Vektorrechnung
Grundoperationen
Dieses Bild entstand vollständig auf dem Computer mit Hilfe von Ray tracing. Ray tracing ist ein auf der Aussendung von Strahlen basierender Algorithmus zur Verdeckungs- und Reflexionsberechnung, also zur Ermittlung der Sichtbarkeit und Erscheinung von dreidimensionalen Objekten von einem
bestimmten Punkt im Raum aus. Dabei wird die Vektorrechnung sehr intensiv eingesetzt.
Vektorrechnung: Grundoperationen Seite 11 www.mathema.ch
Aufgabe 24: Der Vektor x
hat die Länge 5. Wie lang sind die Vektoren 2x , 5x
, 0.5x , 0.1x
und –2x
, –0.02x
?
Aufgabe 25: Der Vektor c a b = +
ist die Summe aus den Vektoren a und b
. In welchen Fällen gelten diese Gleichungen? Skizzen können bei der Lösung des Problems helfen.
a) c
= a + b
b) c
= a −b
c) c = b d) c
= 0 e) c
> a +b
f) c
< a +b Aufgabe 26: Setze das richtige Vergleichszeichen (<, ≤, = ≥, >):
a b ... a+ + b
k a ... k a⋅ ⋅
Vektorrechnung: Grundoperationen Seite 12 www.mathema.ch
2. Vektoren im Koordinatensystem
Das Koordinatensystem
Aufgabe 27: Zeichne den Ursprung und die Punkte A(3|5), B(–4|3), C(–1|–5), D(3|–3).
Aufgabe 28: Nummeriere die Quadranten.
In welchen Quadranten liegen die Punkte?
Aufgabe 29: Der Würfel hat die Kantenlänge 50. Welche Koordinaten hat
a) die Ecke hinten/unten/links?
b) die Ecke vorne/unten/links?
c) die Ecke hinten/oben/rechts?
d) die Mitte der Deckfläche?
e) der Schnittpunkt der Raumdiagonalen?
Aufgabe 30: Der Würfel hat die Kantenlänge 6.
Welche Koordinaten hat
a) die Ecke hinten/unten/links?
b) die Ecke vorne/unten/links?
c) die Ecke vorne/unten/rechts?
d) die Mitte der Deckfläche?
e) der Schnittpunkt der Raumdiagonalen?
Vektorrechnung: Grundoperationen Seite 19 www.mathema.ch
ii) Suche einen Pfad geschlossenen Pfad, der an M vorbeiführt. Da der Pfad geschlossen ist, muss die Summe der Vektoren gleich dem ………. sein.
iii) Die Summe der Vektoren liefert eine Gleichung in der – nach dem du alles ersetzt hast – nur noch die beiden Vektoren ……. und ……. vorkommen.
iv) Weil die beiden Vektoren ……… sind muss in die Summe von allen Vektoren a
und die Summe aller Vektoren b
in der Gleichung unabhängig voneinander gleich dem ………. sein. Du hast nun also …… Gleichungen für die Verhältnisse λ und μ. Du kannst sie nun bestimmen.
Aufgabe 72: In einem Rhombus ABCD ist M der Mittelpunkt der Seite AB. S sei der Schnittpunkt der Strecken MC und BD. In welchem Verhältnis schneidet S die Strecken MC und BD?
Aufgabe 73: Beweise, dass sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks im Verhältnis 2 : 1 schneiden?
Aufgabe 74: In einem Dreieck ABC liegt D auf AC und E auf AB, sodass AD = 2/5AC und AE = 1/3AB. BD und CE schneiden sich in F. Welche Bruchteile machen die Streckenlängen BF und CF von BD bzw. CE aus?
Anwendungen der Vektorrechnung
Karl und Susan ist das Benzin im Auto ausgegangen. Sie können sich nun nicht einigen in welche Richtung sie das Auto am besten schleppen, um zur nächsten Tank- stelle zu gelangen. Die Richtung der Kraft kann mit einem Pfeil grafisch dargestellt werden. Welche Richtung und welcher Betrag hat die resultierende Kraft?
Vektorrechnung: Grundoperationen Seite 20 www.mathema.ch
Aufgabe 75: Wie stark und in welche Richtung ziehen die beiden Hunde an der gemein- samen Leine, wenn der Grosse mit 55 N und der Kleine mit 37 N zieht? Löse die Aufgabe grafisch und lese den Betrag der resultierenden Kraft ab.
Aufgabe 76: Um einen grossen Öltanker im
Hafen zu manövrieren, sind oft mehrere kleine Schleppschiffe notwendig. Ein Schlepper A zieht den Tanker mit 600 kN in Fahrtrichtung, während der Schlepper B rechtwinklig zu dieser Richtung mit 200 kN zieht. Mit welcher Kraft und in welche Richtung wird der Tanker
gezogen? Gebe eine grafische und eine rechnerische Lösung an.
Aufgabe 77: Ein Schiff segelt zuerst 80 km Richtung Süden, danach 50 km Richtung Westen.
Berechne die Entfernung vom Ursprungspunkt.
Aufgabe 78: Eine Fähre hat eine Geschwindigkeit von 7m/s gegenüber dem Wasser. Sie durchquert einen Fluss, der eine Strömung von 4 m/s hat. Berechne den Winkel, den der Kapitän einschlagen muss, um genau gegenüber seines Abfahrtpunktes anzukommen. Mit welcher Geschwindigkeit nähert sich die Fähre dann dem anderen Ufer?
