Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2016 mathphys-online

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Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2016

Mathematik 12 Technik - B II - Lösung mit CAS



Teilaufgabe 1.0

Ein Meeresgebiet ist festgelegt durch die Koordinaten eines ruhenden Forschungsschiffes F( 6000| 1000| 0), den Fußpunkt eines Leuchtturms L( 200| 5000| 0) sowie eines zunächst an der Wasseroberfläche fahrenden Unterseeboots mit U_k( 40-2k| -20| 0) mit k ∈ R.

Die angegebenen Koordinaten stellen Punkte in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinaten- system dar. Seegang, Drift und Wind sowie die Erdkrümmung bleiben bei den Berechnungen unbe- rücksichtigt.

Die Koordinaten sind alle in Metern angegeben, auf das Mitführen der Einheit Meter kann bei den Berechnungen verzichtet werden.

Teilaufgabe 1.1 (7 BE)

Zeigen Sie, dass sich das U-Boot geradlinig auf der Wasseroberfläche bewegt, und berechnen Sie den minimalen Abstand des U-Bootes vom Forschungsschiff.

Ortsvektor des Unterseebootes:

Gerade g: OUk



 40 2k

20 0







= 

40

20 0







 ^k

2 0 0







 



= Das ist eine Geradengleichung mit x₃ = 0.

Gerade g in CAS: Ortsvektor Forschungsschiff:

xg k( )

40

20 0







 ^k

2 0 0







 



 OF

6000 1000

0







 

Wählen Sie einen beliebigen Punkt G ∈ g (allgemeiner Geradenpunkt):

GF k( )

6000 1000

0









40 2k

20 0







 

2 k  5960 1020

0







 



g ⊥ GF



 :

k0 GF k( )

2 0 0







  =04 k  11920=0 auflösen k 2980



k0  2980 in g insetzen:

Ortsvektor Lotfußpunkt K: Verbindungsvektor von K und F:

OK xg k0

 

⁶⁰⁰⁰^²⁰

0







 

 KF OF OK

0 1020

0







 



(2)

Teilaufgabe 1.2.0

Für die folgenden Aufgaben gilt k=10, somit U₁₀( 20| -20| 0).

Teilaufgabe 1.2.1 (6 BE)

Untersuchen Sie, ob sich ein Blauwal an der Position B( 1587| 2243| 0) außerhalb oder innerhalb des von den Punkten F, L und U₁₀ begrenzten Seegebiets aufhält.

Berechnen Sie, welchem der drei Punkte der Blauwal am nächsten liegt.

Ortsvektor Unterseeboot: Ortsvektor Blauwaal:

OU10 20

20 0







  OB

1597 2243

0







 

Ortsvektor Forschungsschiff: Ortsvektor Leuchtturm:

OF

6000 1000

0







  OL

200 5000

0







 

Idee: Vektor FB





als Linearkombination der Vektoren FU10





und FL





darstellen.

FU10 OU10 OF

5980

1020 0







 

 FL OL OF

5800 4000

0







 



FB OB OF

4403 1243

0







 



Aufstellen des Gleichungssystems:

λFU10 μFL=FB

5800μ

 5980λ 4000μ 1020λ

0









4403 1243

0







= 



Lösen des Gleichungssystems:

λ0 μ0

 

^λFU10 μFL=FB auflösenλμ 52013 149180

59621 149180







 



Auslesen der Parameter:

λ0

52013 149180

  0.349 μ0

59621 149180

  0.400

(3)

L FL





μ0 FL





B

FB





F

U₁₀ λ0 FU10





FU10





Abstand zwischen B und L: OL OB 3091

Abstand zwischen B und U₁₀: OU10 OB 2758 kleinster Abstand

Abstand zwischen B und F: OF OB 4575

Der Blauwaal ist dem Unterseeboot am nächten.

Funksignale werden zwischen Forschungsschiff F, der Spitze des Leuchtturms S( 200| 5000| 50) und dem Unterseeboot ausgetauscht.

Die Punkte F, S und U₁₀ liegen in einer Ebene E. Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene E in Parameter- und Koordinatenform.

[ Mögliches Teilergebnis: E: 51x1 299x2 29836x3 7000=0 ]

Ortsvektor Spitze Leuchtturm: OS

200 5000

50







 

E: xE



 OF





ρ FS





 τ FU10







=

(4)

xE(ρ τ )

6000 5980τ 5800ρ 4000ρ 1020τ 1000

50ρ







 

Normalenvektor:

OSOF

( )^



OU10 OF



^²⁹⁹⁰⁰⁰⁵¹⁰⁰⁰

29836000







  nE

51

299 29836







 

Koordinatenform:

Vektorielle Normalenform:

x1 x2 x3









 OF









nE=051 x1  299 x2 29836 x3  7000=0

Bestimmen Sie die Koordinaten aller Punkte, die sowohl in der Wasseroberfläche als auch in der Ebene E aus 1.2.2 liegen.

Wasseroberfläche O: x3 0=

Ebene E: E x1 x2



 x3



 51x1 299x2 29836x3 7000

O ∩ E: 51x1 299x2 7000=0 E x1 x2



 0



⁼⁰51 x1  299 x2  7000=0

Wähle: x2=λ

E x1



λ0



⁼⁰ 51 x1  299λ7000=0

51x1 299 λ7000=0auflösen x1 299λ 51

7000

 51



Schnittgerade s: xs





299λ 51

7000

 51 λ 0













=

7000 51

0 0













λ 299

51 1 0

















=

(5)

Teilaufgabe 1.3.0

Von der Position U10 taucht das U-Boot geradlinig in Richtung u

 120

300

100







=  bis in eine Wassertiefe von 200 Metern zum Tauchpunkt T ab.

Berechnen Sie die Koordinaten des Tauchpunktes T und die beim Tauchvorgang zurückgelegte Strecke. Runden Sie auf ganze Meter.

Richtungsvektor: Tauchgerade h:

u

120 300

100







  xh( )τ OU10 τu

120τ 20 300τ 20

100τ







 



Tauchtiefe: τ0 xh( )τ

3=200 100τ=200 auflösenτ 2



⇒ τ0 2

Tauchendpunkt: OT xh

 

τ0 ²⁶⁰⁵⁸⁰

200







 



Abstand: d OU10 OT d676.461

gerundet: d676 Meter

Laut Herstellervorgaben darf das Tauchboot beim Tauchvorgang einen maximalen Tauchwinkel von 16 Grad gegenüber der Horizontalen nicht überschreiten.

Prüfen Sie das Einhalten der Vorgaben durch Berechnung.

cos( )α 0 0 1









120 300

100







 

1 120 300

100







 

5 286

 286

 α acos 5 286

286







  α 72.803 °

Tauchwinkel φ 90° α φ17.197 °