Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2014 mathphys-online

mathphys-online

Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2014

Mathematik 12 Technik - B I - Lösung



Teilaufgabe 1.0

In einem kartesischen Koordinatensystem des IR³ mit dem Ursprung O sind der Punkt P(7/-2/8) und die Ebenen E, F und G_k gegeben:

E: 4x1 x2 x318 =0 ; F: 2 x1  x2 12=0 ; G

k: x2 x3  k=0

Teilaufgabe 1.1 (4 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden s der Ebenen E und F.

[ Mögliches Ergebnis: s: x

 3

6 0







 ^λ

0.5

1 1







 



= , λ ∈ IR ]

4 2

1 1

1 0

18 12









Wähle x2=λ

⇒ x1 1

2(12 λ)

= 6 1

2λ



= ⇒ x3 18 λ 4 6 1

2λ

 





 



= =6 λ

Schnittgerade s: x

 6 1

2λ



λ 6 λ













=

6 0 6







 ^λ

0.5 1

1







 



=

Teilaufgabe 1.2 (5 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes R, der durch Spiegelung des Ursprungs O an der Geraden s hervorgeht.

OL( )λ

 0.5λ3 6 λ

λ







= 

0.5λ 3 6λ

λ









0.5

1 1







  =0 ⇔ 0.5 0.5( λ3) (6λ) λ=0 1

4λ 3

 2 6λλ=0 ⇔ 9 4λ 9

 2 =0 auflösenλ 2 OR





2 OL 2( )



= 2

0.5 2  3 62

2







 

=

8 8 4







=  ⇒ Spiegelpunkt: R(8/8/4)

___________________________

AP 2014, Mathematik Technik 12. Klasse, B I - Lösung Seite 1 von 4

mathphys-online

Teilaufgabe 1.3 (4 BE)

Bestimmen Sie alle Werte von k, für die die drei Ebenen E, F und G_k jeweils keinen gemeinsamen Punkt haben.

2 II( ) ( )I ( )III  ( )II

4 2 0

1 1 1

1 0 1

18 12

k









4 0 0

1 1 1

1 1 1

18 6

k









4 0 0

1 1 0

1 1 0

18 6

k6









---> --->

keine Lösung, falls: k 6 0 ⇔ k 6 ⇔ k 6

Teilaufgabe 1.4 (6 BE)

Zusätzlich sind die Gerade h: x

 3

3 9







 ^μ

4 1

1







 



= mit μ ∈ IR und der Punkt Q(4/4/2) gegeben.

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte S₁ und S₂ auf der Geraden h so, dass das Volumen der jeweiligen Pyramide OPQS₁ bzw. OPQS₂ die Maßzahl 27 hat.

OP



 7

2 8







=  OQ



 4

4 2







=  OS



 4μ 3 μ3 9 μ







= 

Allgemeine Bedingung: 1 6 OP



 OQ



 

 





 =27

Nebenrechnungen: 7

2 8









4 4 2







 

36 18 36







 

36 18 36









4μ3 μ3 9μ







   162 162μ Konkrete Bedingung: 162162μ =27 6

1. Fall: μ1 162 162μ=27 6 auflösenμ  0 μ1 0 ⇒ S₁(3/-3/9)

2. Fall: μ2 (162162μ)=27 6 auflösenμ 2 μ2 2 ⇒ S₂(11/-1/7)

___________________________

AP 2014, Mathematik Technik 12. Klasse, B I - Lösung Seite 2 von 4

mathphys-online

Teilaufgabe 2.0

Ein Fluglotse beobachtet zwei Flugzeuge gleichzeitig, deren jeweilige Positionen F₁ bzw. F₂ sich in einem geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystem des IR³ in einem bestimmten Zeit- raum durch folgende Gleichungen beschreiben lassen:

OF1



 5.6

5.8 1.8







 ^t1

0.6 0.8 0.2







 



= , t1∈ [ 0 ; 30 ] ; OF2



 7.8 0.8

4







 ^t2

0.4 0.1 0







 



= , t2∈ [ 0 ; 30 ] ;

Die Koordinaten von OF1



 und OF2



 haben die Einheit km, die Parameter t1 und t2 beschreiben

jeweils die nach dem gleichzeitigen Beobachtungsbeginn verstrichene Zeit in Minuten. Auf das Mitführen der Einheiten bei den Berechnungen kann verzichtet werden.

Teilaufgabe 2.1 (5 BE)

Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen schneiden, es aber zu keiner Kollision kommt.

5.6

5.8 1.8







 ^t1

0.6 0.8 0.2







 



7.8 0.8

4







 ^t2

0.4 0.1 0







 



=

Gaußmatrix:

0.6 0.8 0.2

0.4

0.1 0

2.2 6.6 2.2









3. Zeile: 0.2 t1 =2.2 auflösen t1  11.0 t1 11

2. Zeile: 0.8 11  0.1 t2 =6.6 auflösen t2 22.0 t2 22

Probe mit der 1. Zeile: 0.6 11  0.4 22  2.2 wahr 5.6

5.8 1.8







 ¹¹

0.6 0.8 0.2







 



1 3 4







 

Eindeutige Lösung.

Die Zeitpunkte t₁ und t₂ stimmen jedoch nicht überein, also keine Kollision.

___________________________

AP 2014, Mathematik Technik 12. Klasse, B I - Lösung Seite 3 von 4

mathphys-online

Teilaufgabe 2.2 (6 BE)

Weisen Sie nach, dass zum Zeitpunkt t ab Beobachtungsbeginn für den Abstand d(t) zwischen beiden Flugzeugen gilt: d t( )= 0.57 t²9.24 t 53.24.

Bestimmen Sie außerdem den Zeitpunkt tmin(gerundet auf eine Nachkommastelle), zu dem der quadrierte Abstand (also (d t( ))² ) am geringsten ist.

5.6

5.8 1.8







 ^t

0.6 0.8 0.2







 



7.8 0.8

4







 ^t

0.4 0.1 0







 

 





 

0.2 t 2.2 0.7 t 6.6 0.2 t 2.2







 

d t( ) (0.2 t  2.2)² (0.7 t  6.6)²(0.2 t 2.2)²

Nebenrechnungen:

0.2 t 2.2

( )²erweitern 0.88 t 0.04 t²4.84

0.7 t 6.6

( )²erweitern 9.24t0.49 t²43.56

0.2 t 2.2

( )²erweitern 0.88t0.04 t²4.84

0.88 t 0.04 t²4.84









aA

d t( )= 9.24t 0.57 t² 53.24

Hilfsfunktion: f t( ) 0.57 t² 9.24 t 53.24

f' t( ) t

f t( ) d d

1.14 t 9.24





f' t( )=0auflösen t 8.1052631578947368421 tmin 8.1

f'' t( ) t

f' t( ) d d

1.14

 f'' 8.1( ) 1.14 > 0, also Tiefpunkt

___________________________

AP 2014, Mathematik Technik 12. Klasse, B I - Lösung Seite 4 von 4