Das Potential eines homogenen rechtwinkligen Parallelepipedums.

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(1)249. Das Potential eines homogenen rechtwinkligen Parallelepipedums. (Von Herrn 0. R thig.). JLPer vorliegende Aufsatz hat den Zweck, zu zeigen, dafs das Potential eines homogenen rechtwinkligen Parallelepipedums in Beziehung auf einen beliebigen Punkt durch einen Ausdruck dargestellt wird, welcher auf rationale Weise aus Logarithmen und Arctang. zusammengesetzt ist. Der Beweis dieser Behauptung wird nicht nur direct durch Integration geleistet werden, sondern auch durch Verification des gefundenen Ausdruckes nach der von Dirichlet im 32sten Bande dieses Journals gegebenen allgemeinen Methode. Nennt man die Seiten eines rechtwinkligen Parallelepipedums 2a, 2b> 2c und legt den Anfangspunkt der Coordinaten in den Mittelpunkt, so ist das zu bestimmende Potential in Beziehung auf einen Punkt (£,17, ζ) ausgedr ckt durch:. =. /'+y'. —α. WO. —6. +c. —c. r2 = (χ-ξ. und die constante Dichtigkeit gleich der Einheit gesetzt ist. In dieser Gleichung sind die Gr fsen a, b, c ihrer Bedeutung nach positiv, es soll deshalb der von dieser Einschr nkung unabh ngige Werth des Integrales in (1.) mit Φ(α,1,€,ξ,η,ζ} bezeichnet werden. Schreibt man nun in dem Integrale in Bezug auf χ in (1.) χ f r χ — ί> so geht dasselbe ber in: /·+«-* Λτ _ /'° dx , f« J— α-ε T" ~ 7 . r Λ7 — — U WO. F r die beiden Integrale auf der rechten Seite darf aber, wie leicht erhellt, geschrieben werden: /·+(«+*) rfar , , /·+«"-£> Ar V "T" + V T" 9 und durch Einf hrung dieser Summe f r das Integral in Beziehung auf χ in (1.) folgt:. (2.). 2P = ΣΦ(α+ «f, , c, Ο, ,, ζ),. Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/7/15 12:22 AM.

(2) 250. R thig, das Potential eines homogenen rechtwinkligen Parallelepipedums.. wo f r 6 die Werthe -j-1 und —l zu setzen sind, und die Summe sich auf die Addition der so erhaltenen Glieder bezieht. Behandelt man jetzt auf dieselbe Weise das Integral in Beziehung auf γ in dem Ausdruck unter dem Summenzeichen in (2.), so berzeugt man sich leicht, dafs : und endlich folgt durch gleiche Behandlung des Integrales in Beziehung auf z: Φ (a + eg, b -f e'ifc c, 0, 0, ^) = :Σ·φ"(α -f « & * -f Λ?, c -f «"£, 0, 0, 0). Die Summen in beiden Gleichungen beziehen sich resp. auf ε' und *", welche Gr fsen dieselbe Bedeutung haben wie ε in (2.). Durch successive Anwendung der beiden vorstehenden Gleichungen erh lt man nun aus (2.), wenn noch in Φ die Argumente, welche den Werth 0 haben, fortgelassen werden: (3.). SP = -ΣΦ(α + « & A+ «'17,0+ *"£).. Hierin haben die Gr fsen e, ε', β" die Werthe -fl uncl — l * ur) d die Summe erstreckt sich auf die acht Glieder, welche man dadurch erh lt, dafs den Gr fsen ε, ε', ε" ihre verschiedenen Berthe beigelegt werden. Es kommt daher nur noch darauf an einen Ausdruck f r Φ(ο>,β,γ)ι wo CL, β, γ irgend welche reelle Gr fsen bedeuten, zu finden. Nun hat aber zu Folge von (1.) Φ(α,β,γ] die Form: - . ^ '' ' * /. wo:. Setzt man hierin &a f r a, &. J. /*+« Γ+ Γ+r dxdydz J J 7». -α. -β. -γ. f r β, &γ f r γ, so wird: /. -f #a /* H-#/J /* / / c/ Λ Λ «y Λ. und wenn nun in diesem Integrale &x f r a% i9y f r y, &% f r ί? geschrieben wird, so folgt: oder. Φ(&α, &β, θγ) = &1 Φ (α, β, γ}.. Es ist daher Φ (α, β, γ] eine homogene Fundion zweiten Grades von a, β, γ und gen gt also der partiellen Differentialgleichung: ΓΛ Λ (4.). 3Φ , θΦ , ΘΦ 2Φ = «^ +^ — 4-^^.. O^,. Λ. Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/7/15 12:22 AM.

(3) R thig, das Potential eines homogenen rechtwinkligen Parallelepipedums.. 251. Hieraus folgt durch Differentiation nach a: ,, ,. θ'Φ , g Θ'Φ ,. 5Φ. β'Φ. w hrend die Werthe von -~-r- und -~— aus dem Werthe f r -^— durch Vertauschung von a mit β oder a mit γ erhalten werden. Nun ist aus der Form von <H>(a> ,y) leicht ersichtlich, dafs: 8Φ —p. also ist auch: 3'Φ dad. =. —y. ". i ·/ ι. i/**7 «*» J ]/ccz-L· *4-z* '. oder, da sich diese Integration sofort ausf hren l fst: — 41og wo:. Ferner ist:. Θ2Φ. —0. f+ f+v. ρ—γ. dydz. Schreibt man nun f r die rechte Seite dieser Gleichung: -α. und setzt dann: wodurch :. wird, so folgt sofort: 3*Φ = 00(8. Dies Integral behandle man auf dieselbe Weise. Es erh lt n mlich wiederum leicht die Form:. Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/7/15 12:22 AM.

(4) 252. R thig, das Potential eines homogenen rechtwinkligen Parallelepipedums.. und geht, unbestimmt genommen, durch die Substitution:. /«'+7'i+rt. wodurch : l—«·. '. wird, ober in:. woraus dann leicht geschlossen wird, dafs. ρ hat die fr here Bedeutung, und der arctg ist zwischen — \n und \n zu nehmen. ~. „ .... Die Grofsen -. θ*Φ. ·>. ,. .. 5 "^"^ -^r erhalt man aus (6.) M U. /. J. Λ«Λ. und (7.). durch passende Vertauschung der Grofsen a, /3, y. Die Gleichungen (6.) und (7.) enthalten die L sung der ganzen Aufgabe. Denn es folgt zun chst, indem man aus (6.) durch Vertauschung von £)2Φ β mit γ den Werth von ~ ~ - bildet, und dann die gefundenen Ausdrucke in (5.). einsetzt:. (8.). SΦ und hieraus und aus den mit Leichtigkeit zu bildenden Werthen von -^- und ΘΦ erh lt man nach (4.): -ΤΓ— dy - 4«s arctg. Φ («, β, γ] = 4/9y log 2. (9.). - 4^2 arctg. wof r auch einfacher geschrieben werden kann:. Φ(«,β}γ} =. Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/7/15 12:22 AM.

(5) R thig, das Potential eines homogenen rechttvinJclit/en Parallelepipedums.. 253. wenn man das Zeichen S so versteht, dafs in dem unter demselben stehenden Ausdrucke die Gr fsen a, β, γ vertauscht, und die so entstandenen Ausdrucke addirt werden sollen. Es erhellt hieraus und in Folge der ber die arctg gemachten Bemerkung, dafs Φ(α,β,γ] mit einem der Argumente sein Zeichen ndert, wie es sein mufs. — Die Gr fse ρ ist immer positiv zu nehmen. Ich habe den Ansdruck (9.). zun chst durch Differentiation verificirt. r. Die Differentiation nach a liefert den in (8.) gegebenen Werth f r -^— , in dem die. brigen sechs Glieder, welche -^— , so wie es aus (9.) folgt, noch. enth lt, sich gegenseitig vernichten. nach β der in (6.). Daraus folgt dann durch Differentiation r}2 Φ. gegebene Werth von ^ ~ , weil wieder die. brigen. Glieder, welche die Differentiation liefert, zusammen identisch Null geben. Hieraus erh lt man denn schliefslich 53Φ. dad dr. wie es sein mufs.. 8. 7'. Die Gleichung (3.) in Verbindung mit (9.) enth lt demnach die Form des Potentiales in Beziehung auf einen beliebigen Punkt und beweist zugleich die Richtigkeit der im Anfange ausgesprochenen Behauptung. Ist ferner X(a, β, γ] der Ausdruck auf der rechten Seite von (8.) nach Abscheidung des Factors 4, so hat X die Eigenschaft mit β und γ das Zeichen zu ndern, aber nicht mit a, und da ferner die Ableitung von Φ(α,β,γ} nach a hierdurch den Werth £X(a, , γ] erh lt, so folgt aus (3.):. (11.). 2|~ =. und aus (7.) (β+ί | )Α. wo gesetzt ist.. r. Die Gr fsen -^-, -g^\ -^-, -g^- erh lt man aus (11.). und. (12.) durch bez gliche Vertauschung der Gr fsen a, £, s, mit 6, η, s' und c, ζ, «". Es sind daher durch die Gleichungen (3.), (11.) und (12.) in VerJoumal f r Mathematik Bd. L VIII. HeftS.. 33. Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/7/15 12:22 AM.

(6) 254. Rothiy , das Potential eines homoyenen rechltvinkligcn Parallelepipedums.. bindung mit (8.) und (9.) sämmtliche auf die Anziehung eines homogenen rechtwinkligen Parallelepipedums bezügliche 'Gröfsen gefunden. Obgleich nun die vorstehende Herleitung für das Potential eines rechtwinkligen Parallelepipedums nichts zu wünschen übrig läfst, so möchte es doch von Interesse sein, zu zeigen, dafs der gefundene Ausdruck auch auf ziemlich einfache Weise nach der Methode verificirt werden kann, welche Dirichlet im 32sten Bande dieses Journals gegeben hat. Dirichlet beweist dort, dafs eirt Ausdruck P dann die richtige Form des Potentiales enthält, wenn: t) P und seine ersten partiellen Differentialquotienten endliche und continuirliche Functionen von , > innerhalb des ganzen Raumes sind, Ö) die Ausdrücke , , ; £2|~, *~, Räume endliche Werthe nicht überschreiten, 3). die Gröfsen. r)* P. r)z P. r)2JP. -, ^-r* ". 2. -|~ im ganzen. *m ganzen Räume endlich und eindeutig. sind und der Differentialgleichung d. P. Ö. P. d. P. - * - J_ • *" JL" ~ * — ~~ ~a genügen, wo für einen inneren Punkt (£, , ) — I zu setzen ist, für einen äufseren = 0. Zu der dritten Bedingung ist zu bemerken, dafs sie für den hier vorliegenden Fall ausgesprochen ist, nämlich für einen homogenen Körper, dessen Dichtigkeit gleich der Einheit gesetzt ist. Es soll nun gezeigt werden, dafs der für das Potential gegebene Ausdruck diesen drei Bedingungen genügt. Zunächst ist klar, dafs die in (3.) und (11.) aufgestellten Formen des Potentiales und seiner ersten Ableitungen die erste Bedingung erfüllen. Denn die aus (8.) und (9.) ersichtliche Bildung von und X zeigt, dafs das Potential und seine ersten Ableitungen auf stetige Weise aus Functionen zusammengesetzt sind, die für alle Werthe der Argumente zwischen — und -foo stetig bleiben. Was die zweite Bedingung betrifft, so ist klar, dafs sie erfüllt ist, so lange , , endlich bleiben. Denn die Gleichungen (3.) und (11.) in Verbindung mit (8.) und (9.) zeigen, dafs alle Glieder, aus denen das Potential und seine ersten Ableitungen zusammengesetzt sind, endlich bleiben, so lange. Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/7/15 12:22 AM.

(7) R thiy> das Potential eines homogenen rechtwinkligen Parallelepipedums.. 255. ^ n> ζ endliche Werthe haben. Es bleibt doher nur noch zu zeigen, dafs diese Bedingung auch erf llt ist, wenn (ξ, η, ζ) im Unendlichen liegt. Um die grofsen Weitl ufigkeiten zu ersparen, welche eine directe Behandlung der Gleichungen (3.) und (11.) f r diesen Fall mit sich fuhrt, sollen jetzt die Formen des Polentiales und seiner ersten Ableitungen in zweckdienlicher Weise umgeformt werden. Da Φ(α,β,γ} mit a sein Zeichen ben werden: 8P =. ndert, so darf f r (3.) geschrie-. L fst man nun der Abk rzung wegen zun chst die beiden letzten Argumente in Φ weg, so ist klar, dafs die rechts stehende Summe identisch ist, mit der folgenden : und da nach dem Taylorschen Satze:. -Φ £ = wo ΒξΦ die erste Ableitung nach ξ bedeutet, so folgt: 8P = JS ^CH^H«'^ *+«"£)· Nun ndert aber, wie oben bemerkt worden, Χ(α,β,γ] mit β sein Zeichen, also auch ΒξΦ mit Ι>-\-έη; es darf daher, wie oben, f r die vorstehende Gleichung geschrieben werden: 8P = αΣβ'ΒϊΦ(ξ + #€ oder, indem man wie vorher weiter schliefst: 8P = abSd\^(§+#* wo B2 die zweite Ableitung nach ξ und η bedeutet, und 0<#'<1· Endlieh ndert auch ΒΙίβΦ(α,β,γ) mit γ sein Zeichen, wie aus (6.) folgt, also erh lt man durch Wiederholung desselben Verfahrens: Sjtf. 8P = abc Σ 8^ηΛ Φ (H ^^ ^ + &'*'b> % + *"β"<0> wo 8l . die dritte Ableitung nach ξ und η und ζ bedeutet und &>*?>£. Hieraus folgt aber nach (10.):. (13.). P=. l *WI. 33. Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/7/15 12:22 AM.

(8) 356 wo. Röthig, das Potential eines homogenen recktivinkligen Parallelcpipedums. R\ =. gesetzt worden, und die Gröfsen &, &', &" zwischen 0 und l liegen. Zu dieser Gleichung ist zu bemerken, dafs die Gröfsen &, &', &" eigentlich mit Indices versehen sein müssen, welche anzeigen, dafs sie für die verschiedenen Werthe von «, e', " nicht dieselben Werthe besitzen. Diese Unterscheidung ist jedoch weggelassen worden, weil keine andere Eigenschaft der Gröfsen #, #', S19 gebraucht wird, als die, dafs sie zwischen 0 und l liegen. Ferner ist ersichtlich , dafs man Ausdrücke für die ersten Ableitungen nach £, , aus (13.) durch Differentiation nach £, ??, unter der Voraussetzung, dafs #, #', &" constant sind, ableiten darf. Denn würde man die eigentlichen Ausdrücke für die Ableitungen, so wie sie aus der Gleichung (11.) folgen, in derselben Weise behandeln, wie es mit der Form des Potenliales selbst geschehen ist, wobei man bemerken möge, dafs dies möglich ist, weil ( , , ] denselben Werth behält, wenn a sein Zeichen ändert, also ( -\-€ ) für ( -\- ] geschrieben werden darf, so würde man gerade auf die Ausdrücke kommen, welche man durch Differentiation unter der Voraussetzung, dafs &, &', &" constant sind, aus der Gleichung (13.) direct erhält. Natürlich sind dann die Gröfsen &, &, &" in den Ableitungen mit denen der Gleichung (13.) nicht identisch, aber diese Eigenschaft wird auch nicht angewendet. Nach diesen Bemerkungen folgt nun aus (13.):. und diese Gleichungen in Verbindung mit (13.) zeigen ohne Weiteres, dafs die Ausdrücke , , ; l2-^-^ rf -^— , £2~3F ~3F immer endlich bleiben, wie viele von den Gröfsen , , auch unendlich werden, und welche Werthe die Verhältnisse : |, und : auch im Unendlichen haben mögen. Der zweiten Bedingung wird daher vollständig genügt. Auch die dritte Bedingung ist erfüllt. Denn aus der Gleichung (12.) ö*P d*P 52P folgt, dafs die Gröfsen -^r^ "g~t"9 ~3fr eindeutig sind, da die in ihnen vorkommenden arctg immer zwischen — \n und %n liegen, und ferner, dafs diese Werthe überall endlich bleiben, selbst wenn ( , , ) im Unendlichen liegt. Es ist daher nur noch zu zeigen, dafs sie der gegebenen partiellen Differentialgleichung = -— \nx genügen.. Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/7/15 12:22 AM.

(9) R thig^ das Potential eines homogenen rechtwinkligen Parallelepipedums.. 257. Hierzu ist nach (7.). also auch. und. da* —. ~" t v ^ αρ. Θ2Φ 2. 3Φ . a -^nr = —QSarctg--^-· 6 y» ?>ρ. Durch Addition dieser Ausdr cke erh lt man: (14.) Δ Φ = — 4π, wenn die Gr fsen a, β, γ positiv sind. Denn die beiden ersten arctg geben addirt arctg -££-, und dieser mit dem letzten zusammen giebt, wie man sofort sieht, \n. Ist nun (ξ, η, ζ} ein innerer Punkt, so sind die Argumente s mmtlicher Φ in (3.) positiv und man erh lt daher sofort mit H lfe von (14.) ΔΡ = — 4π. Ist dagegen (!, 17, £) ein ufserer Punkt, so ist mindestens eine der Bedingungen £ > a, η>b, ζ > c erf llt. Sei z . B . ξ >> #, so darf f r (3.) geschrieben werden: SP = Σ€Φ(ξ+ω,η + Μ,ζ+ί!"€^ und da nun in allen Φ das erste Argument jedenfalls positiv ist, so erh lt man durch (14.) ΔΡ = — ^πΣλ.ε,. wo λ einen von dem Verhalten der Gr fsen 17, ζ, also jedenfalls nur von den Zeichen «' und s" abh ngigen Coefficienten bedeutet. Da also in der vorstehenden Gleichung die Summe nach 8 verschwindet, so ist ΔΡ = 0, und dasselbe tritt ein, wenn man von einer der Bedingungen η>b, £><? ausgeht, weil dann jedenfalls die Summen nach *' oder β" verschwinden. Es ist daher f r jeden ufseren Punkt ΔΡ = 0, und damit gezeigt, dafs auch der dritten Bedingung gen gt wird. Hiermit sind also die gegebenen Ausdr cke nach der Dirichlefschen Methode vollst ndig verificirt, und es folgt daher auch auf diese Weise, dafs. Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/7/15 12:22 AM.

(10) 258. Rothig, das Potential eines homogenen rechtwinkligen Parallelepipedums.. (3.) das Potential eines homogenen rechtwinkligen Parallelepipedums darstellt. — Durch die Kenntnifs des Raumpolentiales wird man nun auch in den Stand gesetzt f r alle Lagen von (|, η, ζ) das Fl chenpotential anzugeben. Denn es leuchtet sofort ein, dafs das Potential der Oberfl che eines rechtwinkligen Parallelepipedums mit den Seiten 2a, 2b, 2c in Beziehung auf einen Punkt (|, ij,£), welches mit ν(α,6,€,ξ,η,ζ) bezeichnet werden m ge, gegeben ist durch die Gleichung:. v ~- W-+W+ ?L da * dt ^ de *. wo P das entsprechende Raumpotential bedeutet. — Ich bemerke endlich noch zum Schl sse, dafs dieselbe Methode auch ausreicht, um das Potential eines beliebigen homogenen Parallelepipedums zu finden. Berlin, im Juni 1860.. *. Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/7/15 12:22 AM.

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