null ist da Q nicht ¨uberall verschwindet. Eine ¨ahnliche Betrachtung wie bei (6) liefert die gew¨unschte Absch¨atzung. Aus (6) und (7) folgt mita= _2c^c1

2: d

ds|_s=tQ(A^s(v))≥c₁kA^t(v)k ≥2akQ(A^t(v))k (8) Aus der ersten Ungleichung erhalten wir f¨ur alle t >0:

A^t(C)⊂int(C)∪ {0} (9)

A^−t(C⁰)⊂int(C⁰)∪ {0}

Integration der zweiten Ungleichung aus (8) liefert Q(A^t(v))

Q(v) ≥e^2at ∀ A^t(v)∈int(C) (10)

Q(A^t(v))

Q(v) ≤e^−2at ∀ A^t(v)∈int(C⁰) Nun zeigen wir, dass

C∞(p) := \

t≥0

A^t_φ−t(p)C(φ^−t(p))⊂Tb_pM C_∞⁰ (p) := \

t≥0

A^−t_φt(p)C⁰(φ^t(p))⊂TbpM

eineA^t_p–invariante Spaltung vonTb_pM mit den Eigenschaften des vorangehenden Satzes liefern. Es gilt:

A^s_pC∞(p) =A^s_p\

t≥0

A^t_φ−t(p)C(φ^−t(p))

=\

t≥0

A^s_p◦A^t_φ−t(p)C(φ^−t(p))

=\

t≥0

A^s+t_φ−t(p)C(φ^−t(p))

=\

t≥0

A^s+t_φ−(t+s)(φ^s(p))C(φ^−(s+t)φ^s(p))

= \

u≥s

A^u_φ−u(φ^s(p))C(φ^−uφ^s(p))

= \

u≥0

A^u_φ−u(φ^s(p))C(φ^−uφ^s(p))

=C∞(φ^s(p))

Also ist C∞(p) A^t_p–invariant. Beim vorletzten Gleichheitszeichen haben wir folgendes benutzt: F¨urt₂> t₁ >0 gilt

A^t_φ²−t2(p)C(φ^−t2(p))⊂A^t_φ¹−t1(p)C(φ^−t1(p)) Denn setzen wir in (9)p=φ^−t2(p) undt=t₂−t₁, so erhalten wir

A^t_φ²−t^−t2¹(p)C(φ^−t2(p))⊂int(C(φ^−t1(p))∪ {0} ⊂C(φ^−t1(p)

⇒ A^t_φ²−t2(p)C(φ^−t2(p)) =A^t_φ¹−t1(p)◦A^t_φ²−t^−t2¹(p)C(φ^−t2(p))⊂A^t_φ¹−t1(p)C(φ^−t1(p))

Betrachte nunC₁(p) := A¹_φ−1(p)C(φ⁻¹(p)) und C₁⁰(p) :=A⁻¹_φ1(p)C⁰(φ¹(p)). Dann gibt es Konstantenc₃,c₄>0 so dass

Qp(v)≥c3kvk² ∀v∈C1(p) (11)

−Q_p(v)≥c₄kvk² ∀v∈C₁⁰(p)

Denn sei 06=v∈C₁(p), sonst ist die Ungleichung (11) trivial. Die stetige Abbildung Q_p:

v

kvk|v∈C₁(p)

→R, v7→Q_p(v)

nimmt aus Kompaktheitsgr¨unden ihr Infimum c3 an. Dies ist gr¨oßer als Null, da nach (9) gilt:

06=v∈A¹_φ−1(p)C(φ⁻¹(p))⊂int C(φ⁻¹(p))

Analog folgt die Existenz vonc₄. F¨urv∈C∞(p)⊂C1(p) und t >0 folgt:

c2kvk² ≥Qp(v) =Qp(A^t_pA^−t_p v)≥e^2atQp(A^−t_p v)≥c3e^2atkA^−t_p vk² Mitb:=q

c2

c3 erhalten wir

kA^−t_p vk ≤be^−2atkvk ∀t≥0, v∈C∞(p) (12) F¨ur Eb_p^u := span(C∞(p)) bleiben sowohl die expandierende Eigenschaft (12), eventuell mit einer anderen Konstante bu, als auch die A^t_p–Invarianz erhalten. Analog definiert man denA^t_p–invarianten UntervektorraumEb_p^s:= span(C_∞⁰ (p)) und zeigt

kA^t_pvk ≤b_se^−2atkvk ∀t≥0, v∈C_∞⁰ (p) (13) f¨ur einb_s>0. Setzte schließlich b:= max{b_u, b_s}.

Es bleibt zu zeigen, dassTbpM =Eb_p^s⊕Eb_p^u. Daf¨ur zeigen wir, dass inEb_p^ueinl–dimensionaler Untervektorraum liegt: F¨ur jedest ≥0 ist Q_φ^−t_(p) eine nicht ausgeartete quadratische Form der Signatur (l, m). D.h. es gibt einen l–dimensionalen Unterraum auf dem die Form positiv definit ist. Insbesondere liegt dieser inC(φ^−t(p)). DaA^t_φ−t(p) ein Isomor- phismus ist, liegt auch inA^t_φ−t(p)C(φ^−t(p)) ein l–dimensionaler Unterraum. Betrachte nun:

G^t:={V ⊂A^t_φ−t(p)C(φ^−t(p))⊂Tb_pM|Vist l-dimensionaler Unterraum}

JedesG^tist nichtleer, abgeschlossenen und enthalten in der Grassmann-Mannigfaltigkeit:

G_l(Tb_pM) :={V ⊂Tb_pM|Vist l-dimensionaler Unterraum}

Sie ist kompakt und jeder endliche Schnitt ¨uber (G^t) ist nichtleer, denn f¨urt2 > t1>0 gilt: A^t_φ²−t2(p)(U_t2) ⊂ A^t_φ¹−t1(p)(U_t1). Also folgt: T

t≥0G^t 6= ∅, d.h. in C∞(p) liegt ein l–

dimensionaler Unterraum und damit auch in Eb_p^u. Genauso zeigt man, dass in Eb_p^s ein m–dimensionaler Unterraum liegt. Aus (12) und (13) folgtEb_p^u∩Eb^s_p =∅. Mit dimTb_pM = l+m erhalten wirTb_pM =Eb_p^s⊕Eb_p^u.

3 Anwendung des Theorems von Wojtkwoski

Zuerst eine Erinnerung an die Differentialgeometrie:

IstM eine kompakte, C^∞–Mannigfaltikeit mit Riemannscher Metrik, dann gibt es zu jedem Paar (p, v)∈T M genau eine auf ganz Rdefinierte Geod¨ateγ_(p,v):R→M mit

γ_(p,v)(0) =p

˙

γ_(p,v)(0) =v

Es bezeicheneSM :={(p, v)∈T M| kvk= 1}das Einheitssp¨ahrenb¨undel. Nun betrach- ten wir den geod¨atischen Flussφ^t:SM →SM der gegeben ist durch

φ^t(p, v) := γ_(p,v)(t),γ˙_(p,v)(t)

Dieser l¨asst SM tats¨achlich invariant, denn f¨ur Geod¨aten gilt: kγ(t)k˙ = const, also bekommen wir f¨ur alle tund (p, v)∈SM:

kγ˙_(p,v)(t)k=kγ˙_(p,v)(0)k=kvk= 1

Eine naheliegende Frage ist nun: Wann ist ein geod¨atischer Fluss Anosov? Im Folgenden wollen wir das Resultat, dass geod¨atische Fl¨usse auf kompakten Riemannschen Man- nigfaltikeiten mit negativer Schnittkr¨ummung Anosov sind, f¨ur den Fall dimM = 2 mit Hilfe des Theorems von Wojtkowski beweisen.

Satz. SeiM eine orientierte, kompakte, 2–dimensionaleC^∞–Mannigfaltikeit mit nega- tiver (nicht notwendig konstanter) Schnittkr¨ummung k. Dann ist der geod¨atische Fluss Anosov.

Beweis. Betrachte die Projektionπ :SM →M und die Liesche GruppeS¹. Es ist be- kannt, dass (SM, π, M, S¹) ein Hauptfaserb¨undel ist. Die fasertreue und auf den Fasern einfach transitive Wirkung vonS¹ aufSM ist gegeben durch:

A:SM×S¹ →SM (p, v), g

7→(p, gv)

SeiU eine Kartenumgebung von p∈M, dann bekommen wir lokal f¨ur (p, v)∈π⁻¹(U) folgende Zerlegung:

T_(p,v)SM =T_pM ⊕T_gS¹

wobeig∈S¹ so gew¨ahlt ist, dassv=g·e1f¨ur eine Orthonormalbasis{e₁, e2}vonTpM.

Die FaserE_p := π⁻¹(p) beschreibt in T_pM die KreislinieS¹. Es bezeichne _∂θ^∂ das Ein- heitstangentialvektorfeld anE_p. Damit defineren wir folgendes VektorfeldV ∈X(SM):

V(p, v) :=

0, ∂

∂θ|_g

Seiφ^t:SM →SMder geod¨atische Fluss zuM undX∈X(SM) das Vektorfeld welches den geod¨atischen Fluss erzeugt:

X(p, v) := d

dt γ_(p,v)(t),γ˙_(pv,)(t)

|_t=0= (v,0)

Die VektorfelderX und V sind in jedem Punkt linear unabh¨angig. Betrachte nun das Vektorfeld H = [V, X] ∈ X(SM), welches senkrecht zu X ist. Dann bilden X, V, H einen lokalen Rahmen f¨urT(SM) und es gilt nach [3]:

[X, H] =kV Also bekommen wir f¨urξ∈T_(p,v)SM

d_(p,v)φ^t(ξ) =x(t)X(φ^t(p, v)) +y(t)H(φ^t(p, v)) +z(t)V(φ^t(p, v))

und schreiben daf¨ur (kurz)dφ^t(ξ) =xX+yH+zV. Wenden wirdφ^−tauf diese Gleichung an, dann erhalten wir

ξ=xdφ^−t X(φ^t(p, v))

+ydφ^−t H(φ^t(p, v))

+zdφ^−t V(φ^t(p, v)) Differenzieren nacht und [X, Z](p) = _dt^d dpφ^−t(Z(φ^t(p)))

liefern 0 = ˙xdφ^−t X(φ^t(p, v))

+xdφ^−t([X, X]) + ˙ydφ^−t H(φ^t(p, v))

+ydφ^−t([X, H]) + ˙zdφ^−t V(φ^t(p, v))

+zdφ^−t([X, V])

=dφ^−t[ ˙xX(φ^t(p, v)) + ( ˙y−z)H(φ^t(p, v)) + ( ˙z+ky)Y(φ^t(p, v))]

Da das Differential ein Isomorphismus ist undX, V, Hin jedem Punkt linear unabh¨angig sind, erf¨ullen die Koeffizienten folgende Differentialgleichungen

˙ x= 0

˙ y=z

¨

y+ky= 0 Nun betrachten wir folgende 1–Form aufSM

α:SM → [

(p,v)

T_(p,v)^∗ (SM), α_(p,v)(ξ) :=g(d_(p,v)π(ξ), v)

Offensichtlich gilt α_(p,v)(V(p, v)) = 0. Wir zeigen nun, dass α_(p,v) auch auf (H(p, v)) verschwindet: Nach Voraussetzung istM eine orientierte, kompakte RiemannscheC^∞– Mannigfaltigkeit. Also gibt es eine fastkomplexe Struktur auf M, d.h. eine glatte Ab- bildungJ :T M →T M so dass J_p :=J|_TpM ein Isomorphismus ist mit J_p◦J_p =−Id.

Also entsprichtJp(v) dem Vektor der bei Drehung vonv um ^π₂ entsteht. Es folgt d_(p,v)π(H(p, v)) =J(v)

⇒ α_(p,v)(H(p, v)) = 0

Aus Dimensionsgr¨unden erhalten wir span{H, V} = kerα. Da ˙x = 0 ist der Kern von α_(p,v) dφ^t–invariant. Also bekommen wir f¨urη∈kerα

dφ^t(η) =yH+ ˙yV ∧ y¨+ky= 0

Setze f¨urξ =x(t)X(p, v) +y(t)H(p, v) +z(t)V(p, v) ausT_(p,v)SM Q:T(SM)→R, Q_(p,v)(ξ) =yz

Diese quadratische Form ist stetig und aufTb_(p,v)SM projiziert nicht ausgeartet. Es bleibt also zu zeigen, dass die Lie–Ableitung positiv definit ist: Sei ξ∈Tb_(p,v)SM ∼= kerα_(p,v), dann gilt

L_XQ_(p,v)(ξ) = d dt Q_φ^t

(p,v)(dφ^t(ξ)

|_t=0

= d dt Q_φ^t

(p,v)(yH+ ˙yV)

|_t=0

= d dt(yy)˙

= ˙y²−ky²

=z²−ky² >0

Also ist φ^t : SM → SM strikt monoton und mit dem Theorem von Wojtkowski folgt die Behauptung.

Literatur

[1] Maciej P. Wojtkowksi: Magnetic flows and Gaussian thermostats on manifolds of negative curvature. Fundamenta Mathematicae Vol. 163, 2000

[2] Anatole Katok und Boris Hasselblatt: Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1995 [3] Isadore M. Singer und John A. Thorpe: Lecture notes on elementary

topology and geometry. Springer, 1976