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Minimierung mittels KV‐Diagramm

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Academic year: 2022

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(1)

Minimierung mittels KV‐Diagramm

A B C D f(A,B,C,D)

0 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

Fasse benachbarte 1en zu den größtmöglichen  Blöcken der Größe 2^n zusammen.

1 1 1 1

1

1 1 1

A A

C C

B B

D D B

D

(2)

KV‐ Diagramm: Noch ein Beispiel

A B C D f(A,B,C,D)

0 0 0 0 1

0 0 0 1 X

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 0

0 1 1 0 X

0 1 1 1 1

1 0 0 0 X

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

Bemerkung 1: Don‘t cares können beliebig für 0  oder 1 stehen.

Bemerkung 2: Blöcke können auch über den KV‐

Diragrammrand hinaus reichen.

(3)

KV‐ Diagramm: Noch ein Beispiel

A B C D f(A,B,C,D)

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

Bemerkung 3: anstatt der 1en können auch die 

0en zusammengefasst  werden (dann als DNF).

(4)

Minimierung nach Quine ‐ Mc Cluskey

F(A,B,C,D) = !A !B !C !D + !A !B !C D + !A B !C !D +

!A B !C D + !A B C !D + !A B C D + A !B !C !D + A !B !C D + A !B C D + A B C D

Notiere die Funktion als

Binärelemente und fasse diese zu Gruppen zusammen

# A B C D Gruppe

Die Binärelemente werden nach 

den in ihnen vorkommenden 

Einsen in jeweilige Gruppen 

eingeteilt.

(5)

Minimierung nach Quine ‐ Mc Cluskey

# A B C D OK

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

4 0 1 0 0

8 1 0 0 0

5 0 1 0 1

6 0 1 1 0

9 1 0 0 1

7 0 1 1 1

11 1 0 1 1

15 1 1 1 1

# A B C D OK # A B C D OK

Ermitteln der Primterme

(6)

Minimierung nach Quine ‐ Mc Cluskey

# A B C D OK

m9 + m11 1 0 ‐ 1 P1

m7 + m15 ‐ 1 1 1 P2

m11 + m15 1 ‐ 1 1 P3

m0 + m1 + m4 + m5 0 ‐ 0 ‐ P4 m0 + m1 + m8 + m9 ‐ 0 0 ‐ P5 m4 + m5 + m6 + m7 0 1 ‐ ‐ P6

Ermitteln der Primtermtabelle

m0 m1 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m11 m15 P1

P2

P3

P4

P5

(7)

Minimierung nach Quine ‐ Mc Cluskey

Finden einer minimalen Überdeckung durch wiederholte Spalten und Zeilendominanzprüfung m0 m1 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m11 m15

P1 X X

P2 X X

P3 X X

P4 X X X X

P5 X X X X

P6 X X X X

(8)

Minimierung nach Quine ‐ Mc Cluskey

Finden einer minimalen Überdeckung durch wiederholte Spalten und Zeilendominanzprüfung m6 m8 m11 m15

P1 X

P2 X

P3 X X

P4

P5 X

P6 X

(9)

Minimierung nach Quine ‐ Mc Cluskey

Finden einer minimalen Überdeckung durch wiederholte Spalten und Zeilendominanzprüfung m6 m8 m11 m15

P3 X X

P5 X

P6 X

(10)

Minimierung nach Quine ‐ Mc Cluskey

Finden einer minimalen Überdeckung durch wiederholte Spalten und Zeilendominanzprüfung m6 m8 m11

P3 X

P5 X

P6 X

(11)

Logische Bausteine

Addierwerke

(12)

Addition eines einzigen Bits

Eingang Ausgang

a b CarryIn CarryOut Sum

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

+ a

b

CarryIn

Sum

(13)

Ripple‐Carry‐Adder

+ a0

b0

CarryIn

CarryOut

Sum

+ a1

b1

CarryIn

CarryOut

Sum

+ a2

b2

CarryIn

CarryOut

Sum

Problem: Berechnung benötigt 

O(n) Gatterlaufzeit.

(14)

Carry‐Lookahead‐Adder

Beobachtung 1: wenn zwei Binärzahlen a(0)...a(n‐1) und b(0)...b(n‐1)  addiert werden, dann findet ein Übertrag an der Stelle i statt, wenn

Also können wir als „Carry‐Generierer“ g(i) definieren:

Beobachtung 2: ein Übertrag von der Stelle i‐1 wird von der Stelle i  an die nächste Stelle i+1 weiter geleitet, wenn

Also können wir als „Carry‐Propagierer“ p(i) definieren:

Referenzen

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