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DISKRETE MATHEMATIK
Wintersemester 2015/2016
14. Oktober 2015
Prof. Dr. Steffen Reith
Theoretische Informatik
Studienbereich Angewandte Informatik HochschuleRheinMain
ADMINISTRATIVES
Notizen Notizen
TERMINE
Vorlesung:
Mittwoch1415-1545im Hörsaal UDE-D14
Übung:
Mittwoch1600-1730im Hörsaal UDE-D14
Sollten Temine ausfallen, so finden die Nachholtermine Dienstags statt.
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Administratives Ein Beispiel Eine kleine Wiederholung
ÜBER DEN DOZENTEN
→ Prof. Dr. Steffen Reith, geboren 1968, verheiratet, eine Tochter
→ Seit Sommersemester 2006 an der FH Wiesbaden
→ Vorher: Softwareentwickler für kryptographische und
mathematische Algorithmen für eingebettete System in KFZs.
→ Spezialgebiete: Komplexitätstheorie, Logik in der Informatik und Kryptographie (Computational Number Theory), eingebettete Systeme
→ Masterarbeiten: Kryptographie, Kryptographie für eingebettete Systeme, paralleles Rechnen, Komplexitätstheorie, Logik in der Informatik
EMail:Steffen.Reith@hs-rm.de Skype:Steffen.Reith
Büro: Raum C202
Notizen Notizen
WEITERE INFORMATIONEN ZUR VORLESUNG
Webseite:http://www.cs.hs-rm.de/~reith Literatur:
→ Werner Struckmann und Dietmar Wätjen, Mathematik für Informatiker - Grundlagen und Anwendungen, Spektrum Akademischer Verlag, 2007
→ Rod Haggarty, Diskrete Mathematik für Informatiker, Pearson Studium, 2004
→ Christoph Meinel und Martin Mundhenk, Mathematische Grundlagen der Informatik, Teubner, 2006
→ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth und Oren Patashnik, Concrete Mathematics - A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, 1994
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Administratives Ein Beispiel Eine kleine Wiederholung
WEITERE INFORMATIONEN ZUR VORLESUNG (II) Ersatztermine:
Werden Dienstags stattfinden Skript:
Wird in unregelmäßigen Abständen auf der Webseite der
Vorlesung veröffentlicht (muss noch erstellt/verbessert werden).
Folien:
Einzelne (kleine) Teile der Vorlesung werden in Folienform zur Verfügung stehen. Folien die vom Skript abweichen, werden auf der Webseite (nachträglich) zur Verfügung stehen.
Eine eigene Mitschrift sollteangefertigtwerden!
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Notizen Notizen
EIN ROTER FADEN
In der Vorlesung werden die folgenden Themen untersucht:
1. Einleitung - Einige Beispiele (Überabzählbarkeit) 2. Zählen
3. Permutationen, Zyklendarstellung, Satz von Cayley 4. Algebraische Strukturen und elementare Gruppentheorie 5. Elementare Zahlentheorie, Konkruenzen
6. Umwandlung rekursiver in explizite Gleichungen
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Administratives Ein Beispiel Eine kleine Wiederholung
SPIELREGELN
→ Rechnerund Handys sind zu Beginn der Veranstaltungaus
→ Wir (Dozent + Hörer) sindpünktlich
→ Esredet nur eine Person
→ Bei Fragen und Problemensofort melden / fragen
→ Es wird Eigeninitiative und selbstständiges Arbeiten erwartet
→ Eine Vorlesung ist keine (wöchentliche) Fernsehserie
→ Eine Vorlesung wird vonden Hörernund vom Dozenten gestaltet
→ aktive Mitarbeit erwünscht und erforderlich
→ Der Dozent will motiviert werden
→ Umfangreiche Vor- und Nachbereitung notwendig
→ Lernen kurz vor der Klausur ist tötlich! (kontinuierliches Lernen)
→ Vergessen Sie den (angeblichen) Konflikt von Theorie und Praxis
Was wünschen Sie sich?
Notizen Notizen
DISKRETE MATHEMATIK - EINLEITUNG
Informatik ist die Wissenschaft der (systematischen) Verarbeitung von Informationen.
Für ein tieferes Verständnis von Soft- und Hardwareentwicklung und dem Design von Algorithmen spielen
→ mathematische Methoden (z.B. Induktion) und
→ formale Beschreibungen und Modelle eine große Rolle.
Die meisten diese Begriffe beschäftigen sich mathematischen Strukturen, dieabzählbar unendlichoderendlichsind.
Zur diskreten Mathematik gehören (Teile) der:
→ Mathematische Logik
→ Mengentheorie
→ Graphentheorie
→ Kombinatorik
→ Zahlentheorie
→ Kodierungstheorie
→ Kryptographie
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EIN BEISPIEL
Notizen Notizen
DIE TÜRME VON HANOI
Die”Türme von Hanoi“ (nach Edouard Lucas, 1883): Gegeben ist ein Turm mit acht Scheiben auf drei Stäben:
A B C
Aufgabe: Bewege die Scheiben von A nach C, wobeinieeine größere über einer kleineren Scheibe liegen darf.
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Administratives Ein Beispiel Eine kleine Wiederholung
DIE TÜRME VON HANOI(II) Angeblich gibt es eine Legende:
Es gibt einen Turm mit64Scheiben aus Gold, die auf Stäben aus Diamant ruhen
Priester bewegen jeden Tag eine Scheibe nach folgenden Schema:
”Wenn Du den Turm der Höhenvon X über Y nach Z bewegen sollst, dann
→ gib Deinem ältesten Lehrling den Auftrag einen Turm der Höhen−1von X über Z nach Y zu bewegen,
→ verschiebe die letzte Scheibe von X nach Z und
→ gib Deinem ältesten Lehrling den Auftrag einen Turm der Höhen−1von Y über X nach Z zu bewegen.“
Ist die Arbeit getan, dann geht die Welt unter.
Notizen Notizen
WIE LANGE HABEN WIR NOCH ZU LEBEN?
Idee: Analysiere das Problem allgemein fürnScheiben und ermittle wieviele Bewegungen notwendig sind.
Idee: Probiere für kleinendie Anzahl der Scheibenbewegungen einfach aus.
Abkürzung: [n,X,Y,Z]bedeutet
”bewege einen Turm der Höhe nvonXüberYnachZ.
n # Bewegungen
n = 0 0
n = 1 1
n = 2 3
n = 3 7
SeiT:N→N, dann istT(n)die Anzahl der notwendigen Bewegungen bei einer Turmhöhe vonn.
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Administratives Ein Beispiel Eine kleine Wiederholung
ANZAHL DER SCHEIBENBEWEGUNGEN
Klar:T(0) = 0,T(1) = 1,T(2)≤3undT(3)≤7.
Mit der
”Arbeitsbeschreibung“ergibt sich:
T(n)≤2T(n−1)
| {z }
”Lehrling“
+1, n >0
Unklar:T(n)= 2T? (n−1) + 1(bessere Strategie?) Aber es sind mindestens
→ eine Scheibenbewegung durch den Meister
→ und zweimalT(n−1)Bewegungen durch den Lehrling notwendig.
Also gilt :T(n) = 2T(n−1) + 1(
”Rekurrenzgleichung“).
Test:T(3) = 2T(2) + 1 = 4T(1) + 3 = 8T(0) + 7
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Notizen Notizen
ANZAHL DER SCHEIBENBEWEGUNGEN (II)
Theorem
Die Türme von Hanoi mitnScheiben benötigenT(n) = 2n−1 Bewegungen zur Lösung.
Induktion übern.
(IA)Wennn= 0, dannT(0) = 20−1 = 0 (IV)T(n) = 2n−1
(IS)n→n+ 1 :
T(n+ 1) = 2·T(n) + 1
(IV)= 2·(2n−1) + 1
= 2·2n−1
= 2n+1−1
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Administratives Ein Beispiel Eine kleine Wiederholung
FAZIT
Die Welt geht also in
264+ 1Tagen ≈ 1.84·1019Tagen
≈ 5.05·1016Jahren unter.
Wir haben noch genug Zeit für die Vorlesung!
Notizen Notizen
EINE KLEINE WIEDERHOLUNG
Administratives Ein Beispiel Eine kleine Wiederholung
GRUNDLEGENDE DEFINITIONEN
Definition
Zwei MengenAundBheißengleichmächtig, wenn eine bijektive Funktionf:A→Bexistiert.
Definition
Eine MengeAheißt abzählbar, wenn Sie entweder endlich ist oder wennNgleichmächtig wieAist.
Intuitiv bedeutetAbzählbarkeit, dass die Menge in einer Tabelle angeordnet werden kann (1. Element,2. Element, usw.). Als Informatiker kann man sich vorstellen, dass eine abzählbare Menge in einem (unendlichen) Array gespeichert werden kann.
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Notizen
EIN BEISPIEL
Beispiel
ZundNsind gleichmächtig vermöge der Funktionf:N→Zmit
f(n) =
{ −n2, wennngerade
n+1
2 , sonst.
Dies sieht man leicht ein, mit
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 . . .
f(n) 0 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 . . .
Damit gibt es genauso viele ganze Zahlen wie natürliche Zahlen!
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Administratives Ein Beispiel Eine kleine Wiederholung
NOCH EIN BEISPIEL
Beispiel
Ordnet man die rationalen Zahlen wie folgt an:
1 1
2 1
3 1
4 1
5 1
6
1 . . .
1 2
2 2
3 2
4 2
5 2
6
2 . . .
1 3
2 3
3 3
4 3
5 3
6
3 . . .
1 4
2 4
3 4
4 4
5 4
6
4 . . .
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
6
5 . . .
1 6
2 6
3 6
4 6
5 6
6
6 . . . ... ... ... ... ... ...
Notizen Notizen
NOCH EIN BEISPIEL(II)
Beispiel (Fort.)
Man kann die notwendige bijektive Funktion in Tabellenform auf- schreiben:
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
f(n) 11 21 12 13 22 31 41 32 23 …
τ(x, y) = 12(x2+ 2xy+y2+ 3x+y)
Diese Technik ist alserstes cantorsches Diagonalargument bekannt.
Damit stellt sich die Frage, ob überhaupt Mengen existieren, die nicht abzählbar sind!
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Administratives Ein Beispiel Eine kleine Wiederholung
DIE POTENZMENGE VONN
Nimmt man an, dassP(N)abzählbar ist, so muss es eine bijektive Funktionf:N→ P(N)geben.
”Negiert“man die Diagonale, so ergibt sich folgendes Bild:
n f(n) 0 1 2 3 4 5 . . .
0 f(0) ∈ ∈ ̸∈ ̸∈ ∈ ∈ . . . 1 f(1) ̸∈ ∈ ̸∈ ̸∈ ∈ ∈ . . . 2 f(2) ̸∈ ∈ ∈ ̸∈ ̸∈ ̸∈ . . . 3 f(3) ̸∈ ∈ ̸∈ ̸∈ ̸∈ ∈ . . . 4 f(4) ∈ ∈ ̸∈ ∈ ∈ ∈ . . . 5 f(5) ∈ ̸∈ ̸∈ ̸∈ ∈ ∈ . . .
... ... ... ... ... ... ... ...
n0 f(n0) ̸∈ ̸∈ ̸∈ ∈ ̸∈ ̸∈ . . . ? ... ... ... ... ... ... ... ...
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Notizen Notizen
DIE POTENZMENGE VONN(II)
Einige Bemerkungen zur”Cantors zweitem Diagonalargument“:
→ Dienegierte Diagonaleergibt sich, indem man∈durch̸∈
und̸∈durch∈ersetzt.
→ AmSchnittpunktder Diagonale und der negierten Diagonale (die ja als Zeilen0auftauchen muss) gibt es einen
Widerspruch. Damit war dieAnnahme der Existenz vonf falsch.
→ Man braucht noch nicht einmal eine Diagonale. Eine
”Gerade“, die alle Zeilen
”schneidet“reicht (Stichwort:
”verzögerte Diagonale“)
→ Es ist nur wichtig, dass sich die negierte Diagonalean allen Stellenvon der Diagonalenunterscheidet.
→ Die gleiche Technik funktioniert auch mitBit-Stringsoder Dezimalzahlen. Man überlegt sich nur eine geeignet Art die
”negierte“ Diagonale zu bilden.
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Administratives Ein Beispiel Eine kleine Wiederholung
DIE POTENZMENGE VONN(III)
Theorem
Die MengeP(N)ist überabzählbar.
Beweis.
Annahme:Nist abzählbar, dann existiert eine bijektive Funktion f: N→ P(N). SeiS =def {n ∈ N |n ̸∈ f(n)}. Nun soll unter- sucht werden, obn0∈S, wobein0die Nummer vonSist.
Falln0∈S: Wennn0 ∈Swäre, dann gilt nach Def. vonSdirekt n0 ̸∈f(n0) =S. Widerspruch!
Falln0̸∈S: Wennn0 ̸∈Sist, dann giltn0 ∈S, denn S =f(n0)̸∋n0. Widerspruch!
Damit ex.fnicht undP(N)ist nicht abzählbar.
Notizen Notizen
