Angewandte Mathematik für die Informatik

(1)

Angewandte Mathematik f¨ ur die Informatik

PD Dr. Louchka Popova-Zeugmann PD Dr. Wolfgang K¨ossler

14. Mai 2021

1

(2)

Lineare Optimierung Allgemeine LOA

Ganzzahlige Optimierung

Differentialgleichungen

Differentialgleichungen 1.Ordnung Differentialgleichungen 2. Ordnung

Anhang

2

(3)

Lineare Optimierung

1. Das allgemeine lineare Optimierungsproblem (LOP) 1.1 Simplexalgorithmus

1.2 Lexikographischer Simplexalgorithmus 1.3 Die Hilfsaufgabe

1.4 Dualit¨at

2. Das ganzzahlige lineare Optimierungsproblem (ILP) 2.1 Gomory-Schnitt

2.2 Branch and Bound Verfahren (Idee)

3

(4)

Motivation

Optimales Verhalten ist oft gefragt auf den Gebieten der 1. Wirtschaft,

2. Technik, 3. Politik, 4. Alltag, (fast) ¨uberall...

4

(5)

5

(6)

6

(7)

7

(8)

8

(9)

Beispiel

Ein Portfolio-Unternehmen verfügt über 15 Millionen Dollar für Investitionen und es plant diese vollständig zu investieren. Das Unternehmen untersucht vier verschiedene Vermögensanlagen. Diese sind zusammen mit deren erwarteten Jahresertägen und den maximalen Geldbeträgen, die man jeweils in jede Anlage investieren möchte, in der folgenden Tabelle angegeben:

Investition Jahresertrag Maximaler Geldbetrag (in Dollar)

Schatzbriefe 7% $5 Mio

Stammaktie 9% $7 Mio

Geldmarkt (Fonds) 6% $12 Mio

Kommunalanleihen 8% $9 Mio

Ausgehend von der Wirtschaftslage sch¨atzt das Unternehmen, dass die Schatzbriefe und die Stammaktie sich gut im Laufe des Jahres entwickeln werden und entscheidet sich, mindestens 30% seines Investitionsvolumens dort einzusetzen. Die Investition im Geldmarkt und Kommunalanleihen wird dagegen auf h¨ochstens 40% limitiert.

Wie soll das Unternehmen seine Mittel einsetzen damit es einen maximalen Ertrag erzielt und dabei seine Bedingungen erf¨ullt?

9

(10)

Mathematisches Modell

Dies f¨uhrt zum folgenden mathemanischen Modell:

x1: Investitionsbetrag (in Dollar) für die Schatzbriefe x2: Investitionsbetrag (in Dollar) für die Stammaktie x3: Investitionsbetrag (in Dollar) für die Fonds

x4: Investitionsbetrag (in Dollar) f¨ur die Kommunalanleihen

30% von$15 Mio sind$4,5 Mio und 40% von$15 Mio sind$6 Mio. Damit erhalten wir folgendes Modell:

Maximiere 0,07·x1+ 0,09·x2+ 0,06·x3+ 0,08·x4

so dass x1+x2+x3+x4= 15

x1+x2≥4,5 x3+x4≤6

x1≤5 x2≤7 x3≤12 x4≤9 x1,x2,x3,x4≥0

Und nun, wie findet man eine L¨osung?

Mit Hilfe der Linearen Optimierung!

10

(11)

Einige allgemeine Grundbegriffe

Definition 1.1 (Skalarprodukt in dem VR(Rⁿ,+,·) ¨uber dem K¨orper (R,+,·)).

Die Abbildungh., .i:Rⁿ×Rⁿ →R heißt Skalarprodukt, falls gilt:

I hv,wi=hw,vi f¨ur alle v,w ∈Rⁿ,

I hv₁+v₂,wi=hv₁,wi+hv₂,wi für alle v₁,v₂,w ∈Rⁿ, I hλ·v,wi=λ· hv,wi, für alle v,w ∈Rⁿ, λ∈R, I hv,vi ≥0 für alle v ∈Rⁿ und hv,vi= 0 gdw v= 0_n. Bemerkung 1.1.

Natürlich kann man den BegriffSkalarproduktauch in einem beliebigen VR über einem beliebigen Körper definieren. Dies verlangt jedoch zusätzliche Definitionen.

Für uns ist aber genau der VR(Rⁿ,+,·) über dem Körper(R,+,·) relevant.

11

(12)

Einige allgemeine Grundbegriffe

I Betrachten wir den VR (Rⁿ,+,·) ¨uber den K¨orper (R,+,·).

Dann isthv,wi:=

n

P

i=1

vi·wi ist ein SP.

Dieses Skalarprodukt wird Euklidisches SP oder Standard-SP genannt.

I Ab sofort bezeichnen wir den VR (Rⁿ,+,·) ¨uber den K¨orper (R,+,·) kurz nur Rⁿ.

12

(13)

Einige allgemeine Grundbegriffe

Definition 1.2.

Seienx1,· · ·,x_k Elemente (Punkte) ausRⁿ. Das Elementxheißt

1. einelineare Kombinationvonx1,· · ·,xk, wenn esk reele Zahlenλ1,· · ·, λk

gibt, so dass gilt:

x=

k

X

i=1

λi·xi,

2. eineaffine Kombinationvonx1,· · ·,xk, wenn

2.1 xist eine lineare Kombination vonx1,· · ·,x_k, etwax=

k

P

i=1

λ_i·x_i, und 2.2

k

P

i=1

λi= 1,

3. einekonvexe Kombinationvonx1,· · ·,xk, wenn 3.1 xist eine affine Kombination vonx1,· · ·,xk, etwa

x=

k

X

i=1

λi·xi mit

k

X

i=1

λi= 1 und

3.2 λi ≥0 for alli∈ {1, . . . ,k}.

13

(14)

Einige allgemeine Grundbegriffe

Definition 1.3 (konvexe H¨ulle).

SeiM :={x₁, . . . ,x_k} ⊆Rⁿ eine endliche Menge von Punkten in Rⁿ. Die Menge aller konvexen Kombinationen von{x₁, . . . ,xk} heißt diekonvexe H¨ullevon M (Bez.:conv{x₁, . . . ,x_k}).

Bezeichnung 1.2.

Seien x1,x2 zwei Punkte aus Rⁿ. Die konvexe H¨ulle conv{x₁,x2} heißt auchVerbindungsstreckezwischen x1 und x2.

Definition 1.4 (konvexe Menge).

Die MengeM ⊆Rⁿ heißt konvex, wenn f¨ur beliebigex1,x2 ∈M gilt auchconv{x₁,x₂} ⊆M.

14

(15)

Beispiele

konvexe Mengen

nicht konvexe Mengen

15

(16)

Grundbegriffe der Linearen Optimierung

Definition 1.5 (Lineares Optimierungsproblem).

Seix,c ∈Rⁿ,b∈R^m,A∈R^mxn. Das Problem (P) max/min{hc,xi |A·x =b,x ≥0}

heißt einLineares Optimierungsproblem (kurz: LOP).

Ein LOP wird auchLineare Optimierungsaufgabe (kurz: LOA) genannt.

Sei in dem Weiteren, o.B.d.A.,m≤n.

Bezeichnung 1.3.

M :={x∈Rⁿ|A·x =b,x≥0}heißt Restriktionsbereich oder Bedingungsmenge ,hc,xi wird Zielfunktion genannt.

16

(17)

Grundbegriffe der Linearen Optimierung: Example

Betrachten wir die LOA (P) mit

(P) max{2x1−7x2+ 5x3−4x4+x6|x1+ 2x2−x4+x5+ 2x6= 12 3x1+ 6x2+x3+ 2x4+ 3x5−4x6= 8 xi≥0,i= 1, . . . ,6}.

Dann ist

m= 2, n= 6,

A=

1 2 0 −1 1 2 3 6 1 2 3 −4

,

c= (2,−7,5,−4,0,1)^T, b= (12,8)^T.

17

(18)

Grundbegriffe der Linearen Optimierung

I Sei rg(A) =m. Dann existieren m linear unabh¨angige Spalten in der MatrixA. Seien diese, o.B.d.A., die ersten m.

I Sei A= (AB |AN), wobei AB aus den ersten mSpalten besteht.A_B heißt dann eine Basismatrixvon MatrixA.

I Daraus ergibt sich:

I c= cB

cN

und I x=

xB

xN

. Die Variablenx_i,i ∈B nennt manBasisvariablen(kurz: BV) und die Variablenx_j,j∈N–Nichtbasisvariablen(kurz: NBV).

BundN werden gleichzeitig auch als Bezeichnungen für Indexmengen (Nummer von Spalten in der MatrixA) verwendet:B steht für die Indexmenge vonmlinear unabhängigen Spalten ausA, die die MatrixAB bilden.N bezeichnet die Indexmenge der restlichen Spalten. Somit, fallsAB aus den erstenmSpallten besteht, dann istB={1,· · ·,m}undN={m+ 1,· · ·,n}.

18

(19)

Grundbegriffe der Linearen Optimierung: Example

Somit haben wir

A=

1 2 0 −1 1 2 3 6 1 2 3 −4

.

Betrachten wirA= (AB_i |AN_i) mit:

B1={1,2}, d.h.N1={3,4,5,6},so istAB1=

1 2

3 6

keineBasismatrix.

B2={1,3}, d.h.N2={2,4,5,6},so istAB₂=

1 0

3 1

eineBasismatrix.

B3={5,6}, d.h.N3={1,2,3,4},so istAB₃=

1 2

3 −4

aucheineBasis- matrix, etc.

19

(20)

Grundbegriffe der Linearen Optimierung

Betrachten wir die LOA max{hc,xi |A·x=b,x≥0}.

Definition 1.6 ((zul¨assiger) Basispunkt).

Der Punktx = x_B

x_N

= x_B

0n−m

mitA·x=b heißt Basispunkt vonA zur BasismatrixA_B.

Wenn zus¨atzlich gilt, dassx_B ≥0_m, dann heißt der Punktx ein zul¨assiger Basispunkt vonA zur BasismatrixAB.

Bemerkung 1.4.

Ein zul¨assiger Basispunkt geh¨ohrt zum Restriktionsbereich der betrachteten LOA.

0 bezeichnet hier ein Nullvektor entspr. Dimension, die manchmal als Index noch angegeben wird.

20

(21)

Grundbegriffe der Linearen Optimierung: Example

Wir haben schon festgestellt, dass:

f¨urB2={1,3}die MatrixAB₂ =

1 0

3 1

eineBasismatrix ist.

Folglich istx^∗= (xB₂ |0)^T ein (der!) Basispunkt zur BasismatrixB2. Aus A·x^∗=b bzw. AB₂·xB₂=b l¨asst sich berechnen, dass x1= 12undx3=−28, d.h.x^∗= (12,0,−28,0,0,0)^T.

Somit istx^∗kein zul¨assigerBasispunkt.

Analog l¨asst sich berechnen, dassx^∗∗= (0,0,0,0,6.4,2.8)^T derBasispunkt zur BasismatrixB3ist. Offensichtlich istx^∗∗ ein zul¨assiger Basispunkt.

21

(22)

Simplexalgorithmus

Wir betrachten erneut die LOA (P) max{hc,xi |A·x=b,x ≥0}.

F¨ur den Restriktionsbereich gilt:

A·x=b gdw (A_B |A_N)·

x_B xN

=b gdw

A_B ·x_B +A_N·x_N=b gdw A_B ·x_B=b−A_N ·x_N. Folglich gilt f¨ur den Restriktionsbereich:

x_B =A⁻¹_B ·b−A⁻¹_B ·A_N·x_N. (S1)

22

(23)

Simplexalgorithmus

F¨ur die Zielfunktion gilt:

hc,xi = hc_B,x_Bi+hc_N,x_Ni

= c_B^T ·xB+c_N^T ·xN

= c_B^T A⁻¹_B ·b−A⁻¹_B ·AN·xN

+c_N^T ·xN

= c_B^T ·A⁻¹_B ·b−c_B^T ·A⁻¹_B ·A_N·x_N+c_N^T ·x_N.

= c_B^T ·A⁻¹_B ·b− c_B^T·A⁻¹_B ·A_N−c_N^T

·x_N. (S2)

23

(24)

Simplexalgorithmus

Jetzt schreiben wir (S1) und (S2)komponentenweiseauf:

x_k =d_k0−X

j∈N

d_kj·x_j ∀k ∈B und hc,xi=d00−X

j∈N

d0j·xj

wobei

dk0 =

A⁻¹_B

k•·b, d_kj =

A⁻¹_B

k•· A_N

•j und d₀₀=c_B^T ·A⁻¹_B ·b.

24

(25)

Simplexalgorithmus

Damit ergeben sich f¨ur das LOP (P) folgende drei Schreibformen:

(P) = max{hc,xi |A·x=b,x≥0} (A)

= max{cT

B·A⁻¹_B ·b− cT

B·A⁻¹_B ·A_N−cT N

·x_N| x_B=

A⁻¹_B ·b−A⁻¹_B ·A_N·x_N≥0,x_N≥0} (B)

= max{d₀₀−P

j∈Nd_0j·x_j| x_k= d_k0−P

j6∈B

d_kj·x_j≥0 ∀k∈B,x_j≥0∀j∈N}. (C)

Aus (C) l¨aßt sich das erste Simplextableau aufstellen:

25

(26)

Simplexalgorithmus

Definition 1.7 (1. Simplextableau:).

NBV (N)

xm+1 . . . xj . . . xn

d_0,0 d_0,m+1 . . . d_0,j . . . d_0,n

x₁ d_1,0 d_1,m+1 . . . d_1,j . . . d_1,n

x2 d2,0 d2,m+1 . . . d2,j . . . d2,n

BV ... ... ... ... ...

(B) xi di,0 di,m+1 . . . di,j . . . di,n

... ... ... ... ...

x_m d_m,0 d_m,0

|{z}

A⁻¹_B ·b

d_m,m+1 . . . d_m,j . . . d_m,n dm,m+1 · · · d_m,j · · · dm,n

| {z }

A⁻¹_B ·A_N

Wenn A_B =E_m, so ist dannA⁻¹_B =E_m,A⁻¹_B ·b=b und A⁻¹_B ·A_N =A_N.

charakteristische Zeile

26

(27)

Simplexalgorithmus

Fragen: Antworten:

1. Was mache ich, wenn nicht alle Variablen nichtnegativ sind?

Transformation 2. Wie erhalte ich aus einem Ungleichungssystem ein

Gleichungssystem? Transformation

3. Wie finde ich leicht einen zul¨assigen Basispunkt?

Ein Hilfsproblem l¨osen

27

(28)

Simplexalgorithmus

ad (1):Sei xi eine beliebige Variable, d.h.xi ∈R.

Dann definieren wirx_i :=x_i⁺−x_i⁻, wobeix_i⁺≥0und x_i⁻≥0. Das ist offenbar immer m¨oglich! Beispiel: 7 = 8−1

= 17−10,

−5 = 3−8

= 0−5, etc.

DieseTransformation ist sehr einfach (linear). Sie erh¨oht aber die Dimension des betrachteten VRs.

28

(29)

Simplexalgorithmus

ad (2):Falls eine der Restriktionen, z.B. i-te, bei der Modellierung des Problems mit einer Ungleichung gegeben ist, etwa:

(A) a_i,1·x₁+· · ·+a_i,n·x_n≤b_i bzw.

(B) a_i,1·x₁+· · ·+a_i,n·x_n≥b_i, wobei o.B.d.A.b_i ≥0,

danntransformieren wirdie Ungleichungdurch Schlupfvariablen, hier mitui bezeichnet, zur einer Gleichung:

(A⁰) a_i,1·x₁+· · ·+a_i,n·x_n+u_i =b_i, u_i ≥0 bzw.

(B⁰) ai,1·x1+· · ·+ai,n·xn−ui =bi, ui ≥0.

Auch dieseTransformation ist sehr einfach (linear). Auch sie erh¨oht aber die Dimension des betrachteten VRs.

ad (3):Wird sp¨ater behandelt.

29

(30)

Beispiel: 1. Simplextableau

Beispiel 1.5.

Maximiere5·x1−x2, so dass

4·x₁+ 34·x₂ ≤17, 5·x1+ 12·x2 ≤9 und x2≥0.

(P) 5·x₁−x₂ −→max







4·x₁+ 34·x₂ ≤17 5·x1+ 12·x2 ≤9

x2 ≥0

(P⁰) 5·x₁⁺−5·x₁⁻−x2 −→max







4·x₁⁺−4·x₁⁻+ 34·x2 ≤17 5·x₁⁺−5·x₁⁻+ 12·x₂ ≤9

x₂ ≥0,x₁⁺≥0,x₁⁻ ≥0 undx1 =x₁⁺−x₁⁻.

(P⁰⁰) 5·x₁⁺−5·x₁⁻−x2−→max







4·x₁⁺−4·x₁⁻+ 34·x2+u1= 17 5·x₁⁺−5·x₁⁻+ 12·x₂+u₂= 9

x2 ≥0,x₁⁺≥0,x₁⁻ ≥0,u1≥0,u2≥0 BV: u1,u2, NBV: Rest, BM=E2.

Damit ist das erste Simplex-Tableau f¨ur (P) das folgende:

x x₁⁺ x₁⁻ x₂

0 -5 5 1

u1 17 4 -4 34

u₂ 9 5 -5 12

Dieses Simplextableau ist eineindeutig dem BP x= (x₁⁺,x₁⁻,x₂,u₁,u₂)^T= (0,0,0,17,9)^T zugeordnet.

30

(31)

Simplexalgorithmus

Frage:

Wie kann ich feststellen, ob ein Punkt optimal ist?

Antwort:

Satz 1.8.

Wenn d0j ≥0 f¨ur alle j ∈N, so ist dann der Punkt x=

d_i₀

i=1...m

0n−m

optimal f¨ur die LOA.

Bemerkung 1.6.

Offensichtlich ist der Punkt x ein zul¨assiger Basispunkt.

31

(32)

Simplexalgorithmus

Betrachten wir erneut das Beispiel 1.5:

(P⁰⁰) 5·x₁⁺−5·x₁⁻−x2−→max







4·x₁⁺−4·x₁⁻+ 34·x2+u1= 17 5·x₁⁺−5·x₁⁻+ 12·x₂+u₂= 9

x2 ≥0,x₁⁺≥0,x₁⁻ ≥0,u1≥0,u2≥0 BV:u1,u2, NBV: Rest, BM=E2.

Damit ist das erste Simplex-Tableau f¨ur (P) das folgende:

x₁⁺ x₁⁻ x₂

0 -5 5 1

u1 17 4 -4 34

u₂ 9 5 -5 12

Dann gilt nach Satz 1.8, dass der Punkt (x₁,x₂) = (0,0) nicht optimal f¨ur (P) ist.

32

(33)

Beweis von Satz 1.8

Sei (P) max{hc,xi |A·x =b,x ≥0} eine LOA mit dem RestriktionsbereichM, dh.M ={x ∈Rⁿ|A·x=b,x ≥0} und A= (A_B |A_N).

Seix ∈M beliebig. Dann gilt:

hc,xi=hc_B,xBi+hc_N,xNi

=

cB,A⁻¹_B b−A⁻¹_B ANxN

+hc_N,xNi

=

cB,A⁻¹_B b

−

cB,A⁻¹_B ANxN

+hc_N,xNi

=

c_B,A⁻¹_B b

| {z }

d0,0

−

(A⁻¹_B A_N)^Tc_B,x_N

+hc_N,x_Ni

=d_0,0− h(A⁻¹_B A_N)^Tc_B −c_N

| {z }

d0,j

j∈N

,x_Ni. (A)

33

(34)

Beweis von Satz 1.8 (Fortsetzung)

Wirwissen:ZF(x) =z =d₀₀.

Dad_0,j ≥0 f¨ur alle j ∈N ist, so folgt aus(A):

d0,j

j∈N = (A⁻¹_B AN)^TcB−cN ≥0n−m

⇒c_B^TA⁻¹_B A_N −c_N^T ≥0^T_n−m

⇒c_B^TA⁻¹_B A_N ≥c_N^T. (B)

Seiy ∈M beliebig und sei ZF(y) =z.

Zu zeigen: z ≥z f¨ur alle z, d.h. x ist optimal.

34

(35)

Beweis von Satz 1.8 (Fortsetzung)

Jetzt betrachten wir die Werte der Zielfunktion inx und y=

y_B y_N

. Es gilt:

z =ZF(y) =hc_B,y_Bi+hc_N,y_Ni

=c_B^Ty_B +c_N^Ty_N und wg.(B)

≤c_B^Ty_B +c_B^TA⁻¹_B A_Ny_N

=c_B^TA⁻¹_B ( AByB +ANyN

| {z }

=b,day∈M

)

=c_B^TA⁻¹_B b =d_0,0 =z 2

35

(36)

Simplexalgorithmus

Frage:

Wenn ein betrachteter Punkt nicht optimal ist, wie finde ich einen besseren?

Antwort:

Satz 1.9.

Wenn ein`∈N mit d_0`<0 existiert, so kann durch eine Basis- wechsel^∗ der Wert der Zielfunktion erh¨oht^∗ werden.

36

(37)

Beweis des Satzes 1.9

Sei`∈Nmitd0,`<0.

Wir erh¨ohen den Wert vonx`soweit, wie es m¨oglich ist. Die restlichen Variablenxj,j∈N bleiben dabei 0.

Bedingungenfür die Erhöhung vonx`sind die Nichtnegativitäts- bedingungen:

xi =di,0−di,`x`≥0 f¨ur allei ∈B damitxi zul¨assig bleibt.

Wenndi,`≤0, so wird diei-te Bedingung nicht verletzt beix`→ ∞.

37

(38)

Beweis des Satzes 1.9:Fortsetzung

Kriterium f¨ur Maximum gegen Unendlich:

Wennalle di,`≤0, (i∈B), so kannx`unbeschr¨ankt wachsen!

Damit w¨achst auch der Wert der Zielfunktion unbeschr¨ankt, denn wir haben:

ZF =d00−X

j∈N

d0jxj=d0,0−d0,`

|{z}

<0

x`−→ ∞, wenn(x`−→ ∞).

D.h. wennxùnbeschränkt wächst, so wächst die Zielfunktion auch unbeschränkt.

Die Aufgabe nennen wir dannnicht l¨osbar, denn es gibt keinen optimalen Punkt. F¨ur beliebigen Punkt aus dem Restriktionsbereich gilt: Es gibt immer ein weiterer Punkt im Restriktionsbereich, der einen besseren Zielfunktionswert liefert.

38

(39)

Beweis des Satzes 1.9:Fortsetzung

Betrachten wir nun den Fall, dass es mindestens eini ∈B gibt mitdi,`>0. Sei B+ die Menge aller solcheri, d.h.

B+={i|i∈B∧di,`>0}.

F¨uri∈B+gilt dann, dassx`≤^d_d^i,0

i,` ist und damitxi ≥0 f¨ur allei ∈B+ bleibt.

Der Wert der Variablex`kann damit bis zu min

i∈B₊

_d

i,0 d_i,`

erh¨oht werden. Sei

i∈Bmin₊ di,0

di,`

= dk,0

dk,`

f¨urk∈B+.

Wennx`=^d_d^k,0

k,` gesetzt wird, folgt dassxk= 0 wird. % x_k=d_k,0−d_k,`x_` %

Jetzt bilden wir eine neue Basis ˜B(wobei noch zu zeigen ist, dass ˜B Basis ist):

B˜:= (B\ {k})∪ {`} und ˜N:= (N\ {`})∪ {k},

d.h. die Basisvariablexk wird gegen die Nichtbasisvariablex`ausgetauscht.

39

(40)

Beweis des Satzes 1.9:Fortsetzung

Der neue zul¨assige Punkt ˜x ist dann:

˜

xk = 0,

˜

xi = di,0−di,`

dk,0

dk,`

|{z}

=˜x_`

≥0, i 6=k, i∈B

˜

x` = dk,0

dk,`

≥0,

˜

xj = 0, j∈N, j6=`.

Der neue Wert der Zielfunktion ist folglich:

d0,0−d0,`x˜`=d0,0−d0,`

|{z}

<0

dk,0

dk,`

|{z}

>0

>d0,0 fallsdk,0>0,

d.h. der Wert der Zielfunktion steigt.

Wieso ist ˜B eineBasis?

40

(41)

Beweis des Satzes 1.9:Fortsetzung

Esgenügt zu zeigen,dassAB˜regulär ist, wobei die MatrixABñur aus den Elementen (Spalten)A.i,i ∈B undA.` besteht, nicht aber ausA.k. Annahme:AB˜ ist singulär. Dann existieren Zahlenλi ∈R, nicht alle Null, mit

X

i∈B i6=k

λiA.i+λ`A.`= 0.

Offensichtlich istλ`6= 0% da sonst die SpaltenA_.i,i∈B,i6=`lin. abh. w¨aren. %und damit gilt:

A.`= X

i∈B i6=k

λ⁰iA.i f¨urλ⁰i =−λi

λ`

.

Es gilt weiterhin, dassdk,`>0, dak∈B+ und damit ist 0<dk,`=

A⁻¹_B

k.

A.`= X

i∈B i6=k

λ⁰_i A⁻¹_B

k.

A.i

| {z }

=δ_k,i,wobeik6=i

= 0

was einWiderspruchist. Folglich istAB˜ regul¨ar. 2

δ_k,iist dabei das Kroneckersymbol:δ_k,i=

(1 fallsi=k 0 sonst .

41

(42)

Simplexalgorithmus

NBV

x_m+1 . . . x_` . . . x_j . . . x_n

d_0,0 d_0,m+1 . . . d_0,` . . . d_0,j . . . d_0,m x₁ d_1,0 d_1,m+1 . . . d_1,` . . . d_1,j . . . d_1,m x₂ d_2,0 d_2,m+1 . . . d_2,` . . . d_2,j . . . d_2,m BV

.. .

x_k d_k,0 d_k,m+1. . . d_k,` . . . d_k,j . . . d_k,m ←Pivotzeile ..

. .. .

.. .

x_i d_i,0 d_i,m+1 . . . d_i,` . . . d_i,j . . . d_i,m

.. .

x_m d_m,0 d_m,m+1. . . d_m,` . . . d_m,j . . . d_m,m

↑ Pivotspalte d_k,`heißtPivot-Element

42

(43)

Berechnung des nachfolgenden Tableaus

Es bleibt noch anzugeben, wie die zur neuen Basis ˜Bgeh¨orenden ˜d_ljaussehen, d.h. wie das neue Simplextableau aus dem alten zu berechnen ist.

Wir wissen:

x_i=d_i0−X j∈N

d_ijx_j, ∀i∈B.

Diese Gleichung gilt auch f¨uri= 0, wobei “x₀” = ZF(x) undxist der BP beiB.

F¨uri=kgilt dann:

x_k=d_k0−X j∈N

d_kjx_j

=d_k0− X j6=` j∈N

d_kjx_j−d_k`x_`

Damit ergibt sich f¨urx_`:

x_`= 1

d_kl(d_k0− X j6=` j∈N

d_kjx_j)− 1 d_k`x_k

=d_k0 d_k`

| {z } d˜`0

−( 1 d_k`

| {z } d˜`k

x_k+ X

j6=` j∈N

d_kj d_k`

| {z } d˜`j

x_j)

d˜_`0, ˜d_`k, ˜d_`jsind die Elemente der`-ten Zeile in dem neuen Simplextableau, d.h. die (alte) Pivotzeile sieht wie folgt aus:

d˜_`0= d_k0 d_k`

d˜_`k= 1

d_k`, d˜_`j= d_kj d_k`.

43

(44)

Berechnung des nachfolgenden Tableaus (Fortsetzung)

F¨ur beliebige Basisvariablenx_i(i6=`) gilt nach dem Simplexschritt:

x_i=d_i0− X j∈N

j6=`

d_ijx_j−d_i`x_`

=d_i0− X j∈N

j6=`

d_ijx_j−d_i`(d_k0 d_k` − 1

d_k`x_k− X j∈N j6=`

d_kj d_k`x_j)

=d_i0−d_i`d_k0

d_k` − X

j∈N j6=`

d_ijx_j+d_i` X j∈N

j6=` d_kj d_k`x_j+ d_i`

d_k`x_k

= d_i0−d_i`d_k0 d_k`

| {z }

= ˜di0(Kreuzregel)

− X

j∈N j6=`

d_ij−d_i`d_kj d_k`

!

| {z }

= ˜dij(Kreuzregel) x_j+ d_i`

d_k`

| {z }

=−dik˜ x_k.

44

(45)

Simplexalgorithmus

Anwendung der Kreuzregel auf das Simplextableau

NBV

x_m+1 . . . x_` . . . x_j . . . x_n

d_0,0 d_0,m+1 . . . d_0,` . . . d_0,j . . . d_0,m x₁ d_1,0 d_1,m+1 . . . d_1,` . . . d_1,j . . . d_1,m x₂ d_2,0 d_2,m+1 . . . d_2,` . . . d_2,j . . . d_2,m BV

.. .

x_k d_k,0 d_k,m+1. . . d_k,` . . . d_k,j . . . d_k,m ←Pivotzeile ..

. .. .

.. .

x_i d_i,0 d_i,m+1 . . . d_i,` . . . d_i,j . . . d_i,m

.. .

x_m d_m,0 d_m,m+1. . . d_m,` . . . d_m,j . . . d_m,m

↑ Pivotspalte d_k,`heißtPivot-Element

45

(46)

Beispiel:

Wir betrachen erneut die LOA (P) aus demBeispiel 1.5:

Berechne (P) 5·x1−x2−→max







4·x1+ 34·x2≤17 5·x1+ 12·x2≤9

x2≥0

.

Wir haben bereits das erste Simplextableau aufgestellt:

x₁⁺ x₁⁻ x2

0 -5 5 1

u1 17 4 -4 34

u2 9 5 -5 12

=⇒

u2 x₁⁻ x2

9 1 0 13

u1 49/5 -4/5 0 122/5

x₁⁺ 9/5 1/5 -1 12/5

Die rechte Tabelle ist optimal, d.h. der Basispunktx=



 x⁺₁ x⁻₁ x₂



=



 9/5

0 0



ist optimal. Daraus ergibt sichx1= 9/5 = 1.8,x2= 0 und der Wert der Zielfunktion inx ist:ZF(x) = 9.

46

(47)

Noch ein Beispiel:

Berechnen Sie max x1+x2

unter den Nebenbedingungen







x1+ 2x2≤1 2x1+ 2x2≤1 x1≥0, x2≥0

.

L¨osung:

x1 x2

0 -1 -1

u1 1 1 2

u2 1 2 2

=⇒

u2 x2

0.5 0.5 0 u1 0.5 -0.5 1 x1 0.5 0.5 1

Die rechte Tabelle ist optimal, d.h. der Basispunktx= x1

x2

= 0.5

0

ist optimal und der Wert der Zielfunktion inx ist:ZF(x) = 0.5.

47

(48)

Simplexalgorithmus

Fragen: Antworten:

I Kann ich bei der Berechnung eines besseren Punktes in einen Zyklus geraten?

Ja, aber...

nicht, wenn man die lexikographische Simplexmethode verwendet.

I Kann ich in endlich vielen Schritten einen optimalen Punkt

finden? Ja, weil ...

48