Andererseits gilt: ∀λ >0 ∃uλ ∈X mit F(uλ) +λku−uλk ≤ Fλ(u

UBUNGEN ZUR VARIATIONSRECHNUNG IM SS 2011¨ BLATT 10 (BESPRECHUNG AM 9. JUNI)

SABINE HITTMEIR

Aufgabe 1. Sei (X,k.k) ein Banachraum, F : X → R∪ {∞} nach unten beschr¨ankt undF 6=∞. F¨urλ >0 definieren wir

F_λ(u) := inf

v∈X{F(v) +λku−vk}

Zeigen Sie:

(i) |F_λ(u₁)− F_λ(u₂)| ≤λku₁−u₂k, ∀λ >0,∀u₁, u₂ ∈X (ii) F¨ur jedesu∈X gilt

sc⁻F(u) = lim

λ→∞F_λ(u)

Hinweis zu (ii): Folgern Sie zuerst aus (i), dassF_λ ≤sc⁻F. Andererseits gilt: ∀λ >0 ∃u_λ ∈X mit

F(u_λ) +λku−u_λk ≤ F_λ(u) + 1 λ Aufgabe 2. Sei Ω⊂R^d offen und 1< p <∞. Sei

F :L^p(Ω)→R¯ definiert durch

F(u) = R

Ω|∇u|^pdx+R

Ω|u|^pdx f¨ur u∈C¹(Ω)

∞ sonst

(F(u) kann auch∞ werden f¨ur gewisse u∈C¹(Ω).) Zeigen Sie:

sc⁻F(u) = R

Ω|∇u|^pdx+R

Ω|u|^pdx f¨uru∈W^1,p(Ω)

∞ sonst

Hinweis: Verwenden Sie das nachfolgende Theorem 1, welches nicht zu beweisen ist.

Theorem 1: X erf¨ulle das erste Abz¨ahlbarkeitsaxiom. Dann ist sc⁻F die relaxierte Funktion f¨urF :X →R¯ genau dann, wenn folgen- de Bedingungen erf¨ullt sind:

sabine.hittmeir@tuwien.ac.at.

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2 SABINE HITTMEIR

(i) wennu_n →u, dann gilt

sc⁻F(u)≤lim inf

n→∞ F(u_n)

(ii) f¨ur jedes u∈X existiert eine Folge u_n →umit sc⁻F(u)≥ lim

n→∞F(u_n) Aufgabe 3. Sei f(x) = (1−x²)² f¨urx∈R und

F(x) :=

f(x) |x| ≥1 0 |x|<1 Zeigen Sie:

Sei g konvex mit g ≤f. Dann giltg ≤F.

Aufgabe 4. Berechnen Sie Γ−lim Fn f¨ur die FolgenFn:R→R (i) F_n(x) =−e^−nx2

(ii) Fn(x) =nxe^−2n2x2